y＝lgx＋lg（a－x）的定义域（其中a>0），若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________.
解析 q：
由
∵p是q的充分不必要条件，∴a>3.
答案 （3，＋∞）
类型一 充分条件、必要条件
【例1】指出下列命题中，p是q的什么条件？
（1）p：
x2＝2x＋1，q：
x＝
；
（2）p：
a2＋b2＝0，q：
a＋b＝0；
（3）p：
x＝1或x＝2，q：
x－1＝
；
（4）p：
sinα>sinβ，q：
α>β.
解
（1）∵x2＝2x＋1⇒x＝
，
x＝
⇒x2＝2x＋1，
∴p是q的必要不充分条件.
（2）∵a2＋b2＝0⇒a＝b＝0⇒a＋b＝0，
a＋b＝0⇒a2＋b2＝0，∴p是q的充分不必要条件.
（3）∵当x＝1或x＝2成立时，可得x－1＝
成立，反过来，当x－1＝
成立时，可以推出x＝1或x＝2，
∴p既是q的充分条件也是q的必要条件.
（4）由sinα>sinβ不能推出α>β，反过来由α>β也不能推出sinα>sinβ，∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件.
规律方法 一般地，定义法主要用于较简单的命题判断，集合法一般需对命题进行化简，等价法主要用于否定性命题.要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是否是q的必要条件，就要看q能否推出p.
【训练1】下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的什么条件？
（充分不必要条件、必要不充分条件、既是充分条件也是必要条件、既不充分也不必要条件）
（1）若x＝1，则x2－4x＋3＝0；
（2）若f（x）＝x，则f（x）为增函数；
（3）若x为无理数，则x2为无理数；
（4）若x＝y，则x2＝y2；
（5）若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等；
（6）若a＞b，则ac＞bc.
解
（1）因为命题“若x＝1，则x2－4x＋3＝0”是真命题，而命题“若x2－4x＋3＝0，则x＝1”是假命题，所以p是q的充分条件，但不是必要条件，即p是q的充分不必要条件；
（2）∵p⇒q，而q⇒p，∴p是q的充分不必要条件.
（3）∵p⇒q，而q⇒p，∴p是q的必要不充分条件.
（4）∵p⇒q，而q⇒p，∴p是q的充分不必要条件.
（5）∵p⇒q，而q⇒p，∴p是q的充分不必要条件.
（6）∵p⇒q，而q⇒p，∴p是q的既不充分也不必要条件.
类型二 充分条件、必要条件与集合的关系（互动探究）
【例2】是否存在实数p，使4x＋p<0是x2－x－2>0的充分条件？
如果存在，求出p的取值范围；否则，说明理由.
[思路探究]
探究点一 设集合A＝{x|x满足条件p}，集合B＝{x|x满足条件q}，若A⊆B，则p是q的什么条件？
q是p的什么条件？
提示：
p是q的充分条件，q是p的必要条件.
探究点二 不等式x2－x－2>0的解集是什么？
提示：
{x|x>2，或x<－1}.
解 由x2－x－2>0，解得x>2或x<－1.
令A＝{x|x>2或x<－1}，
由4x＋p<0，得B＝{x|x<－
}.
由题意得B⊆A，
即－
≤－1，即p≥4，
此时x<－
≤－1⇒x2－x－2>0，
∴当p≥4时，“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分条件.
规律方法
（1）设集合A＝{x|x满足p}，B＝{x|x满足q}，则p⇒q可得A⊆B；q⇒p可得B⊆A；若p是q的充分不必要条件，则A
B.
（2）利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系，要注意范围的临界值.
【训练2】已知M＝{x|（x－a）2<1}，N＝{x|x2－5x－24<0}，若M是N的充分条件，求a的取值范围.
解 由（x－a）2<1得，x2－2ax＋（a－1）（a＋1）<0，
∴a－1又由x2－5x－24<0得，－3∵M是N的充分条件，∴M⊆N，
∴
解得－2≤a≤7.
故a的取值范围是[－2，7].
[课堂小结]
1.充分条件、必要条件的判断方法：
（1）定义法：
直接利用定义进行判断.
（2）等价法：
利用逆否命题的等价性判断，即要证p⇒q，只需证它的逆否命题
綈q⇒綈p即可；同理要证p⇐q，只需证綈q⇐綈p即可.
（3）利用集合间的包含关系进行判断.
2.根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式（组）进行求解.
1.“－21或x<－1”的（ ）
A.充分条件但不是必要条件
B.必要条件但不是充分条件
C.既不是充分条件，也不是必要条件
D.既是充分条件，也是必要条件
解析 ∵－21或x<－1，且x>1或x<－1D⇒－21或x<－1”的既不充分条件，也不必要条件.
答案 C
2.设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的（ ）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 D
3.“a>b”是“a>|b|”的________条件.
解析 由a>|b|⇒a>b，而a>b推不出a>|b|.
答案 必要不充分
4.若“x0”的充分不必要条件，求m的取值范围.
解 由（x－1）（x－2）>0可得x>2或x<1，
由已知条件，知{x|x{x|x>2或x<1}.
∴m≤1.
基础过关
1.a<0，b<0的一个必要条件为（ ）
A.a＋b<0B.a－b>0
C.
>1D.
<－1
解析 a＋b<0⇒a<0，b<0，而a<0，b<0⇒a＋b<0.
答案 A
2.已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析 若直线a直线b相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故选A.
答案 A
3.已知p：
α≠β，q：
cosα≠cosβ，则p是q的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.既是充分条件，也是必要条件D.既不充分也不必要条件
解析 q⇒p成立，但p⇒/ q，∴p是q的必要不充分条件.
答案 B
4.设p：
12x>1，则p是q成立的________条件.
解析 当11，得x>0，∴q⇒p.
答案 充分不必要
5.设{an}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{an}为递增数列”的________条件.
解析 若q>1，则当a1＝－1时，an＝－qn－1，{an}为递减数列，所以“q>1”⇒“{an}为递增数列”；若{an}为递增数列，则当an＝－
时，a1＝－
，q＝
<1，即“{an}为递增数列”⇒“q>1”.
答案 既不充分也不必要
6.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中p是q的充分条件，哪些命题中p是q的必要条件？
（1）若a是无理数，则a＋5是无理数；
（2）若x＝3，则x2＝9；
（3）若四边形的对角线相等，则四边形是平行四边形.
解
（1）因为命题“若a是无理数，则a＋5是无理数”是真命题，所以“a是无理数”是“a＋5是无理数”的充分条件；
又命题“若a＋5是无理数，则a是无理数”是真命题，所以“a是无理数”是“a＋5是无理数”的必要条件.
（2）因为命题“若x＝3，则x2＝9”是真命题，所以“x＝3”是“x2＝9”的充分条件；又命题“若x2＝9，则x＝3”是假命题，因此“x＝3”不是“x2＝9”的必要条件.
（3）因为命题“若四边形的对角线相等，则四边形是平行四边形”与命题“若四边形是平行四边形，则四边形的对角线相等”都是假命题，所以“四边形的对角线相等”既不是“四边形是平行四边形”的充分条件，也不是必要条件.
7.下列各题中，p是q的什么条件？
说明理由.
（1）p：
△ABC中，b2>a2＋c2，q：
△ABC为钝角三角形；
（2）p：
△ABC有两个角相等，q：
△ABC是正三角形；
（3）p：
△ABC中，A≠30°，q：
sinA≠
.
解
（1）△ABC中，∵b2>a2＋c2，∴cosB＝
<0，∴B为钝角，即△ABC为钝角三角形，反之，若△ABC为钝角三角形，B可能为锐角，这时b2∴p⇒q，q⇒p，故p是q的充分不必要条件.
（2）有两个角相等不一定是等边三角形，反之一定成立，
∴p⇒q，q⇒p，故p是q的必要不充分条件.
（3）转化为△ABC中sinA＝
是A＝30°的什么条件.
∵A＝30°⇒sinA＝
，但是sinA＝
⇒A＝30°，
∴△ABC中sinA＝
是A＝30°的必要不充分条件，
即p是q的必要不充分条件.
8.设a，b为实数，那么“0或b>
”的什么条件？
解 ∵0∴当a>0，b>0时，a<
；当a<0，b<0时，b>
.
∴“0或b>
”的充分条件.
而取a＝－1，b＝1，显然有a<
，但不能推出0故“0或b>
”的充分而不必要条件.
能力提升
9.一元二次方程ax2＋2x＋1＝0（a≠0）有一个正根和一个负根的充分但不必要条件是（ ）
A.a<0B.a>0
C.a<－1D.a<1
解析 ∵一元二次方程ax2＋2x＋1＝0（a≠0）有一个正根和一负根.
∴
即
⇔a<0.
本题要求的是充分不必要条件，由于{a|a<－1}{a|a<0}，故选C.
答案 C
拾贝壳阅读答案10.设x，y是两个实数，命题：
“x，y中至少有一个数大于1”成立的充分但不必要条件是（ ）
新叶阅读答案A.x＋y＝2B.x＋y>2
C.x2＋y2>2D.xy>1
解析 对于选项A，当x＝1，y＝1时，满足x＋y＝2，但命题不成立；对于选项C、D，当x＝－2，y＝－3时，满足x2＋y2>2，xy>1，但命题不成立，也不符合题意.
整百,整千加减法教学反思答案 B
11.不等式（a＋x）（1＋x）<0成立的一个充分而不必要条件是－2解析 根据充分条件，必要条件与集合间的包含关系，应有（－2，－1）
{x|（a＋x）（1＋x）<0}，故有a>2.
政治考核答案 （2，＋∞）
12.设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则对于下列条件：
①α⊥β，α∩β＝l，m⊥l；②α∩γ＝m，α⊥β，γ⊥β；
李笑来学习这里③α⊥γ，β⊥γ，m⊥α；④n⊥α，n⊥β，m⊥α.
歌唱学校热爱班级其中为m⊥β的充分条件的是________（将你认为正确的所有序号都填上）.
《春雨》阅读答案小学解析 α∩γ＝m，α⊥β，γ⊥β⇒m⊥β.n⊥α，n⊥β，m⊥α⇒m⊥β.
教学工作情况答案 ②④
13.命题p：
－2关于x的方程x2＋mx＋n＝0有两个小于1的正根.试分析p是q的什么条件.
解 若关于x的方程x2＋mx＋n＝0有两个小于1的正根，设为x1，x2，则0有0根据根与系数的关系
得
即－2教育调查报告小学反之，取m＝－
，n＝
，x2－
x＋
＝0，Δ＝
－4×
<0，方程x2＋mx＋n＝0无实根，所以p⇒/q.综上所述，p是q的必要不充分条件.
教师职业道德的核心探究创新
14.已知条件p：
|x－1|>a和条件q：
2x2－3x＋1>0，求使p是q的充分不必要条件的最小正整数a.
解 依题意a>0.由条件p：
|x－1|>a
得x－1<－a，或x－1>a，
∴p：
x<1－a，或x>1＋a.
由条件q：
2x2－3x＋1>0，
得x<
，或x>1.
要使p是q的充分不必要条件，即“若p，则q”为真命题，逆命题为假命题，应有
解得a≥
.
令a＝1，则p：
x<0，或x>2，
此时必有x<
，或x>1.
即p⇒q，反之不成立.∴最小正整数a＝1.
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