北师大版初二上数学全等三角形的判定1教师版.docx
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北师大版初二上数学全等三角形的判定1教师版
三角形全等的判定
(1)
1.SSS
____________的两个三角形全等(简称SSS).
这个定理说明,只要三角形的三边长度确定了,这个三角形的形状和大小就完全确定了,这也是三角形具有__________的原理.
2.利用SSS证明三角形全等
判断两个三角形全等的推理过程,叫做证明三角形全等.
如下图,已知:
△ABC与△DEF的三条边对应相等,求证:
△ABC≌△DEF.
证明:
在△ABC与△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(SSS).
3.利用SSS作一个角等于已知角
用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示,说明
的依据是_________.
4.边角边定理
三角形全等判定方法2:
______和它们的______分别相等的两个三角形全等.(简称SAS)
符号语言:
在△ABC与△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(SAS).
图示:
5.探索边边角
两边及其一边所对的角分别相等,两个三角形________等.
6.ASA
_______________分别相等的两个三角形全等,简称角边角或ASA.
▲如下图,已知∠D=∠E,AD=AE,∠1=∠2.
求证:
△ABD≌△ACE.
证明:
∵∠1=∠2(已知)
∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD(相等的角加同一个角仍相等)
即∠BAD=∠CAE
在△ABD和△ACE中,
∠D=∠E(已知)
AD=AE(已知)
∠BAD=∠CAE(等量相加)
∴△ABD≌△ACE(ASA).
7.AAS
______________________分别相等的两个三角形全等,简称角角边或AAS.
▲如图:
D在AB上,E在AC上,DC=EB,∠C=∠B.
求证:
△ACD≌△ABE.
证明:
在△ACD和△ABE中.
∠C=∠B(已知)
∠A=∠A(公共角)
DC=EB(已知)
∴△ACD≌△ABE(AAS).
参考答案:
1.三边分别相等稳定性
3.全等三角形的对应角相等
4.两边夹角
5.不一定全
6.两角和它们的夹边
7.两个角和其中一个角的对边
1.先证明对应边相等,再证全等(利用中点、等量相加等)
【例1】如图所示,在△ABC和△FED中,AD=FC,AB=FE,BC=ED,求证:
△ABC≌△FED.
【解析】∵AD=FC,
∴AD+DC=FC+DC,即AC=FD.
在△ABC和△FED中,
∴△ABC≌△FED(SSS).
总结:
利用“SSS”证明两个三角形全等,有如下几种常见类型:
(1)有公共边的两个三角形.
(2)有公共线段的两个三角形,我们可以用等量相加或相减,推出两边相等.
(3)含有中点的两个三角形,如图:
AB=AC,D是BC的中点,
由中点的定义可得:
BD=CD.继而可证△ABD≌△ACD.
练1.如图,已知AC=BD,0是AB、CD的中点,求证△AOC≌△BOD.
【解析】要证△AOC≌△BOD,只需看这两个三角形的三条边是否分别相等.
证明:
∵O是是AB、CD的中点,
∴AO=BO,CO=DO.
在△AOC和△BOD中,
∴△AOC≌△BOD.
2.先利用SSS证明三角形全等,继而证明边(角)相等,或求边(角)
【例2】如图所示,AB=DC,AC=DB,求证:
∠1=∠2.
【解析】在△ABC与△DCB中,
∴△ABC≌△DCB(SSS).
∴∠ABC=∠DCB,∠ACB=∠DBC.
∴∠ABC-∠DBC=∠DCB-∠ACB.
即∠1=∠2.
总结:
1.要求证在两个不同三角形内的角相等,往往利用全等三角形的性质.
2.当两个角所在的三角形不易证全等时,可以利用等量的和(差)相等,将问题转化.
3.求证不在同一个三角形内的两边相等,同样可以利用全等三角形的性质.
练2.如图是“人”字形屋梁,AB=AC.现在要在水平横梁BC上立一根垂直的支柱支撑屋梁,工人师傅取BC的中点D,然后在A,D之间竖支柱AD.那么这根AD符合“垂直”的要求吗?
为什么?
【解析】AD⊥BC符合要求,理由如下:
∵点D是BC的中点,
∴BD=CD.
在△ABD和△ACD中,
∴△ABD≌△ACD(SSS).
∴∠ADB=∠ADC.
又∵∠ADB+∠ADC=180°,
∴∠ADB=∠ADC=90°.
∴AD⊥BC.
练3.如图所示,已知:
A,C,F,D四点在同一直线上,AB=DE,BC=EF,AF=DC,求证:
AB∥DE.
【解析】先根据SSS证明两三角形全等,由三角形全等的性质得出:
∠A=∠D,即可证明AB∥DE.
证明:
∵AF=DC,
∴AF-CF=DC-CF.
∴AC=DF.
在△ABC与△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(SSS).
∴∠A=∠D.
∴AB∥DE.
练4.已知:
如图所示,在四边形ABCD中,AB=CB,AD=CD,求证:
∠C=∠A.
【解析】连接BD,在△ABD和△CBD中,
∴△ABD≌△CBD(SSS).
∴∠C=∠A.
练5.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,AD=CB,求证:
∠A+∠D=180°.
【解析】证明:
连接AC,在△ADC与△CBA中,
∴△ADC≌△CBA(SSS),
∴∠ACD=∠CAB,
∴AB∥CD,
∴∠A+∠D=180°.
3.利用SAS直接证明三角形全等
【例3】如图所示,△ABC,△DEF均为锐角三角形,AB=DE,AC=DF,∠A=∠D.求证:
△ABC≌△DEF.
【解析】直接根据SAS可证明△ABC≌△DEF.
证明:
在△ABC和△DEF中,
,
∴△ABC≌△DEF(SAS).
总结:
运用“边角边”判定两个三角形全等时,
(1)同一三角形的边、角要放在等号的同一边,按照“边角边”的顺序书写;
(2)注意条件里的三个元素必须齐全,且对应相等;
(3)条件里的三个元素必须对应,一个三角形中的元素依次是“边—角—边”,另一个三角形的元素也必须依次是“边—角—边”,如果是其他“边—边—角”或“角—边—边”,则两个三角形不一定全等;
(4)在条件中,相等的角必须是所给两边的夹角,如果把夹角改为其中一条边的对角,则不一定全等.
练6.(2014秋•天元区期末)如图,在△ABC和△DEF中,已知AB=DE,BC=EF,根据(SAS)判定△ABC≌△DEF,还需的条件是()
A.∠A=∠DB.∠B=∠EC.∠C=∠FD.以上三个均可以
【解析】根据三角形全等的判定中的SAS,即两边夹角.做题时根据已知条件,结合全等的判定方法逐一验证,要由位置选择方法.
解:
要使两三角形全等,且SAS已知AB=DE,BC=EF,还差夹角,即∠B=∠E;
A、C都不满足要求,D也就不能选取.
故选B.
练7.如下图所示,已知∠1=∠2,AO=BO,求证:
△AOC≌△BOC.
【解析】两个三角形包含一个公共边,结合已知条件,根据SAS可证明△AOC≌△BOC.
证明:
在△AOC和△BOC中,
,
∴△AOC≌△BOC(SAS).
4.先证明对应边或对应角相等,再证明三角形全等
【例4】(2015春•启东市校级月考)如图,AE=CF,AD∥BC,AD=CB.求证:
△ADF≌△CBE.
【解析】根据平行线的性质及全等三角形的判定定理“SAS”证得结论.
证明:
∵AE=CF,
∴AE﹣EF=CF﹣EF,即AF=CE.
又∵AD∥BC,
∴∠A=∠C.
∵在△ADF与△CBE中,
,
∴△ADF≌△CBE(SAS).
总结:
没有直接给出能证明三角形全等的条件时,
(1)先根据已知条件或求证的结论确定三角形,然后再根据三角形全等的判定方法,看缺什么条件,再去证什么条件;如果已知两边,则要找第三边或夹角;如果已知一角和该角的一边,则需要找夹角的另一条边;
(2)在证明三角形全等时,有些题目的条件含而不露,通常要挖掘出隐含条件,比如公共边、对顶角等,从而为解题所用;
(3)有些条件需要用到线段与角的和差关系才能得到.
练8.(2014•房山区二模)如图,已知AB=AD,AC=AE,∠1=∠2,求证:
△ABC≌△ADE.
【解析】已知∠1=∠2,∠BAE是公共角,从而可推出∠DAE=∠BAC,已知AB=AD,AC=AE,从而可以利用SAS来判定△ABC≌△ADE.
证明:
∵∠1=∠2,
∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE,
即∠DAE=∠BAC.
在△ABC和△ADE中,
,
∴△ABC≌△ADE(SAS).
练9.(2014•永春县质检)已知:
如图,点C是线段AB的中点,CE=CD,∠ACD=∠BCE.
求证:
△AEC≌△BDC.
【解析】根据∠ACD=∠BCE,可得出∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE,即∠ACE=∠BCD.根据边角边公理可得出△AEC≌△BDC.
证明:
在△AEC和△BDC中,
∵点C是线段AB的中点,
∴AC=BC,
∵∠ACD=∠BCE,
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE,
即∠ACE=∠BCD,
在△AEC和△BDC中,
,
∴△AEC≌△BDC(SAS).
点评:
本题考查了全等三角形的判定SAS.
5.先用SAS证明三角形全等,再证对应边、对应角相等
【例5】
(1)(2014•十堰)如图,点D在AB上,点E在AC上,AB=AC,AD=AE.求证:
∠B=∠C.
【解析】首先根据条件AB=AC,AD=AE,再加上公共角∠A=∠A可利用“SAS”定理证明△ABE≌△ACD,进而得到∠B=∠C.
证明:
在△ABE和△ACD中,
,
∴△ABE≌△ACD(SAS).
∴∠B=∠C.
(2)(2015春•鼓楼区校级月考)如图,点E,F在AC上,AB∥CD,AB=CD,AE=CF.求证:
BF=DE.
【解析】先由平行线的性质得出内错角相等,再证出AF=CE,根据SAS证明△ABF≌△CDE,由全等三角形的对应边相等即可得出结论.
证明:
∵AB∥CD,
∴∠A=∠C,
∵AE=CF,
∴AE+EF=CF+EF,
即AF=CE,
在△ABF和△CDE中,
,
∴△ABF≌△CDE(SAS),
∴BF=DE.
总结:
综合利用三角形全等的判定与性质解题步骤如下:
(1)由问题中的条件,依据三角形全等的判定方法证明两个三角形全等;
(2)由三角形全等的性质证得对应角相等、对应边相等.
练10.(2014秋•涞水县期末)如图,AB与CD交于点O,OA=OC,OD=OB,∠A=50°,∠B=30°,则∠D的度数为()
A.50°B.30°C.80°D.100°
【解析】利用SAS可证明△AOD≌△COB,则∠D=∠B=30°.
解:
∵OA=OC,OD=OB,∠AOD=∠COB,
∴△AOD≌△COB(SAS),
∴∠D=∠B=30°.
故选B.
练11.(2014春•锦州校级期中)如图,点B,E,C,F在同一直线上,在△ABC与△DEF中,AB=DE,AC=DF,若∠_____=∠______,则△ABC≌△DEF,所以BC=_____,因此BE=________.
【解析】根据三角形全等的判定方法SAS,若∠A=∠D时,两个三角形全等,得出对应边相等,得出结果.
解:
若∠A=∠D时,△ABC≌△DEF;
∵在△ABC和△DEF中,
,
∴△ABC≌△DEF(SAS),
∴BC=EF,
∴BE=CF;
故答案为:
∠A=∠D,EF,CF.
6.先用ASA证全等,再证边角相等
【例6】如图所示,四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点,∠1=∠2,∠3=∠4.求证:
BO=DO.
【解析】先用“ASA”证明△ABC≌△ADC,得出AB=AD,再用“SAS”证明△ABO≌△ADO,可得出结论.
证明:
在△ABC和△ADC中,
∴△ABC≌△ADC(ASA).
∴AB=AD.
在△ABO与△ADO中,
△ACO≌△ADO(SAS).
∴BO=DO.
总结:
全等三角形的对应边相等,对应角相等,所以证明分别属于两个三角形的线段相等或角相等的问题,常常通过证明这两个三角形全等来解决.
练12.如图所示,在△ABC中,点O为AB的中点,AD∥BC,过点O的直线分别交AD,BC于点D,E,求证:
OD=OE.
【解析】∵点O为AB的中点,
∴AO=BO.
∵AD∥BC,
∴∠ADO=∠BEO,∠DAO=∠EBO.
在△AOD与△BOE中,
∴△AOD≌△BOE(AAS).
∴OD=OE.
7.先用AAS证全等,再证边角相等
【例7】如图所示,∠1=∠2,∠C=∠D,求证:
AC=AD.
【解析】先利用AAS证明两三角形全等,再根据全等三角形的性质得出AC=AD.
证明:
在△ACB与△ADB中,
∴△ACB≌△ADB(AAS).
∴AC=AD.
总结:
1.由“ASA”与“AAS”可知,两个三角形如果有两个角及任意一边对应相等,那么这两个三角形相等.
2.注意不用混淆“ASA”和“AAS”,“ASA”是两角及夹边对应相等,“AAS”是两角及一对边对应相等.
练13.如图所示,C,F在BE上,∠A=∠D,AC∥DF,BF=EC.求证:
AB=DE.
【解析】先利用平行证明角相等,再用等量相减的思想证明BC=EF,应用AAS可得△ABC≌△DEF,进而得出结论.
证明:
∵AC∥DF,
∴∠ACE=∠DFB.
又∵∠ACE+∠ACB=180°,∠DFB+∠DFE=180°,
∴∠ACB=∠DFE.
又BF=EC,∴BF-CF=EC-CF,即BC=EF.
在△ABC与△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(AAS).
∴AB=DE.
8.灵活选用证明方法证(判断)全等
【例8】如图所示,已知∠B=∠DEF,BC=EF,要证△ABC≌△DEF,若要以“ASA”为依据,还缺条件_________;以“SAS”为依据,还缺条件_________;以“AAS”为依据,还缺条件_________.
【解析】已知一组角和一组边相等,要依据“ASA”证全等就要求夹已知边的另一组角相等,故填∠ACB=∠DFE;要依据“SAS”证全等就要求夹已知角的另一组边相等,故填AB=DE;要依据“AAS”证全等就要求另一组角相等,故填∠A=∠D.
答案:
∠ACB=∠DFE;AB=DE;∠A=∠D.
总结:
1.到目前为止,我们学习了4种证明三角形全等的方法,分别是“边边边”“边角边”“角边角”“角角边”.注意:
三角形全等的判定方法中不存在“角边边”“角角角”.
2.“边边边”“角边角”“角角边”“边角边”这四种判断方法中,都要求有一组边对应相等.
3.在寻求全等条件时,要注意结合图形挖掘图中隐含的公共边、公共角、对顶角、中点、角平分线.
4.以及平行线中包含的角的关系,垂直中包含的角的关系,以便顺利求解.
练14.如图所示,点D在AB上,点E在AC上,且∠B=∠C,那么补充下列一个条件后,仍无法判定△ABE≌△ACD的是().
A.AD=AEB.∠AEB=∠ADC
C.BE=CDD.AB=AC
【解析】选择A中的AD=AE,加上已知条件,可根据AAS证明△ABE≌△ACD;
选项B中给出∠AEB=∠ADC,加上已知条件,可得三对角相等,但三对角相等的三角形不一定全等;
选项C中的BE=CD,加上已知条件,可根据AAS证明△ABE≌△ACD;
选项D中的AB=AC,加上已知条件,可根据ASA证明△ABE≌△ACD;
故选:
B.
练15.如图所示,BF⊥AC,DE⊥AC,垂足分别为点F,E,BF=DE,∠B=∠D,求证:
AE=CF.
【解析】∵BF⊥AC,DE⊥AC,
∴∠DEC=∠BFA=90°.
在△BFA与△DEC中,
∴△BFA≌△DEC(ASA).
∴AF=CE.
∴AF+EF=CE+EF.
∴AE=CF.
练16.如图,将△BOD绕点O旋转180°后得到△AOC,再过点O任意画一条与AC,BD都相交的直线MN,交点分别为M和N.试问:
线段OM=ON成立吗?
若成立,请进行证明;若不成立,请说明理由.
【解析】OM=ON成立.理由是:
∵△BOD绕点O旋转180°后得到△AOC,
∴△BOD≌△AOC.
∴∠A=∠B,AO=BO.
又∵∠AOM=∠BON,
∴△AOM≌△BON(ASA).
∴OM=ON.
练17.如图所示,直角三角形ABC的直角顶点C置于直线
上,AC=BC,现过A,B两点分别作直线
的垂线,垂足分别为点D,E.
【解析】
(1)△ACD≌△CBE,
证明:
∵∠ACB=90°,
∴∠ACD+∠BCE=90°.
又∵AD⊥
,
∴∠CAD+∠ACD=90°.
∴∠BCE=∠CAD.
∵BE⊥
,
∴∠ADC=∠CEB=90°.
在△ACD与△CBE中,
∠CAD=∠BCE,∠ADC=∠CEB,AC=CB,
∴△ACD≌△CBE(AAS).
(2)由
(1)可知△ACD≌△CBE,
∴AD=CE,CD=BE,
∴AD=CE=CD+DE=BE+DE=3+5=8.
1.如图所示,AB∥CD,OB=OD,则由“ASA”可以直接判定△______≌△___________.
2.如图所示,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为点D,E,AD,CE交于点H,已知EH=EB=3,AE=4,则CH的长是___________.
3.如图所示,已知点E,C在线段BF上,BE=CF,AB∥DE,∠ACB=∠F.求证:
△ABC≌△DEF.
4.如图所示,已知∠B=∠E,∠BAD=∠EAC,AC=AD,求证:
AB=AE.
5.(2014•厦门校级一模)如图,A、B、C、D四点在同一条直线上,AB=CD,EC=DF,EC∥DF.求证:
△ACE≌BDF.
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
1.已知:
如图,AB=CD,BE=DF,AF=EC。
求证:
BF=DE
2.已知:
如图AB=AC,AD=AE,BE和CD相交于G。
求证:
AG平分∠BAC
3.如图,AB=CD,AD=BC,O是BD上任意一点,边O点的直线分别交AD,BC于M,N点,求证:
∠1=∠2。
4.如图,已知AC//FD,AF//CD,FB//EC。
求证:
△AFB≌△DCE。
5.如图,已知AD//BC,∠DAB和∠ABC的平分线相交于E,过E的直线交AD于D,交BC于C。
求证:
DE=EC。
6.已知:
如图,在△ABC中,延长AC边中线BE到G,使EG=BE,延长AB边中线CD到F,使DF=CD。
求证:
G,A,F在同一直线上。
7.已知:
如图,在△ABC中,∠B=60°,△ABC的角平分线AD,CE相交于点O。
求证:
AE+CD=AC。
8.如图,EA平分∠CAB,且AB=AC+BD,E为CD中点,求证:
BE平分∠ABD。
9.(2014年理工附期中)已知:
如图,D是△ABC中BC边上一点,E是AD上一点,EB=EC,∠ABE=∠ACE。
求证:
∠BAE=∠CAE。
证明 在△AEB和△AEC中,
∴△AEB≌△ACE。
(第一步)
∴∠BAE=∠CAE。
(第二步)
问上面证明过程是否正确?
若正确,请写出每一步推理的根据;若不正确,请指出错在哪一步,并写出正确过程。
参考答案:
当堂检测
1.AOB,COD.
2.【解析】∵∠AHE=∠CHD,利用和等角互余的两个角相等,
∴∠EAH=∠ECB
又∵∠AEH=∠CEB=90°
EH=EB
∴△AEH≌△CEB(AAS)
∴CE=AE=4,,EH=3,
∴CH=4-3=1
答案:
1
3.【解析】利用平行线,可得两同位角相等,再利用等量相加得BC=EF,即可证两三角形全等.
证明:
∵AB∥DE,
∴∠B=∠DEF.
∵BE=CF,
∴BC=EF.
在△ABC与△DEF中,
∠B=∠DEF,BC=EF,∠ACB=∠F,
∴△ABC≌△DEF(ASA).
4.【解析】先证全等,再利用三角形的性质得出结论.
证明∵∠BAD=∠EAC,
∴∠BAD-∠CAD=∠EAC-∠CAD.
∴∠BAC=∠EAD,
在△ABC和△AED中,
∴△ABC≌△AED(AAS).
∴AB=AE.
5.【解析】∵AB=CD,
∴AB+BC=CD+BC,即AC=BD.
又∵EC∥DF,
∴∠ACE=∠BDF.
在△ACE与△BDF中,
,
∴△ACE≌△BDF(SAS).
家庭作业
1.分析:
图中全等三角形比较多,由已知慢慢创建最终全等所需的条件,往往一次全等证明不出来,可多次使用多组全等
证明:
∵AF=EC
∴AE=FC
∴
∴△ABE≌△CDF(SSS)
∴∠A=∠C(全等三角形对应角相等)
∴
∴△AFB≌△CED(SAS)
∴BF=DE(全等三角形对应边相等)
2.分析:
此题用三次全等慢慢将已知条件转化为我们所需的内容,最终通过证明角等得到平分。
证明:
∴△ABE≌△ACD(SAS)
∴∠B=∠C∠ADC=∠AEB
∴∠BDG=∠CEG
∵AB=AC,AD=AE,
∴BD=CE
∴△BDG≌△CEG(ASA)
∴BG=GC
∴△ABG≌△ACG(SAS)
∴∠1=∠2即AG平分∠BAC
3.证△ABD≌△CDB,得∠ADB=∠CBD,则AD//BC,∠1=∠2
4.连结FC
5.在AB上取AF=AD,连结EF,先证△ADE≌△AFE,再证△EFB≌△ECB
6.证∠FAG=∠FAB+∠BAC+∠GAC=180°
7.在AC上截取AF=AE,连结OF,证△AEO≌△AFO得∠AOE=∠AOF,再证△CDO≌△CFO,得CD=FC
8.D在AB上取AF=AC
9.不正确,错在第一步,正确的证明过程为:
在△EBC中,因BE=CE,故∠EBC=∠ECB。
又因∠ABE=∠ACE,故∠ABC=∠ACB,AB=AC,可证出△AEB≌△AEC,∴∠BAE=∠CAE