3.二次函数的图象如图26-1-2-4所示,则它的解析式为()
A.y=2x2+2B.y=2x2-4C.y=2x2-2D.y=-2x2-2
图26-1-2-4
4.函数y=-ax2与y=-ax+a的图象在同一个坐标系中的图象大致是()
图26-1-2-5
5.已知二次函数y=mxm2-2m-6中,当x>0时,y随x的增大而增
大,则m=______________.
6.抛物线y=
x2关于x轴对称的函数解析式为_________________
.
7.抛物线y=5x2与直线y=kx+3的交点为(1,b),则b=____________,k=____________.
8.如图26-1-2-6,有一座抛物线型拱桥,桥下面在正常水位AB时宽20m,水位上升3m就达到警戒线CD,这时水面宽度为10米.
(1)建立适当的坐标系,求抛物线的关系式;
(2)若洪水到来时水位以0.2米/时的速度上升,从正常水位开始,再过几小时就能到达桥面?
图26-1-2-6
9.如图26-1-2-7,已知抛物线的顶点为A(0,1),矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上,D、E在x轴上,CF交y轴于点B(2,0),且其面积为8.求此抛物线的解析式.
图26-1-2-7
10.如图26-1-2-8是某段河床横断面的示意图.查阅该河段的水文资料,得到下表中的数据:
x(米)
5
10
20
30
40
50
y(米)
0.125
0.5
2
4.5
8
12.5
(1)请你以上表中的各对数据(x,y)作为点的坐标,尝试在图26-1-2-9所示的坐标系中画出y关于x的函数图象.
(2)①填写下表:
x
5
10
20
30
40
50
②根据所填表中数据呈现的规律,猜想出用x表示y的二次函数的表达式:
______________________.
(3)当水面宽度为36米时,一艘吃水深度(船底部到水面的距离)为1.8米的货船能否在这个河段安全通过?
为什么?
图26-1-2-8图26-1-2-9
参考答案
一、课前预习(5分钟训练)
1.抛物线y=
x2不具有的性质是()
A.开口向下B.对称轴是y轴C.与y轴不相交D.最高点是坐标原点
解析:
本题具有逆向思维的过程,把y=
x2的性质写下来形成对比,开口向下,对称轴是y轴,最高点是坐标原点,问题显而易见.
答案:
C
2.二次函数y=-3x2,y=-5x2图象的开口较大的是__________,开口方向__________,对称轴是__________,顶点是_____
_____.
解析:
二次函数的开口大小决定于|a|,|a|越大开口越小,|a|越小开口越大,开口方向由a的符号决定,a>0开口向上,a<0开口向下.
答案:
y=-3x2向下y轴原点
3.二次函数y=3x2-3开口向__________,顶点坐标为__________,对称轴为__________.当x>0时,y随x的增大而__________;当x<0时,y随x的增大而__________.因为a=3>0,所以y有最__________值,当x=__________时,y的最__________值是__________.
解析:
在二次函数中,当二次项系数大于0时,开口向上,有最低点,最小值,在对称轴左侧,函数值y随着的x增大而减小;在对称轴右侧,函数值y随着x的增大而增大.
答案:
上(0,-3)y轴增大减小小0小-3
4.若点A(-2,a)在抛物线y=-5x2上,则点A关于y轴对称点的坐标为__________.
解析:
点A(-2,a)在抛物线y=-5x2上,代入后求得a=-20,即A点的坐标就是(-2,-20),它关于y轴对称点的坐标为(2,-20).
答案:
(2,-20)
二、课中强化(10分钟训练)
1.对于二次函数y=(a2+3)x2,下列命题中正确的是()
A.函数图象开口方向不确定B.当a<0时,抛物线开口向下
C.此抛物线的对称轴是y轴,顶点是坐标原点;D.当x<0时,y随x的增大而增大
解析:
a2+3>
0,∴抛物线开口向上,A、B错误;顶点是坐标原点,对称轴为y轴.当x>0时,y随x的增大而增大;当x<0时,y随x的增大而减小,D项错误.
答案:
C
2.某工厂的大门是一抛物线形水泥建筑物,大门的地面宽度为8米,两侧距地面3米高处各有一盏壁灯,两壁灯之间的水平距离为6米,如图26-1-2-1所示,则大门的高(水泥建筑物厚度不计,精确到
0.1米)为()
图26-1-2-1
A.6.9米B.7.0米C.7.1米D.6.8米
解析:
如右图所示,建立平面直角坐标系.设抛物线关系式为y=ax2,设大门高为h米,则
A(4,-h),B(-4,-h),C(3,-h+3),D(-3,-h+3).将A、C坐标代入上式,得
解得h≈6.9.∴大门高约为6.9米.
答案:
A
3.将抛物线y=2x2向上平移3个单位
得到的抛物线,其解析式是_________________.
若向下平移3个单位,得到的抛物线的解析式是_________________.
解析:
上下平移只是顶点位置的不同,向上纵坐标增大,向下纵坐标减小.
答案:
y=2x2+3
y=2x2-3
4.
(1)已知二次函数①y=-3x2,②y=-3x2+5.在同一个坐标系中画出图象后比较它们的开口大小、方向,顶点坐标,对称轴有什么关系?
(2)y=ax2,y=ax2+b的开口大小,顶点坐标,对称轴有什么关系?
解:
(1)画图略,开口大小、方向相同;顶点坐标不同,但都在y轴上;对称轴都是y轴.
(2)开口大小、方向相同;顶点坐标不同,但都在y轴上;对称轴都是y轴.
5.如图26-1-2-2,等边△ABC以2m/s的速度沿直线l向菱形DCEF移动,直到
AB与CD重合,其中∠DCF=60°,设xs时,三角形与菱形重叠部分的面积为ym2.
(1
)写出y与x的关系表达式.
(2)当x=0.5,1时,y分别是多少?
(3)当重叠部分的面积是菱形面积的一半时,三角形移动了多长时间?
图26-1-2-2
解:
重合部分是一个等边三角形,底边为2x,其高为
x,所以,
(1)y=
x2.
(2)当x=0.5时,y=
;当x=1时,y=
.
(3)S菱形=
当y=
时,x=5s.
三、课后巩固(30分钟训练)
1.如图26-1-2-3,已知h关于t的函数关系式为h=
gt2(g为正常数,t为时间),则函数图象为()
图26-1-2-3
解析:
因为h=
gt2的h是t的二次函数,g、t、h都是非负数,所以该函数的图象是在第一象限的抛物线.
答案:
A
2.二次函数y=-mx2-m+4,开口向下,其图象的顶点在y轴的正半轴上,则m的取值范围是()
A.m<0B.m>0C.m>4D.0解析:
开口向下得m>0,顶点在y轴的正半轴上得-m+4>0,故选D.
答案:
D
3.二次函数的图象如图26-1-2-4所示,则它的解析式为()
A.y=2x2+2B.y=2x2-4C.y=2x2-2D.y=-2x2-2
图26-1-2-4
解析:
根据图象可设解析式为y=ax2+b,又因顶点为(0,-2)且过(1,0),解析式为y=2x2-2.
答案:
C
4.函数y=-ax2与y=-ax+a的图象在同一个坐标系中的图象大致是()
图26-1-2-5
解析:
一看开口,二看经过的象限及截距,从而得出答案.
答案:
A
5.已知二次函数y=mxm2-2m-6中,当x>0时,y随x的增大而增
大,则m=______________.
解析:
由题意得m2-2m-6=2且m≠0,解得m=4或m=-2,但当x>0时,y随x的增大而增大,就是说m>0,故只取m=4.
答案:
4
6.抛物线y=
x2关于x轴对称的函数解析式为_________________
.
解析:
y=
x2关于x轴对称的函数的二次项系数应与之相反.
答案:
y=-
x2
7.抛物线y=5x2与直线y=kx+3的交点为(1,b),则b=____________,k=____________.
解析:
抛物线y=5x2与直线y=kx+3的交点为(1,b),说明(1,b)代入y=5x2和y=kx+3都成立,解得b=5,k=2.
答案:
52
8.如图26-1-2-6,有一座抛物线型拱桥,桥下面在正常水位AB时宽20m,水位上升3m就达到警戒线CD,这时水面宽度为10米.
(1)建立适当的坐标系,求抛物线的关系式;
(2)若洪水到来时水位以0.2米/时的速度上升,从正常水位开始,再过几小时就能到达桥面?
图26-1-2-6
解:
(1)建立如图所示坐标系,则D点横坐标为5,B点横坐标为10,EF=3.
设
OE=h,则OF=h-3.则B(10,-h),D(5,3-h).
设抛物线为y=ax2,则
解得
∴y=
x2,B(10,-4),D(5,-1).
(2)∵OE=4,∴4÷0.2=20(小时).
9.如图26-1-2-7,已知抛物线的顶点为A(0,1),矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上,D、E在x轴上,CF交y轴于点B(2,0),且其面积为8.求此抛物线的解析式.
图26-1-2-7
解:
B点坐标为(0,2),∴OB=2.∵矩形CDEF面积为8,∴CF=4.∴C点坐标为(-2,2).
根据题意可设抛物线解析式为y=ax2+c,其过点A(0,1)和C(-2,2),
得
解这个方程组,得a=
,c=1.
∴此抛物线的解析式为y=
x2+1.
10.如图26-1-2-8是某段河床横断面的示意图.查阅该河段的水文资料,得到下表中的数据:
x(米)
5
10
20
30
40
50
y(米)
0.125
0.5
2
4.5
8
12.5
(1)请你以上表中的各对数据(x,y)作为点的坐标,尝试在图26-1-2-9所示的坐标系中画出y关于x的函数图象.
(2)①填写下表:
x
5
10
20
30
40
50
②根据所填表中数据呈现的规律,猜想出用x表示y的二次函数的表达式:
______________________.
(3)当水面宽度为36米时,一艘吃水深度(船底部到水面的距离)为1.8米的货船能否在这个河段安全通过?
为什么?
图26-1-2-8图26-1-2-9
解:
(1)图象略.
(2)①填表如下;
X
5
10
20
30
40
50
200
200
200
200
200
200
②y=
x2.
(3)当水面宽度为36米时,相应的x为18,此时水面中心的y=
×182=1.62.因为货船吃水深度为1.8m,显然,1.62<1.8,所以当水面宽度为36米时,该货船不能通过这个河段.