121绝对值化简题库教师版.docx

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121绝对值化简题库教师版

绝对值化简

中考要求

内容

基本要求

略咼要求

较咼要求

绝对值

借助数轴理解绝对值的意义，会求实数的绝对值

会利用绝对值的知识解决简单的化简问题

例题精讲

绝对值的几何意义：

一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.数a的绝对值记作|a.

绝对值的代数意义：

一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

注意：

①取绝对值也是一种运算，运算符号是“II”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.

2绝对值的性质：

一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

3绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.

④任何一个有理数都是由两部分组成：

符号和它的绝对值，如:

5符号是负号，绝对值是5.

求字母a的绝对值：

a（a0）

①a0（a0）

a（a0）

a（a0）

a（a0）

a（a0）

a（a0）

利用绝对值比较两个负有理数的大小：

两个负数，绝对值大的反而小

绝对值非负性：

如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为

0.

例如：

若|abc0，则a0，b0，c0

绝对值的其它重要性质：

（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即

aa，且|aa；

（2）若a||b，则ab或ab；

（3）aba|b；jb（b0）；

（4）|a|2|a2|a2；

（5）||^bIab|a|b，

对于|ab||a||b，等号当且仅当a、b同号或a、b中至少有一个0时，等号成立;

对于ab|ab，等号当且仅当a、b异号或a、b中至少有一个0时，等号成立.板块一：

绝对值代数意义及化简

【例1】（2级）⑴下列各组判断中,

正确的是

（）

A•若ab，则一定有a

bB•

若

a

b，则

定有

ab

C.若ab，则一定有a

bD•

若

a

b，则一

定有

a2b2

⑵如果a>b?

，贝9

（）

A•abB•a>

bC

•a

b

D

avb

⑶下列式子中正确的是

（）

A•aaB.a

aC•

a

a

D•

aa

⑷对于m1，下列结论正确的是

（）

A•m1>|m|B.m

1©ml

C•

m

1>|m|

1

D•m1w|m|1

⑸（2002年江苏省竞赛题

）若x2x

2

0,

求x的取值范围•

【解析】⑴选择D•

⑵选择B•

⑶我们可以分类讨论，也可以用特殊值法代入检验，对于绝对值的题目我们一般需要代正数、负数、

0,3种数帮助找到准确答案•易得答案为D•

⑷我们可以用特殊值法代入检验，正数、负数、0,3种数帮助找到准确答案C•

⑸x2x2，所以x2<0，即x<2•

【巩固】（2级）绝对值等于5的整数有个，绝对值小于5的整数有个

【解析】2；9个

【巩固】（2级）绝对值小于31的整数有哪些？

它们的和为多少?

【解析】绝对值小于31的整数有0,1,2,3，和为0•

【巩固】（2级）有理数a与b满足|b，则下面哪个答案正确（）

A•abB•abC.abD.无法确定

【解析】

选择D•

【例2】

（2级）

已知:

⑴a

5,b

2

2，且ab:

⑵a1b20，分别求a,b的值

【解析】

因为a

5,a

5

因为b

2,b

2

又因为

ab,

所以

a2,b

2

即a

5,b

2或a

5,b

2

⑵由非负性可知a

1,b2

【例3】

（2级）

已知

2x3

32x,

求x的取值范围

3

【解析】因为2x3的绝对值等于它的相反数，所以2x3<0,即x<-

2

【巩固】（4级）若ab且ab，则下列说法正确的是（）

D.b一定是负数

A.a一定是正数B.a一定是负数C.b一定是正数

【解析】由分析可知a,b中的较小数b一定是负数，故选D

【例4】（6级）（2010人大附中练习题）求出所有满足条件|abab1的非负整数对a,b

【解析】根据题意ab和ab两个代数式的值只能在0与1中取，用逐一列举的方法，求得满足条件的非负

整数对有三对0,1,1,0,1,1

【巩固】（6级）（2005年江苏省数学文化节基础闯关试题）非零整数m,n满足mn50,所有这样的整数组m,n共有

【解析】16【例5】（4级）（人大附单元测试）

如果有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，求abb1ac1c的值.

【解析】先判断每个绝对值符号内部的正负，而后化简

【例6】

（10级）

abc

（第4届希望杯2试）

d，则abbc

abcde是

cd

个五位自然数，其中de的最大值疋

a、b、c、d、e为阿拉伯数码，且

【解析】

当ab

c

de时，ab

bc

c

d

deea,当

e9,a1时取得最大值8;

当ab

c

d，且ae时，

ab

b

c

cd||de2d

ae,当d9,a1,e0时取

得最大值

17

.所以ab|b

c||c

d

d

e的最大值疋17.

的最小值为

【巩固】（10级）（华罗庚金杯赛前培训题）

a、b、c分别是一个三位数的百、十、个位上的数字，且abc,

则ab|pcca可能取得的最大值是多少?

a1即可，最大值为16.

【例8】（8级）（希望杯邀请赛试题）设a,bc为整数，且ab|ca1，求ca||abbc的值

【解析】因为a,bc为整数，且ab|ca1

故ab与ca一个为0，—个为1,从而bcbaac1，原式2

【巩固】（6级）（北京市迎春杯竞赛试题）已知a1,b2,c3,且abc，那么abc

【解析】2或0

【例9】（6级）

（1）（第10届希望杯2试）已知x1999，贝U4x25x94x22x23x7

（2）（第12届希望杯2试）

满足（ab）2（ba）abab（ab0）有理数a、b，一定不满足的关系是（）

A.ab0B.ab0C.ab0D.ab0

（3）（第7届希望杯2试）

已知有理数a、b的和ab及差ab在数轴上如图所示，化简2ab2ab7.

a+ba-b

••■■■►

-101

【解析】

（1）容易判断出，当x1999时，4X25x90,x22x20,

所以4x25x94x22x23x710x819982

这道题目体现了一种重要的先估算+后化简+再代入求值”的思想.

（2）为研究问题首先要先将题干中条件的绝对值符号通过讨论去掉，

若a>b时，（ab）2

（b

a）ab

（a

b）2

（a

b）2

0

ab,

若ab时，（ab）2

（b

a）ab

（a

b）2

（b

a）2

2（a

b）2ab,

从平方的非负性我们知道

ab0，且

ab

0,

所以

ab

0,

则答案A一定不满足

（3）由图可知0a

b

1,ab

1,

两式相加可得：

2a0,a0进而可判断出b0,此时2ab0,b70,

【巩固】

所以2ab2ab

（2ab）2（a）（b7）7.

（8级）（第9届希望杯

1试）若m1998，则

m211m999

22m99920

【解析】

m211m

999m（m

11）

999

19981987

9990，

2

m22m

999m（m

22）

999

19981976

9990，

故（m211m999）（m

2

i22m

999）2020000.

【补充】

（8级）若

x0.239,

求x

1

x3Lx

1997x

x

2L

【解析】

法1：

•••x

0.239，贝U

原式

（x1）（x

3）

Li

（x1997）x

（x2）L

（x

1996）

x1x3

x

5L

x1997x

x2L

x

1996

x1996的值.

2m

1（32）（54）L（19971996）

11L1999

法2:

由x

11L1999

点评：

解法二的这种思维方法叫做构造法.要作用.

1996）

这种方法对于显示题目中的关系，简化解题步骤有着重

【例10】（10级）设Ax|x20||xb20,其中0b

【解析】因为0b0,x20<0,xb200，进而可以得到：

Ax2b>x2xx>20,所以A的最小值为20

【例11】

（8级〕

）若

2a

4

5a

13a的值是一个定值，求a的取值范围.

【解析】

要想使2a

4

5a

1

3a的值是一个定值，就必须使得45a0,且13a<0，

原式

2a

4

5a

（1

14

3a）3，即-

35

【巩固】（8级）若x1x2x3Lx2008的值为常数，试求x的取值范围

【解析】要使式子的值为常数，x得相消完，当1004

【例12】（2级）数a,b在数轴上对应的点如右图所示，试化简

abbabaa|

【解析】abbabaa|abbab2ab.

【巩固】（2级）实数a,bc在数轴上的对应点如图，化简|cbabac

【解析】

由题意可知:

a

0,c

b

0,ab

0,a

c

0,

所以原式2ca

【巩固】

（2-

级）若

a

b且-

b

0

化简a

b

a

b

ab.

【解析】

若a

b且

a

b

0,a

0,b

0,a

b0,ab

0

a

ba

b

ab

a

bab

ab

ab

2a

【例13】（8级）（北大附中2005-2006学年度第一学期期中考试）设a,b,c为非零实数，且aa0,abab,cc0.化简bab|cbac.

【解析】aa0,aa,av0;abab,aba0;cc0,cc,c》0

所以可以得到a0,b0,c0;

bab||cb||ac|babcbacb.

【例14】（6级）如果0m10并且mvxv10，化简xmx10xm10.

【解析】xmx10|xm10xm10xm10x20x.

【巩固】（2级）化简:

⑴3x;

⑵x

1x2

2x3x2

3

xx3

【解析】⑴原式

；⑵原式12vx1

x

3x>3

2x3x>1

【解析】

【巩固】

（8级）（第7届希望杯

ab0，那么ba1

5等于

【解析】

a0,ab0,可得：

b0,所以ba

5ba1ab54

【巩固】（2级）已知Kx5，化简1xx5

【解析】因为Kx5，所以1x<0,x50,原式

【解析】由x1x12的几何意义，我们容易判断出1

【例16】（8级）若x0,化简Al2：

l

|x3|x|

abcd25,求ba||dc的值

【解析】因abw9,cd<16,故ab\|cd<91625,又因为

9,cd16,故原式7

25abcdabdcwabdcw25,所以ab

板块二：

关于已的探讨应用

a

【例18】（6级）已知a是非零有理数，求

【解析】

a

若a0，那么2-

同|a|

a

若a0，那么

lal

23

aa

1111.

【例19】

x上

上

变，且a,b,c都

（10级）（2006年第二届华罗庚杯香港中学竞赛试题）已知

a

b

c

abc

不等于0,求x的所有可能值

【解析】

4或0或4

【巩固】

【巩固】（6级）当m3时，化简旦卫

m

3

【解析】m

3,m3

0,

m3

m3，所以

当m

3，即m

3

0时，

m

3

1；

m3

当m

3，即m

3

0时，

m

3

（m3），所以—

31

m

3

【例20】（8级）（2009年全国初中数学竞赛黄冈市选拔赛试题）若0a1，2b1，则

a

1b2

ab的值是（

）

a

1b2

ab

A.

0B.

1C.3

D.4

【解析】⑴C.

特殊值法：

取a0.5,b

1.5代入计算即可.

【巩固】（2级）下列可能正确的是（）

A

團

b

1

B.

迥

2

a

lbl

a

b

c

C.

a

b

凶3

D.

|a|

lbl

|c|

ldl

abcd

4

|a|

|b|

c

d

a

b

c

d

abcd

【解析】选D.

排除j

法比较好或特殊值法

1,1,

1,

1.

（6级）如果2ab0，则

A.2

B.3

C.4

【解析】B

0，则

求ax3

2

bxcx

1的值.

【解析】a,b,

c中必为一

负两正，

不妨设a0,则b0,c0;

a

xla

bc

bc

ab

|ac

-—1111110，所以原式=1

ab

ac

bc

【巩固】

（10级）（海口市竞赛题）三个数a,b,c的积为负数，和为正数，且x

【巩固】（6级）若a，b,c均不为零，且abc0，求专专:

.

【解析】根据条件可得a,b,c有1个负数或2个负数，所以所求式子的值为1或1

【巩固】（8级）（第13届希望杯培训试题）

如果abc0,abc0,abc0,求（吕严（吕严（占严的值.

囘冋冋

【解析】由abc0,abc0,abc0，两两相加可得：

a0,b0,c0，所以原式结果

为1•若将此题变形为：

非零有理数a、b、c，求b1等于多少？

从总体出发：

（a）20081，所以原式1111.

Ial

【例25】（8级）（"祖冲之杯”初中数学邀请赛试题）设实数a,b,c满足abc0，及abc0，若

x——,ya（21）bQ1）c（l丄），那么代数式x2y3xy的值为.

|a||b||c|bcacab

当x1时，原式2098

类讨论：

①两正一负，原式值为1:

②两负一正，原式值为1.

【例27】（8级）（第18届希望杯2试）若有理数m、n、p满足四也—1，求2mnp的值.mnp|3mnp|

【解析】由一一E1可得：

有理数m、n、p中两正一负，所以mnp0,所以讪卩1

m

n

p

|mnp|

2mnp

2

mnp

2

3mnp

3

mnp

3•

【巩固】

（6：

级）已知有理数a,b

c满足ab|c1，则abc（

abcabc

）

A.

1B.1C.

0D.不能确定

【解析】

提示:

:

其中两个字母为正数,

一个为负数，即abc0

【巩固】（8级）有理数a,b,c,d满足甌1，求色上上9的值.

abedabed

|abcd|

【解析】由1知abed0,所以a,b,c,d里含有1个负数或3个负数：

abed

若含有1个负数，则？

也£92；若含有3个负数，则？

巴匕世abedabed

【例28】

（6纟

及）已知ab0,

求？

b

的值

a

b

【解析】

⑴若

a,b异号，则一

b

11

0

a

b

⑵若

a,b都是正数，则

旦

b

2

a

b

⑶若

a,b都是负数，则

?

b

1~i

2

a

b

【巩固】

（6级）

已知

ab0,

求

1a

—的值.

a

b

【解析】

分类讨论

当a0,

b

0时，-

a

b

110.

当a0,

b

0时，

1a

b

1

（1）2.

a

b

a

b

当a0,

b

0时，-

aa

bb

112.

当a0,

b

0时，

1a

a

b

1

（1）0

b

综上所述，严|的值为2，0，2.

【例29】（6级）若a,b,e均为非零的有理数，求abe的值

|a||b||e|

abe

【解析】⑴当a,be都是正数时，原式一--3

abe

⑵当a,b,e都是负数时，原式3

⑶当a,b,e有两个正数一个负数时，原式1

⑷当a,b,e有两个负数一个正数时，原式1

【解析】由abe0可得，a、b、e中有3个负数或1个负数,

当a、b、e中有3个负数时，原式11

（1）1;

当a、b中有1个是负数时，原式1111;

当c是负数时，原式11

（1）3.

板块三：

零点分段讨论法（中考高端，可选讲）

【例30】（4级）（2005年云南省中考试题）阅读下列材料并解决相关问题:

xx0

我们知道x0x0，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式

xx0

x1x2时，可令x1

0和x2

0，分别求得x1,x2（称1,2分别为x1与x

2的

零点值），在有理数范围内，

零点值x

1和x2可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下

3中

情况：

•

⑴当x1时，原式x

1x2

2x1

⑵当1

x1x2

3

⑶当x>2时，原式x1

x22x

1

2x1

x1

综上讨论，原式31

2x1x>2

通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题:

⑴分别求出x2和x4的零点值

⑵化简代数式x2x4

【解析]⑴分别令x2

0和x40,分别求得x2和x4，所以x

2和x4的零点值分别为x2

和x4

⑵当x

2时,

原式

x2x4

x2x42x2;

当2

x2

x4

6；

当x>4时，原式

x2x42x2

2x2x2

所以综上讨论，原式62

2x2x>4

【例31]（6级）求mm1m2的值.

当m2时，原式mm1m23m3.

【例32】

（4级）化简：

2x1

x

2

【解析】

由题意可知：

零点为x

1

x0

2'

1

当x-时，原式x

1

2

1

当一

3x

3

2

当x>2时，原式x

1

【巩固】（4级）（2005年淮安市中考题）化简x52x3.

3

【解析】先找零点.x50,x5;2x30,x-,零点可以将数轴分成三段.

2

3

当x>,x50,2x3>0,x52x33x2；

3

当50,2x30,x52x38x；

当x5,x50,2x30,x5||2x33x2.

【巩固】（6级）（北京市中考模拟题）化简：

||x12|x1.

【解析】先找零点.x10,x1.x10,x1.

x120,x12,x12或x12，可得x3或者x1;

综上所得零点有1,-1,3,依次零点可以将数轴分成四段.

⑴x>3,x10,