解析几何知识点总结.docx

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解析几何知识点总结

第一部分:

直线

一、直线的倾斜角与斜率

1•倾斜角a

（1）定义：

直线I向上的方向与X轴正向所成的角叫做直线的倾斜角。

⑵范围：

（0,180）

2•斜率：

直线倾斜角a的正切值叫做这条直线的斜率

k=tana

（1）•倾斜角为90°的直线没有斜率。

（2）•每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直于X轴时，

其斜率不存在），这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率的存在与不存在这

两种情况，否则会产生漏解。

（3）设经过A（x1,y1）和B（x2,y2）两点的直线的斜率为K,

则当X1MX2时，k=tana=Y1-Y2/X1-X2;当X仁X2时，a=90°;斜率不存在；

二、直线的方程

1.点斜式：

已知直线上一点P（xo,yo）及直线的斜率k（倾斜角a）求直线的方程用点斜式：

y-y0=k（x-x0）

注意：

当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x=x0;

2•斜截式：

若已知直线在y轴上的截距（直线与y轴焦点的纵坐标）为b，斜率为k，则直线方程：

y=kx+b;特别地，斜率存在且经过坐标原点的直线方程为：

y=kx

注意：

正确理解“截距”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区别

3•两点式：

若已知直线经过（x1,y1）和（x2,y2）两点，且（X1#X2,y1刊2）则直线的方程：

yyiX%

y2%X2Xi

注意：

①不能表示与x轴和y轴垂直的直线；

②当两点式方程写成如下形式（x2为）（『yi）（y2yi）（xxi）0时，方程可以适应在于

任何一条直线。

4截距式：

若已知直线在x轴，y轴上的截距分别是a,b（a工0,b工0）则直线方程：

-i；

注意：

i）.截距式方程表不能表示经过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线。

2）.横截距与纵截距相等的直线方程可设为x+y=a;横截距与纵截距互为相反数的直线

方程可设为x-y=a

5一般式：

任何一条直线方程均可写成一般式：

Ax+By+C=0;（A,B不同时为零）；反之，任

何一个二元一次方程都表示一条直线。

三、两条直线的位置关系

宀护¥方位置大糸

1；:

ykixbl2:

yk2xb2

A）xB；yC；0l2:

A2xB2yC20

平行

kik?

，且bib?

AB；C；

（AiB2-A2Bi=0）

A2B2C2

重合

kik2，且bib2

A；B；C；

A2B2C2

相交

kik2

AiBi

A2B2

垂直

kik2i

A；A2B；B20

设两直线的方程分别为：

l；gk；xt或tA：

站CC200；当kik2或

AiB2A2Bi时它们相交，交点坐标为方程组yk；；b；或A；：

B；!

^200解;

五、点到直线的距离公式:

IGC2|

2•两平行线L1:

Ax+By+C1=O,L2:

Ax+By+C2=O的距离为：

JA2B2

六、直线系:

（1）设直线L1:

A1x+B1y+C1=O,L2:

A2x+B2y+C2=O,经过L1,L2的交点的直线方

程为A1XBiyC1（A2XB2yC2）O（除去L2）；

如：

①Y=kx+1—y_i_kx=O，即也就是过y-1=O与x=O的交点（O,1）除去x=O的直线方程。

②直线L:

（m-1）x+（2m-1）y=m-5恒过一个定点

（2）和L:

Ax+By+C=O平行的直线为Ax+By+C1=O

（3）与L:

Ax+By+C=O垂直的直线为Bx-Ay+C仁O;

七、对称问题：

（1）中心对称：

1点关于点的对称：

该点是两个对称点的中点，用中点坐标公式求解，点A（a.b）关于C（c,d）的对

称点（2c-a,2d-b）

2直线关于点的对称：

I、在已知直线上取两点，禾U用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，再由两点式求出直线方程；

n、求出一个对称点，在利用L1//L2由点斜式得出直线方程；

川、利用点到直线的距离相等。

求出直线方程。

女口：

求与已知直线h：

2x3y60关于点P（1,1）对称的直线12的方程。

（2）轴对称：

1点关于直线对称：

I、点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。

n、求出过该点与已知直线垂直的直线方程，然后解方程组求出直线的交点，在利用中点坐标公式求解。

女口：

求点A（3,5）关于直线l:

3x4y40对称的坐标。

2直线关于直线对称：

（设a,b关于丨对称）

I、若a.b相交，则a到L的角等于b到L的角；若a//L,则b//L,且a.b与L的距离相等。

n、求出a上两个点代B关于丨的对称点，在由两点式求出直线的方程。

川、设P（x,y）为所求直线直线上的任意一点，则P关于丨的对称点P'的坐标适合a的

方程。

女口：

求直线a:

2xy40关于1:

3x4y10对称的直线b的方程。

第二部分：

圆与方程

222

2.1圆的标准方程：

（xa）（yb）r圆心C（a,b），半径r

222

特例：

圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：

xyr.

2.2点与圆的位置关系：

1.设点到圆心的距离为d，圆半径为r:

（1）点在圆上F」d=r;

（2）点在圆外Jd>r;（3）点在圆内—dvr.

2.给定点M（xo，y°）及圆C:

（xa）2（yb）2r2.

①M在圆C内（x0a）2（y0b）2r2②M在圆C上（x°a）2（y°b）2r2

③M在圆C外（x0a）2（y0b）2r2

2.3圆的一般方程：

x2y2DxEyF0.

当D2

0时,

当D2

0时,

当D2

0时,

注：

（

1）

方程

Ax2

方程表示一个点

方程无图形（称虚圆）

BxyCyDxEyF

方程表示一个圆，其中圆心CDJ，半径

0表示圆的充要条件是:

.D2E24F

0且AC0且

D2E24AF0.

圆的直径系方程：

已知

AB是圆的直径

A（Xi,yJB（X2,y2）（xxj（x

X2）（yyi）（y

y2）o

2.4直线与圆的位置关系:

直线AxByC0与圆（xa）2（y

b）

r的位置关系有

三种，d是圆心到直线的距离,

（d

AaBbC

（1）

dr相离

相切

相交

2.5

两圆的位置关系

设两圆圆心分别为

O1，O2,半径分别为

ood。

（1）d

外离4条公切线；

（2）

3条公切线；

外离

1条公切线；

2.6圆的切线方程：

直线与圆相切的性质：

（1）圆心到直线距离等于半径r;

（2）圆心与切点的连线与直线垂直（斜率互为负倒数）

过一定点做圆的切线要分成两种情况：

点在圆上和点在圆外。

若点在圆上则切线只有一条，利用性质

（2）可求切线斜率，再点斜式写出切线方程。

若点在圆外则切线有两条，用性质

（1）来求出切线斜率，此时注意切线斜率是否存在的分类

讨论。

2.7圆的弦长问题:

R2d2

半弦L、半径r、弦心距d构成直角三角形，满足勾股定理:

第三部分：

椭圆

•椭圆及其标准方程

②一般形式表示:

1或者mx2ny2mn

1（m

0,n0,mn）

二•椭圆的简单几何性质:

1.范围

x2y2一一

（1）椭圆r21（a>b>0）横坐标-a

y2x2一一

（2）椭圆一21（a>b>0）横坐标-b

2.对称性

椭圆关于x轴y轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称

中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心

3.顶点

（1）椭圆的顶点：

A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b）

2a，短轴长等于2b，a和b分别叫

（2）线段A1A2,B1B2分别叫做椭圆的长轴长等于

做椭圆的长半轴长和短半轴长。

4.离心率

e越接近于0（e越小），椭圆就越接近于圆

e越接近于1（e越大），椭圆越扁;

5•椭圆的的内外部

（1）点P（x0,y0）在椭圆7y

1（ab0）的内部

y。

（2）点P（X0,y°）在椭圆一22

6•几何性质

（1）通径（过焦点且垂直于长轴的弦）

（2）焦点三角形（椭圆上的任意一点与两焦点够成的三角形）

f,mf2

7直线与椭圆的位置关系：

（1）判断方法：

联立直线方程与椭圆方程消

y（或x）得到关于x的一元二次方程，根据判别式

符号判断位置关系:

0有两个交点相交

0相切有一个交点

交于两点A（x「％）、

B（X2,y2）M（Xo,y°）是AB的中点，则:

nX。

my。

0相离没有交点

⑶弦长公式：

■22

AB（为X2）（yiy2）

J（1k2）[（x1x2）24x^2】

第四部分：

双曲线

标准方程（焦点在x轴）

标准方程（焦点在y轴）

双曲线

xy,,小，小、

yx「…小、

2u21（a0,b0）

第一定义：

平面内与两个定点F1，

F2的距离的差的绝对值是常数（小于F1Fj）的点的

定义

轨迹叫双曲线。

这两个定点

叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。

M|MF」MF22a2aF1F2

•yy/

F2/t—x

、Lb-

F1、

范围

Xa，yR

ya，xR

对称轴

x轴，y轴；实轴长为2a,虚轴长为2b

对称中心

原点0（0,0）

焦点坐标

Fi（c,0）F2（c,0）

R（0,c）F2（0,c）

焦点在实轴上，cJa2b2；焦距：

证2c

顶点坐标

（a,0）（a,0）

（0,a,）（0，a）

离心率

e—（e1）a

重要结论

2b2

（1）通径（过焦点且垂直于实轴的弦）|ab|

b22

Smf1f2bcot_

（2）焦点三角形：

tan—2

渐近线

方程

y—x

x—y

共渐近线

的双曲线

系方程

耸Jk（k0）

a2b2

七令k（k0）

a2b2

补充知识点：

等轴双曲线的主要性质有：

（1）半实轴长=半虚轴长;

（2）其标准方程为x2y2C其中Cm0；

（3）离心率e.2;

（4）渐近线：

两条渐近线y=±x互相垂直;第五部分：

抛物线知识点总结

2px（p

0）

2px（p0）

2py（p

0）

2py（p0）

图象

yp|

、

丄

0hF

/7、

平面内与一个定点

F和一条定直线1的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,

占

八、、

F叫做抛物线

定义

的焦点，直线1叫做抛物线的准线。

｛M|mf|=

点M

到直线l的距离｝

范围

0,yR

xR,y

R,y0

对称性

关于x轴对称

关于y轴对称

Pc、

“p、

（T，o）

（二，0）

（0，：

）

（0，二）

焦占

八'、八\、

焦点在对称轴上

顶点

0（0,0）

离心率

e=i

准线

x卫

y卫

方程

焦点到准线

的距离

焦半径

A（xi,yi）

AFxi-

AFXi-

AFyi舟

AFyi1

焦点弦长

|ab

（xiX2）p

（XiX2）p

（yiy2）p

1.直线与抛物线的位置关系

y-总十B

直线2=氐戏，抛物线UM沁砂，卜■如,消y得：

肋-处用Y

（1）当k=0时，直线丨与抛物线的对称轴平行，有一个交点；

（2）当k工0时，

△>0,直线l与抛物线相交，两个不同交点；

△=0,直线l与抛物线相切，一个切点；

△<0,直线l与抛物线相离，无公共点。

（3）若直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线必相切吗？

（不一定）

2.关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法

直线1:

ykxb抛物线,（p0）

ykxby22px

k2x22（kbp）xb20

设交点坐标为Ay,yj,B（X2,y2）,则有

0,以及为x2,X!

X2,还可进一步求出

①联立方程法：

yiy2kxibkx2bk（xiX2）2b

y1y2（kx-!

b）（kx2b）kxm2kb（x-ix2）b

在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如

a.相交弦AB的弦长

1k2.、（论x2）24x1x2.1k2

1y2）24畑1

2，

或ABJi丄y

b.中点M（Xo,yo）,Xo

②点差法：

设交点坐标为A（Xi,yi），B（X2,y2），代入抛物线方程，得

k2a

yiy2yo盲

y12px1

y22px2

将两式相减，可得

（%y2）（y1y2）

2p（x1

X2）

y1y22p

X1X2y1y2

a.在涉及斜率问题时，

kAB

y1y2

b.在涉及中点

轨迹1

'可题时，设线段AB

的中点为

5y2p

X1X2y1y2

2yo

yo，

即kABP，

同理，对于抛物线X2

2py（p

0），若直线i与抛物线相交于

A、B两点，

弦AB的中点，则有kAB1

X22XoXo

2p2pp

M（x%

M（Xo,yo）是

（注意能用这个公式的条件:

1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且

不等于零）

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