四垂径定理:
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧
推论1：
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
以上共4个定理，简称2推3定理：
此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：
①AB是直径②AB⊥CD③CE=DE④⑤
推论2：
圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：
在⊙O中，∵AB∥CD
五圆心角定理
六圆周角定理
圆周角定理：
同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半
即：
∵∠AOB和∠ACB是所对的圆心角和圆周角
∴∠AOB=2∠ACB
圆周角定理的推论：
推论1：
同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧
即：
在⊙O中，∵∠C、∠D都是所对的圆周角
∴∠C=∠D
推论2：
半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径
即：
在⊙O中，∵AB是直径或∵∠C=90°
∴∠C=90°∴AB是直径
推论3：
三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形
即：
在△ABC中，∵OC=OA=OB
∴△ABC是直角三角形或∠C=90°
注：
此推论实是初二年级几何中矩形的推论：
在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
七圆内接四边形
圆的内接四边形定理：
圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：
在⊙O中，∵四边形ABCD是内接四边形
∴∠C+∠BAD=180°B+∠D=180°
∠DAE=∠C
八切线的性质与判定定理
（1）判定定理：
过半径外端且垂直于半径的直线是切线
两个条件：
过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
即：
∵MN⊥OA且MN过半径OA外端
∴MN是⊙O的切线
（2）性质定理：
切线垂直于过切点的半径（如上图）
推论1：
过圆心垂直于切线的直线必过切点
推论2：
过切点垂直于切线的直线必过圆心
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：
过圆心过切点垂直切线中知道其中两个条件推出最后一个条件
∵MN是切线
∴MN⊥OA
切线长定理:
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：
∵PA、PB是的两条切线
∴PA=PB
PO平分∠BPA
九圆内正多边形的计算
（1）正三角形
在⊙O中△ABC是正三角形，有关计算在Rt△BOD中进行，OD:
BD:
OB=
（2）正四边形
同理，四边形的有关计算在Rt△OAE中进行，OE :
AE:
OA=
（3）正六边形
同理，六边形的有关计算在Rt△OAB中进行，AB:
OB:
OA=
十、圆的有关概念
1、三角形的外接圆、外心。
→用到：
线段的垂直平分线及性质
2、三角形的内切圆、内心。
→用到：
角的平分线及性质
3、圆的对称性。
→
十一、圆的有关线的长和面积。
1、圆的周长、弧长
C=2r,l=
2、圆的面积、扇形面积、圆锥的侧面积和全面积
S圆=r2，
S扇形=S圆锥=
3、求面积的方法
直接法→由面积公式直接得到
间接法→即：
割补法（和差法）→进行等量代换
十二、侧面展开图：
①圆柱侧面展开图是形,它的长是底面的,高是这个圆柱的；
②圆锥侧面展开图是形，它的半径是这个圆锥的，它的弧长是这个圆锥的底面的。
十三、正多边形计算的解题思路：
正多边形等腰三角形直角三角形。
可将正多边形的中心与一边组成等腰三角形，再用解直角三角形的知识进行求解。
圆
一、精心选一选，相信自己的判断！
（每小题4分，共40分）
1.如图，把自行车的两个车轮看成同一平面内的两个圆，则它们的位置关系是（）
A.外离B.外切C.相交D.内切
2.如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于（）
A．50°B．80°C．90°D．100°
第1题图
第2题图
第3题图
3.如图，AB是⊙O的直径，∠ABC=30°，则∠BAC=（）
A．90°B．60°C．45°D．30°（）
4.如图，⊙O的直径CD⊥AB，∠AOC=50°，则∠CDB大小为（）
A．25°B．30°C．40°D．50°
5.已知⊙O的直径为12cm，圆心到直线L的距离为6cm，则直线L与⊙O的公共点的个数为（）
A．2B．1C．0D．不确定
6.已知⊙O1与⊙O2的半径分别为3cm和7cm，两圆的圆心距O1O2=10cm，则两圆的位置关系是（）
A．外切B．内切C．相交D．相离
7.下列命题错误的是（）
A．经过不在同一直线上的三个点一定可以作圆
B．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等
C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
D．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
8.在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2为半径的圆必定（）
A．与x轴相离、与y轴相切B．与x轴、y轴都相离
C．与x轴相切、与y轴相离D．与x轴、y轴都相切
9已知两圆的半径R、r分别为方程的两根，两圆的圆心距为1，两圆的位置关系是（ ）
A．外离B．内切C．相交D．外切
10.同圆的内接正方形和外切正方形的周长之比为（）
A．∶1B．2∶1C．1∶2D．1∶
11.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，将△ABC绕边AC所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是（ ）
A．25πB．65πC．90πD．130π
12.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=2，O、H分别为边AB、AC的中点，将△ABC绕点B顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（）
A．π－B．π+C．πD．π+
二、细心填一填，试自己的身手！
（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13.如图，、分别切⊙于点、，点是⊙上一点，
且，则__ ___度．
第18题图图
17题图
第13题图图
14.在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，则⊙O的半径
为_______________.
15.已知在⊙O中，半径r=13，弦AB∥CD，且AB=24，CD=10，则AB与CD的距离为__________.
16.一个定滑轮起重装置的滑轮的半径是10cm，当重物上升10cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度为_______（假设绳索与滑轮之间没有滑动）
17.如图，在边长为3cm的正方形中，⊙P与⊙Q相外切，且⊙P分别与DA、DC边相切，⊙Q分别与BA、BC边相切，则圆心距PQ为______________．
18.如图，⊙O的半径为3cm，B为⊙O外一点，OB交⊙O于点A，AB=OA，动点P从点A出发，以πcm/s的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止．当点P运动的时间为_________s时，BP与⊙O相切．
三、用心做一做，显显自己的能力！
（本大题共7小题，满分66分）
19.（本题满分8分）如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=20cm，水深GF=2cm.若水面上升2cm（EG=2cm），则此时水面宽AB为多少？
20.（本题满分8分）如图，PA，PB是⊙O的切线，点A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠ACB=70°．求∠P的度数．
21.（本题满分8分）如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，点D在⊙O上，连接AD、BD，∠A=∠B=30°，BD是⊙O的切线吗？
请说明理由．
22.如图所示，是⨀O的一条弦，，垂足为，交⨀O于点，点在⨀O上．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求的长．（10分）
23.如图，、是⨀O的两条弦，延长、交于点，连结、交于点．，，求的度数．（8分）
24.（12分）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC中点，AE平分∠BAD交BC于点E，点O是AB上一点，⊙O过A、E两点,交AD于点G，交AB于点F．
（1）求证：
BC与⊙O相切；
（2）当∠BAC=120°时，求∠EFG的度数
25.（本题满分12分）已知：
如图△ABC内接于⊙O，OH⊥AC于H，过A点的切线与OC的延长线交于点D，∠B=30°，OH=5．请求出：
（1）∠AOC的度数；
（2）劣弧AC的长（结果保留π）；
（3）线段AD的长（结果保留根号）.
26.（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴交于A、B两点，AC是⊙M的直径，过点C的直线交x轴于点D，连接BC，已知点M的坐标为（0，），直线CD的函数解析式为y=－x＋5．
⑴求点D的坐标和BC的长；
⑵求点C的坐标和⊙M的半径；
⑶求证：
CD是⊙M的切线．
初中数学圆知识点总结
1、圆是定点的距离等于定长的点的集合
2、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合
3、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合
4、同圆或等圆的半径相等
5、到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆
6、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线
7、到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线
8、到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线
9、定理不在同一直线上的三点确定一个圆。
10、垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧
11、推论1：
①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
12、推论2：
圆的两条平行弦所夹的弧相等
13、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形
14、定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等
15、推论：
在同
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