1、解析几何知识点总结解析几何知识点总结第一部分:直线一、 直线的倾斜角与斜率1倾斜角a(1) 定义:直线I向上的方向与X轴正向所成的角叫做直线的倾斜角 。范围:(0,180 )2斜率:直线倾斜角a的正切值叫做这条直线的斜率k=ta n a(1) 倾斜角为90 的直线没有斜率。(2) 每一条直线都有唯一的倾斜角,但并不是每一条直线都存在斜率(直线垂直于 X轴时,其斜率不存在),这就决定了我们在研究直线的有关问题时,应考虑到 斜率的存在与不存在 这两种情况,否则会产生漏解。(3) 设经过A (x1,y1 )和B (x2,y2 )两点的直线的斜率为 K,则当 X1 MX2 时,k=ta n a=Y1-
2、Y2/X1-X2 ;当 X仁X2 时,a =90 ;斜率不存在;二、 直线的方程1. 点斜式:已知直线上一点 P (xo,yo)及直线的斜率 k (倾斜角a)求直线的方程用点斜式:y-y 0=k(x-x 0)注意:当直线斜率不存在时,不能用点斜式表示,此时方程为 x=x0 ;2斜截式:若已知直线在 y轴上的截距(直线与 y轴焦点的纵坐标)为b,斜率为k,则直线 方程:y=kx+b ;特别地,斜率存在且经过坐标原点的直线方程为: y=kx注意:正确理解“截距”这一概念,它具有 方向性,有正负之分,与“距离”有区别3两点式:若已知直线经过(x1,y1 )和(x2,y2 )两点,且(X1 #X2 ,
3、 y1刊2 )则直线的方程:y yi X%y2 % X2 Xi注意:不能表示与 x轴和y轴垂直的直线;当两点式方程写成如下形式 (x2为)(yi) (y2 yi)(x xi)0时,方程可以适应在于任何一条直线。4截距式:若已知直线在x轴,y轴上的截距分别是 a,b(a工0,b工0)则直线方程:- i ;a b注意:i).截距式方程表不能表示经过原点的直线,也不能表示垂直于坐标轴的直线。2).横截距与纵截距相等的直线方程可设为 x+y=a;横截距与纵截距互为相反数的直线方程可设为x-y=a5 一般式:任何一条直线方程均可写成一般式: Ax+By+C=0 ; (A,B不同时为零);反之,任何一个二
4、元一次方程都表示一条直线。三、两条直线的位置关系宀护方 位置大糸1; : y kix b l2 : y k2x b2h : A)x B; y C; 0 l2 : A2 x B2 y C2 0平行ki k?,且 bi b?A B; C; (AiB2-A 2Bi =0)A2 B2 C2重合ki k2,且 bi b2A; B; C;A2 B2 C2相交ki k 2Ai BiA2 B2垂直ki k2 iA; A2 B; B2 0设两直线的方程分别为:l;g k;x t或tA:站CC2 00 ;当ki k2或AiB2 A2Bi时它们相交,交点坐标为方程组y k; b;或A;: B;! 2 00解;五、点
5、到直线的距离公式:IG C2 |2两平行线 L1:Ax+By+C1=O , L2:Ax+By+C2=O 的距离为:d J A2 B2六、直线系:(1)设直线 L1:A1x+B1y+C1=O , L2:A2x+B2y+C2=O ,经过 L1,L2 的交点的直线方程为 A1X Biy C1 (A2X B2y C2)O (除去 L2);如:Y=kx+1 y_i_kx=O ,即也就是过 y-1=O 与x=O的交点 (O,1) 除去x=O的直线 方程。直线L: (m-1 ) x+ (2m-1 ) y=m-5 恒过一个定点(2) 和 L:Ax+By+C=O 平行的直线为 Ax+By+C1=O(3) 与L:
6、Ax+By+C=O 垂直的直线为Bx-Ay+C仁O ;七、对称问题:(1)中心对称:1 点关于点的对称:该点是两个对称点的中点,用中点坐标公式求解,点 A (a.b)关于C (c,d)的对称点(2c-a,2d-b )2 直线关于点的对称:I、在已知直线上取两点,禾U用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标,再 由两点式求出直线方程;n、求出一个对称点,在利用 L1/L2由点斜式得出直线方程;川、利用点到直线的距离相等。求出直线方程。女口:求与已知直线 h:2x 3y 6 0关于点P(1, 1)对称的直线12的方程。(2 )轴对称:1 点关于直线对称:I、点与对称点的中点在已知直线上,点与对
7、称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。n、求出过该点与已知直线垂直的直线方程,然后解方程组求出直线的交点,在利用中点坐 标公式求解。女口:求点 A( 3,5)关于直线l:3x 4y 4 0对称的坐标。2 直线关于直线对称:(设a,b关于丨对称)I、若a.b相交,则a到L的角等于b到L的角;若a /L,则b /L,且a.b与L的距 离相等。n、求出a上两个点 代B关于丨的对称点,在由两点式求出直线的方程。川、设P(x, y)为所求直线直线上的任意一点,则 P关于丨的对称点P的坐标适合a的方程。女口:求直线a:2x y 4 0关于1 : 3x 4y 1 0对称的直线b的方程。第二部分:圆与方程2 2
8、 22.1圆的标准方程:(x a) (y b) r圆心C(a,b),半径r2 2 2特例:圆心在坐标原点,半径为 r的圆的方程是:x y r .2.2点与圆的位置关系:1. 设点到圆心的距离为 d,圆半径为r:(1) 点在圆上 Fd=r ; (2)点在圆外 J d r; (3)点在圆内 d v r.2. 给定点 M(xo,y)及圆 C : (x a)2 (y b)2 r2. M 在圆 C 内 (x0 a)2 (y0 b)2 r2 M 在圆 C 上 (x a)2 (y b)2 r2 M 在圆 C 外(x0 a)2 (y0 b)2 r22.3 圆的一般方程:x2 y2 Dx Ey F 0 .当D2
9、E24F0时,当D2E24F0时,当D2E24F0时,注:(1 )方程Ax2方程表示一个点方程无图形(称虚圆)2Bxy Cy Dx Ey F方程表示一个圆,其中圆心C D J ,半径0表示圆的充要条件是:.D2 E2 4F20且AC 0且D2 E2 4AF 0.圆的直径系方程:已知AB是圆的直径A(Xi,yJB(X2,y2) (x xj(xX2) (y yi)(yy2) o2.4直线与圆的位置关系:直线 Ax By C 0与圆(x a)2 (yb)2r的位置关系有三种,d是圆心到直线的距离,(dAa Bb CA2B2(1)d r 相离相切相交2.5两圆的位置关系设两圆圆心分别为O1,O2,半径
10、分别为oo d。(1)d外离 4条公切线;(2)3条公切线;外离1条公切线;2.6圆的切线方程:直线与圆相切的性质:(1)圆心到直线距离等于半径 r; (2)圆心与切点的连线与直线垂直(斜 率互为负倒数)过一定点做圆的切线要分成两种情况:点在圆上和点在圆外。若点在圆上则切线只有一条,利用性质( 2)可求切线斜率,再点斜式写出切线方程。若点在圆外则切线有两条,用性质( 1 )来求出切线斜率,此时注意切线斜率是否存在的分类讨论。2.7圆的弦长问题:R2 d2半弦L、半径r、弦心距d构成直角三角形,满足勾股定理:2第三部分:椭圆椭圆及其标准方程一般形式表示:1 或者 mx2 ny2 m n1(m0,
11、 n 0, m n)二椭圆的简单几何性质:1. 范围x2 y2 一 一(1 )椭圆 r 2 1 (a b 0) 横坐标-a x a ,纵坐标-b效 b 0) 横坐标-b x wb,纵坐标-a x 0,直线l与抛物线相交,两个不同交点;=0 ,直线l与抛物线相切,一个切点; 0 ,直线l与抛物线相离,无公共点。(3) 若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗 ?(不一定)2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线1 : y kx b 抛物线, (p 0)y kx b y2 2pxk2x2 2(kb p)x b2 0设交点坐标为Ay, yj , B(X2, y2),则有0 ,
12、以及为 x2,X!X2 ,还可进一步求出联立方程法:yi y2 kxi b kx2 b k(xi X2) 2b2 2y1 y2 (kx-! b)(kx2 b) k xm2 kb(x-i x2) b在涉及弦长,中点,对称,面积等问题时,常用此法,比如a. 相交弦AB的弦长X21 k2 .、(论 x2)2 4x1x2 .1 k21 y2)2 4畑 1X22 ,或 AB Ji丄y kb.中点 M (Xo, yo), Xo点差法:设交点坐标为 A(Xi, yi),B(X2, y2),代入抛物线方程,得y2Xiak2ayi y2 yo盲2y1 2 px12y2 2 px2将两式相减,可得(% y2)(y1 y2)2p(x1X2)y1 y2 2pX1 X2 y1 y2a.在涉及斜率问题时,kAB2py1 y2b.在涉及中点轨迹1可题时,设线段AB的中点为5 y 2p2pPX1 X2 y1 y22 yoyo,即 kAB P,yo同理,对于抛物线 X22py(p0),若直线i与抛物线相交于A、B两点,弦AB的中点,则有kAB 1X2 2Xo Xo2p 2p pM (x%M (Xo,yo)是(注意能用这个公式的条件:1 )直线与抛物线有两个不同的交点, 2 )直线的斜率存在,且不等于零)
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