解析几何知识点总结.docx

1、解析几何知识点总结解析几何知识点总结第一部分:直线一、 直线的倾斜角与斜率1倾斜角a(1) 定义：直线I向上的方向与X轴正向所成的角叫做直线的倾斜角 。范围：(0,180 )2斜率：直线倾斜角a的正切值叫做这条直线的斜率k=ta n a(1) 倾斜角为90 的直线没有斜率。(2) 每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率(直线垂直于 X轴时，其斜率不存在)，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到 斜率的存在与不存在 这两种情况，否则会产生漏解。(3) 设经过A (x1,y1 )和B (x2,y2 )两点的直线的斜率为 K,则当 X1 MX2 时，k=ta n a=Y1-

2、Y2/X1-X2 ;当 X仁X2 时，a =90 ;斜率不存在；二、 直线的方程1. 点斜式：已知直线上一点 P (xo,yo)及直线的斜率 k (倾斜角a)求直线的方程用点斜式：y-y 0=k(x-x 0)注意：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为 x=x0 ;2斜截式：若已知直线在 y轴上的截距(直线与 y轴焦点的纵坐标)为b，斜率为k，则直线 方程：y=kx+b ;特别地，斜率存在且经过坐标原点的直线方程为： y=kx注意：正确理解“截距”这一概念，它具有 方向性，有正负之分，与“距离”有区别3两点式：若已知直线经过（x1,y1 ）和（x2,y2 ）两点，且（X1 #X2 ,

3、 y1刊2 ）则直线的方程：y yi X%y2 % X2 Xi注意：不能表示与 x轴和y轴垂直的直线；当两点式方程写成如下形式 （x2为）（yi） （y2 yi）（x xi）0时，方程可以适应在于任何一条直线。4截距式：若已知直线在x轴，y轴上的截距分别是 a,b（a工0,b工0）则直线方程：- i ；a b注意：i）.截距式方程表不能表示经过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线。2）.横截距与纵截距相等的直线方程可设为 x+y=a;横截距与纵截距互为相反数的直线方程可设为x-y=a5 一般式：任何一条直线方程均可写成一般式： Ax+By+C=0 ; （A,B不同时为零）；反之，任何一个二

4、元一次方程都表示一条直线。三、两条直线的位置关系宀护方 位置大糸1； : y kix b l2 : y k2x b2h : A)x B； y C； 0 l2 : A2 x B2 y C2 0平行ki k?，且 bi b?A B； C； (AiB2-A 2Bi =0)A2 B2 C2重合ki k2，且 bi b2A； B； C；A2 B2 C2相交ki k 2Ai BiA2 B2垂直ki k2 iA； A2 B； B2 0设两直线的方程分别为：l；g k；x t或tA：站CC2 00 ；当ki k2或AiB2 A2Bi时它们相交，交点坐标为方程组y k； b；或A；： B；! 2 00解;五、点

5、到直线的距离公式:IG C2 |2两平行线 L1:Ax+By+C1=O , L2:Ax+By+C2=O 的距离为：d J A2 B2六、直线系:(1)设直线 L1:A1x+B1y+C1=O , L2:A2x+B2y+C2=O ,经过 L1,L2 的交点的直线方程为 A1X Biy C1 (A2X B2y C2)O (除去 L2)；如：Y=kx+1 y_i_kx=O ，即也就是过 y-1=O 与x=O的交点 (O,1) 除去x=O的直线 方程。直线L: (m-1 ) x+ (2m-1 ) y=m-5 恒过一个定点(2) 和 L:Ax+By+C=O 平行的直线为 Ax+By+C1=O(3) 与L:

6、Ax+By+C=O 垂直的直线为Bx-Ay+C仁O ;七、对称问题：(1)中心对称：1 点关于点的对称：该点是两个对称点的中点，用中点坐标公式求解，点 A (a.b)关于C (c,d)的对称点(2c-a,2d-b )2 直线关于点的对称：I、在已知直线上取两点，禾U用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，再 由两点式求出直线方程；n、求出一个对称点，在利用 L1/L2由点斜式得出直线方程；川、利用点到直线的距离相等。求出直线方程。女口：求与已知直线 h：2x 3y 6 0关于点P(1, 1)对称的直线12的方程。(2 )轴对称：1 点关于直线对称：I、点与对称点的中点在已知直线上，点与对

7、称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。n、求出过该点与已知直线垂直的直线方程，然后解方程组求出直线的交点，在利用中点坐 标公式求解。女口：求点 A( 3,5)关于直线l:3x 4y 4 0对称的坐标。2 直线关于直线对称：(设a,b关于丨对称)I、若a.b相交，则a到L的角等于b到L的角；若a /L,则b /L,且a.b与L的距 离相等。n、求出a上两个点 代B关于丨的对称点，在由两点式求出直线的方程。川、设P(x, y)为所求直线直线上的任意一点，则 P关于丨的对称点P的坐标适合a的方程。女口：求直线a:2x y 4 0关于1 : 3x 4y 1 0对称的直线b的方程。第二部分：圆与方程2 2

8、 22.1圆的标准方程：(x a) (y b) r圆心C(a,b)，半径r2 2 2特例：圆心在坐标原点，半径为 r的圆的方程是：x y r .2.2点与圆的位置关系：1. 设点到圆心的距离为 d，圆半径为r:(1) 点在圆上 Fd=r ; (2)点在圆外 J d r; (3)点在圆内 d v r.2. 给定点 M(xo，y)及圆 C : (x a)2 (y b)2 r2. M 在圆 C 内 (x0 a)2 (y0 b)2 r2 M 在圆 C 上 (x a)2 (y b)2 r2 M 在圆 C 外(x0 a)2 (y0 b)2 r22.3 圆的一般方程：x2 y2 Dx Ey F 0 .当D2

9、E24F0时,当D2E24F0时,当D2E24F0时,注：（1 )方程Ax2方程表示一个点方程无图形（称虚圆）2Bxy Cy Dx Ey F方程表示一个圆，其中圆心C D J ，半径0表示圆的充要条件是:.D2 E2 4F20且AC 0且D2 E2 4AF 0.圆的直径系方程：已知AB是圆的直径A(Xi,yJB(X2,y2) (x xj(xX2) (y yi)(yy2) o2.4直线与圆的位置关系:直线 Ax By C 0与圆(x a)2 (yb)2r的位置关系有三种，d是圆心到直线的距离,(dAa Bb CA2B2(1)d r 相离相切相交2.5两圆的位置关系设两圆圆心分别为O1，O2,半径

10、分别为oo d。(1)d外离 4条公切线；（2）3条公切线；外离1条公切线；2.6圆的切线方程：直线与圆相切的性质：（1）圆心到直线距离等于半径 r; （2）圆心与切点的连线与直线垂直（斜 率互为负倒数）过一定点做圆的切线要分成两种情况：点在圆上和点在圆外。若点在圆上则切线只有一条，利用性质（ 2）可求切线斜率，再点斜式写出切线方程。若点在圆外则切线有两条，用性质（ 1 ）来求出切线斜率，此时注意切线斜率是否存在的分类讨论。2.7圆的弦长问题:R2 d2半弦L、半径r、弦心距d构成直角三角形，满足勾股定理:2第三部分：椭圆椭圆及其标准方程一般形式表示:1 或者 mx2 ny2 m n1(m0,

11、 n 0, m n)二椭圆的简单几何性质:1. 范围x2 y2 一 一(1 )椭圆 r 2 1 (a b 0) 横坐标-a x a ,纵坐标-b效 b 0) 横坐标-b x wb,纵坐标-a x 0,直线l与抛物线相交，两个不同交点；=0 ,直线l与抛物线相切，一个切点； 0 ,直线l与抛物线相离，无公共点。(3) 若直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线必相切吗 ？(不一定)2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线1 : y kx b 抛物线, (p 0)y kx b y2 2pxk2x2 2(kb p)x b2 0设交点坐标为Ay, yj , B(X2, y2),则有0 ,

12、以及为 x2,X!X2 ,还可进一步求出联立方程法：yi y2 kxi b kx2 b k(xi X2) 2b2 2y1 y2 (kx-! b)(kx2 b) k xm2 kb(x-i x2) b在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如a. 相交弦AB的弦长X21 k2 .、(论 x2)2 4x1x2 .1 k21 y2)2 4畑 1X22 ，或 AB Ji丄y kb.中点 M （Xo, yo）, Xo点差法：设交点坐标为 A（Xi, yi），B（X2, y2），代入抛物线方程，得y2Xiak2ayi y2 yo盲2y1 2 px12y2 2 px2将两式相减，可得(% y2)(y1 y2)2p(x1X2)y1 y2 2pX1 X2 y1 y2a.在涉及斜率问题时，kAB2py1 y2b.在涉及中点轨迹1可题时，设线段AB的中点为5 y 2p2pPX1 X2 y1 y22 yoyo，即 kAB P，yo同理，对于抛物线 X22py(p0），若直线i与抛物线相交于A、B两点，弦AB的中点，则有kAB 1X2 2Xo Xo2p 2p pM (x%M (Xo,yo)是（注意能用这个公式的条件:1 ）直线与抛物线有两个不同的交点， 2 ）直线的斜率存在，且不等于零）