专题48用一元一次方程解决问题4行程问题七上数学尖子生同步培优题典解析版.docx
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专题48用一元一次方程解决问题4行程问题七上数学尖子生同步培优题典解析版
2020-2021学年七年级数学上册尖子生同步培优题典
专题4.8用一元一次方程解决问题（4）行程问题
姓名：
__________________班级：
______________得分：
_________________
注意事项：
本试卷满分100分，，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020•海门市二模）《九章算术》中记载了这样一个数学问题：
今有甲发长安，五日至齐，乙发齐，七日至长安，今乙发已先二日，甲仍发长安．同几何日相逢？
译文：
甲从长安出发，5日到齐国．乙从齐国出发，7日到长安，现乙先出发2日，甲才从长安出发．问甲经过多少日与乙相逢？
设甲经过x日与乙相逢，可列方程．（ ）
A．
1B．
1C．
D．
1
【分析】设甲经过x日与乙相逢，则乙已出发（x+2）日，根据甲行驶的路程+乙行驶的路程＝齐国到长安的距离（单位1），即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解析】设甲经过x日与乙相逢，则乙已出发（x+2）日，
依题意，得：
1．
故选：
D．
2．（2020春•溧水区期末）某铁路桥长1200m，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了1min，整列火车完全在桥上的时间共40s．则火车的长度为（ ）
A．180mB．200mC．240mD．250m
【分析】设火车的长度为xm，根据速度＝路程÷时间结合火车的速度不变，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解析】设火车的长度为xm，
依题意，得：
，
解得：
x＝240．
故选：
C．
3．（2019秋•阜南县期末）A、B两地相距450千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行．已知甲车速度为120千米/小时，乙车速度为80千米/小时，经过t小时两车相距50千米．则t的值是（ ）
A．2B．2或2.25C．2.5D．2或2.5
【分析】应该有两种情况，第一次应该还没相遇时相距50千米，第二次应该是相遇后交错离开相距50千米，根据路程＝速度×时间，可列方程求解．
【解析】设经过t小时两车相距50千米，根据题意，得
120t+80t＝450﹣50，或120t+80t＝450+50，
解得t＝2，或t＝2.5．
答：
经过2小时或2.5小时相距50千米．
故选：
D．
4．（2019秋•黄冈期末）某中学生军训，沿着与笔直的铁路并列的公路匀速前进，每小时走4500米，一列火车以每小时120千米的速度迎面开来，测得火车与队首学生相遇，到车尾与队末学生相遇共经过60秒，如果队伍长500米，那么火车长（ ）
A．1500米B．1575米C．2000米D．2075米
【分析】先将60秒化为
小时，设火车长x千米，然后根据学生行驶的路程+火车的路程＝火车的长度+学生队伍的长度列方程求解即可．
【解析】设火车长x千米．60秒
小时．
根据题意得：
（4.5+120）＝x+0.5．
解得：
x＝1.575．
1.575千米＝1575米．
答：
火车的长为1575米．
故选：
B．
5．（2020春•九龙坡区期末）甲、乙两人分别从A、B两地同时骑自行车相向而行，2小时后在途中相遇，相遇后，甲、乙骑自行车的速度都提高了1千米/小时，当甲到达B地后立刻以原路和提高后的速度向A地返行，乙到达A地后也立刻以原路和提高后的速度向B地返行．甲、乙两人在开始出发后的5小时36分钟又再次相遇，则A、B两地的距离是（ ）
A．24千米B．30千米C．32千米D．36千米
【分析】设第一次相遇时，甲、乙的速度和为xkm/h，由第一次到第二次相遇的过程中，甲，乙的路程和是第一次相遇时甲，乙路程和的两倍．可列方程，即可求解．
【解析】设第一次相遇时，甲、乙的速度和为xkm/h，
5小时36分钟＝5
（小时）
由题意可得：
2×2x＝（5
2）（x+2），
解得：
x＝18，
∴A、B两地的距离＝2×18＝36（km），
故选：
D．
6．（2019秋•鄂城区期末）如图，正方形ABCD的轨道上有两个点甲与乙，开始时甲在A处，乙在C处，它们沿着正方形轨道顺时针同时出发，甲的速度为每秒1cm，乙的速度为每秒5cm，已知正方形轨道ABCD的边长为2cm，则乙在第2020次追上甲时的位置在（ ）
A．AB上B．BC上C．CD上D．AD上
【分析】根据题意列一元一次方程，然后四个循环为一次即可求得结论．
【解析】设乙走x秒第一次追上甲．
根据题意，得
5x﹣x＝4
解得x＝1．
∴乙走1秒第一次追上甲，则乙在第1次追上甲时的位置是AB上；
设乙再走y秒第二次追上甲．
根据题意，得5y﹣y＝8，解得y＝2．
∴乙再走2秒第二次追上甲，则乙在第2次追上甲时的位置是BC上；
同理：
∴乙再走2秒第三次次追上甲，则乙在第3次追上甲时的位置是CD上；
∴乙再走2秒第四次追上甲，则乙在第4次追上甲时的位置是DA上；
乙在第5次追上甲时的位置又回到AB上；
∴2020÷4＝505，
∴乙在第2020次追上甲时的位置是AD上．
故选：
D．
7．（2019秋•正定县期末）长为300米的春游队伍，以2米/秒的速度向东行进．在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为4米/秒．则往返共用的时间为（ ）
A．200sB．205sC．210sD．215s
【分析】设从排尾到排头需要t1秒，从排头到排尾需要t2秒．因为从排尾到排头是追击问题，根据速度差×时间＝队伍长列出方程，求出t1，又从排头到排尾是相遇问题，根据速度和×时间＝队伍长列出方程，求出t2，那么t1+t2的值即为所求．
【解析】设从排尾到排头需要t1秒，从排头到排尾需要t2秒，
根据题意，得（4﹣2）t1＝300，（4+2）t2＝300，
解得t1＝150，t2＝50，
t1+t2＝150+50＝200（秒）．
答：
此人往返一趟共需200秒，
故选：
A．
8．（2020•呼和浩特）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载，“三百七十八里关；初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是；有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到关口，则此人第一和第六这两天共走了（ ）
A．102里B．126里C．192里D．198里
【分析】设第六天走的路程为x里，则第五天走的路程为2x里，依此往前推，第一天走的路程为32x里，根据前六天的路程之和为378里，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解析】设第六天走的路程为x里，则第五天走的路程为2x里，依此往前推，第一天走的路程为32x里，
依题意，得：
x+2x+4x+8x+16x+32x＝378，
解得：
x＝6．
32x＝192，
6+192＝198，
答：
此人第一和第六这两天共走了198里，
故选：
D．
9．（2019秋•官渡区期末）如图，数轴上的点O和点A分别表示0和10，点P是线段OA上一动点．点P沿O→A→O以每秒2个单位的速度往返运动1次，B是线段OA的中点，设点P运动时间为t秒（t不超过10秒）．若点P在运动过程中，当PB＝2时，则运动时间t的值为（ ）
A．
秒或
秒
B．
秒或
秒
秒或
秒
C．3秒或7秒
D．3秒或
秒或7秒或
秒
【分析】分0≤t≤5与5≤t≤10两种情况进行讨论，根据PB＝2列方程，求解即可．
【解析】①当0≤t≤5时，动点P所表示的数是2t，
∵PB＝2，
∴|2t﹣5|＝2，
∴2t﹣5＝﹣2，或2t﹣5＝2，
解得t
或t
；
②当5≤t≤10时，动点P所表示的数是20﹣2t，
∵PB＝2，
∴|20﹣2t﹣5|＝2，
∴20﹣2t﹣5＝2，或20﹣2t﹣5＝﹣2，
解得t
或t
．
综上所述，运动时间t的值为
秒或
秒
秒或
秒．
故选：
B．
10．（2019秋•姑苏区期末）甲、乙两人在长为25米泳池内始终以匀速游泳，两人同时从起点出发，触壁后原路返回，如是往返；甲的速度是1米/秒，乙的速度是0.6米/秒，那么第十次迎面相遇时他们离起点（ ）
A．7.5米B．10米C．12米D．12.5米
【分析】设甲、乙两人都跑了x秒后，第十次迎面相遇，根据第十次迎面相遇时，甲、乙两人一共游泳25×2×10米，可得出方程，解出即可．
【解析】设甲、乙两人都跑了x秒后，第十次迎面相遇，依题意有
（1+0.6）x＝25×2×10，
解得x＝312.5，
312.5×1＝312.5（米），
312.5÷（25×2）
＝312.5÷50
＝6…12.5（米）．
答：
第十次迎面相遇时他们离起点12.5米．
故选：
D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请把答案直接填写在横线上）
11．（2019秋•海州区校级期末）甲、乙两人从长度为400m的环形运动场同一起点同向出发，甲跑步速度为200m/min，乙步行，当甲第三次超越乙时，乙正好走完第二圈，再过
或
min，甲、乙之间相距100m．（在甲第四次超越乙前）
【分析】根据速度＝路程÷时间，即可求出乙步行的速度，设再经过xmin，甲、乙之间相距100m，根据甲跑步的路程﹣乙步行的路程＝100或甲跑步的路程﹣乙步行的路程＝300，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解析】乙步行的速度为400×2÷[400×（2+3）÷200]＝80（m/min）．
设再经过xmin，甲、乙之间相距100m，
依题意，得：
200x﹣80x＝100或200x﹣80x＝300，
解得：
x
或x
．
故答案为：
或
．
12．（2020春•番禺区期末）一条船顺流航行，每小时行驶20千米；逆流航行，每小时行驶16千米．若水的流速与船在静水中的速度都是不变的，则轮船在静水中的速度为 18 千米/小时．
【分析】设轮船在静水中的速度为x千米/小时，则水流速度为（20﹣x）千米/小时，由逆水速度＝静水速度﹣水流速度，列出方程，可求解．
【解析】设轮船在静水中的速度为x千米/小时，则水流速度为（20﹣x）千米/小时，
由题意可得：
x﹣（20﹣x）＝16，
解得：
x＝18，
∴轮船在静水中的速度为18千米/小时，
故答案为：
18．
13．（2019秋•沙坪坝区校级期末）甲，乙两人在一条长400米的环形跑道上练习跑步，甲的速度为6米每秒，乙的速度为4米每秒，若两人同时同地背向出发，经过 40 秒两人首次相遇．
【分析】设经过x秒两人首次相遇，由甲的路程+乙的路程＝400米，可列方程，即可求解．
【解析】设经过x秒两人首次相遇，
由题意可得：
6x+4x＝400，
解得：
x＝40，
答：
设经过40秒两人首次相遇；
故答案为：
40．
14．（2019秋•明光市期末）一组自行车运动员在一条笔直的道路上作赛前训练他们以每小时35千米的速度向前行驶，突然运动员甲离开小组以每小时45千米的速度向前行驶10千米然后以同样速度掉转头回来重新和小组汇合，则运动员甲从离开小组到重新和小组汇合所用时间为 0.25 小时．
【分析】理解运动员甲从离开小组到和小组汇合所走的路程+小组走的路程＝10×2，列出方程，即可解答．
【解析】设运动员甲从离开小组到重新和小组汇合所用时间为x小时．
则有：
35x+45x＝20
解得：
x＝0.25
答：
运动员甲从离开小组到重新和小组汇合所用时间为0.25小时．
15．（2019秋•高邑县期末）轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用3小时，若船速为26千米/小时，水速为2千米/时，则A港和B港相距 504 千米．
【分析】轮船航行问题中的基本关系为：
（1）船的顺水速度＝船的静水速度+水流速度；
（2）船的逆水速度＝船的静水速度一水流速度．若设A港和B港相距x千米，则从A港顺流行驶到B港所用时间为
小时，从B港返回A港用
小时，根据题意列方程求解．
【解析】设A港和B港相距x千米．
根据题意，得
，
解之得x＝504．
故填504．
16．（2019秋•大足区期末）甲乙两车分别从A，B两地同时相向匀速行驶，甲车每小时比乙车快20千米，行驶3小时两车相遇，乙车到达A地后未作停留，继续保持原速向远离B地的方向行驶，而甲车在相遇后又行驶了2小时到达B地后休整了半小时，然后调头并保持原速与乙车同向行驶，经过一段时间后两车同时到达C地．则A，C两地相距 360 千米．
【分析】设乙车每小时行驶x千米，则甲车每小时行驶（x+20）千米，由题意得3x＝2（x+20），解得x＝40，则x+20＝60，求出A，B两地的距离为300千米，设两车相遇后经过y小时到达C地，由题意得60（y﹣2.5）＝40（y+3），解得y＝13.5，求出B，C两地的距离为660千米，即可得出答案．
【解析】设乙车每小时行驶x千米，则甲车每小时行驶（x+20）千米，
由题意得：
3x＝2（x+20），
解得：
x＝40，
则x+20＝60，
即乙车每小时行驶40千米，则甲车每小时行驶60千米，
∴A，B两地的距离为：
3×60+3×40＝300（千米），
设两车相遇后经过y小时到达C地，
由题意得：
60（y﹣2.5）＝40（y+3），
解得：
y＝13.5，
∴B，C两地的距离为：
60（13.5﹣2.5）＝660（千米），
∴A，C两地的距离为：
660﹣300＝360（千米）；
故答案为：
360．
17．（2019秋•嘉兴期末）如图，在数轴上，点A，B表示的数分别是﹣8，10．点P以每秒2个单位长度从A出发沿数轴向右运动，同时点Q以每秒3个单位长度从点B出发沿数轴在B，A之间往返运动，设运动时间为t秒．当点P，Q之间的距离为6个单位长度时，t的值为
秒或
秒或12秒 ．
【分析】分三种情况①当点P、Q没有相遇时；②当点P、Q相遇后，点Q没有到达A时；③当点Q到达A返回时；分别由题意列出方程，解方程即可．
【解析】∵点A，B表示的数分别是﹣8，10，
∴OA＝8，OB＝10，
∴OA+OB＝18，
①当点P、Q没有相遇时，
由题意得：
8﹣2t+10﹣3t＝6，
解得：
t
；
②当点P、Q相遇后，点Q没有到达A时，
由题意得：
2t﹣8+3t﹣10＝6，
解得：
t
；
③当点Q到达A返回时，
由题意得：
2t﹣（3t﹣18）＝6，
解得：
t＝12；
综上所述，当点P，Q之间的距离为6个单位长度时，t的值为
秒或
秒或12秒；
故答案为：
秒或
秒或12秒．
18．（2019秋•沙坪坝区校级期末）A、B、C三地依次在同一直线上，B，C两地相距560千米，甲、乙两车分别从B，C两地同时出发，相向匀速行驶．行驶4小时两车相遇，再经过3小时，甲车到达C地，然后立即调头，并将速度提高10%后与乙车同向行驶，经过一段时间后两车同时到达A地，则A，B两地相距 760 千米．
【分析】设乙车的平均速度是x千米/时，根据4（甲的平均速度+乙的平均速度）＝560列出方程并求得乙车的行驶平均速度；设甲车从C地到A地需要t小时，则乙车从C地到A地需要（t+7）小时，根据它们行驶路程相等列出方程并求得t的值；然后由路程＝时间×速度解答．
【解析】设乙车的平均速度是x千米/时，则
4（
x）＝560．
解得x＝60
即乙车的平均速度是60千米/时．
设甲车从C地到A地需要t小时，则乙车从C地到A地需要（t+7）小时，则
80（1+10%）t＝60（7+t）
解得t＝15．
所以60（7+t）﹣560＝760（千米）
故答案是：
760．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2019秋•新余期末）一辆客车和辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是60千米/小时，卡车的行驶速度是40千米/小时，客车比卡车早2小时经过B地，A、B两地间的路程是多少千米？
【分析】设A、B两地间的路程为x千米，根据题意分别求出客车所用时间和卡车所用时间，根据两车时间差为2小时即可列出方程，求出x的值．
【解析】解：
设A、B两地间的路程为x千米，
根据题意得
2
解得x＝240
答：
A、B两地间的路程是240千米．
20．（2019秋•姑苏区期末）已知高铁的速度比动车的速度快50km/h，小路同学从苏州去北京游玩，本打算乘坐动车，需要6h才能到达；由于得知开通了高铁，决定乘坐高铁，她发现乘坐高铁比乘坐动车节约72min．求高铁的速度和苏州与北京之间的距离．
【分析】设高铁的速度为xkm/h，则动车的速度为（x﹣50）km/h，根据时间、路程与速度关系，列出等式，求出x的值，进一步求出路程即可．
【解析】72min
h，
设高铁的速度为xkm/h，则动车的速度为（x﹣50）km/h，依题意有
6（x﹣50）
x，
解得x＝250，
6（x﹣50）＝6×（250﹣50）＝1200．
答：
高铁的速度为250km/h，苏州与北京之间的距离为1200km．
21．（2020春•嘉定区期末）小明、小杰两人在400米的环形赛道上练习跑步，小明每分钟跑300米，小杰每分钟跑220米．
（1）若小明、小杰两人同时同地反向出发，那么出发几分钟后，小明，小杰第一次相遇？
（2）若小明、小杰两人同时同向出发，起跑时，小杰在小明前面100米处．
①出发几分钟后，小明、小杰第一次相遇？
②出发几分钟后，小明、小杰的路程第一次相距20米？
【分析】
（1）设出发x分钟后，小明、小杰第一次相遇，根据环形跑道的长度＝小明跑的路程+小杰跑的路程，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）①设出发y分钟后，小明、小杰第一次相遇，根据两人之间的距离＝小明跑的路程﹣小杰跑的路程，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论；
②设出发z分钟后，小明、小杰的路程第一次相距20米，根据两人之间的距离＝小明跑的路程﹣小杰跑的路程+20，即可得出关于z的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解析】
（1）设出发x分钟后，小明、小杰第一次相遇，
依题意，得：
300x+220x＝400，
解得：
x
．
答：
出发
分钟后，小明、小杰第一次相遇．
（2）①设出发y分钟后，小明、小杰第一次相遇，
依题意，得：
300y﹣220y＝100，
解得：
y
．
答：
出发
分钟后，小明、小杰第一次相遇．
②设出发z分钟后，小明、小杰的路程第一次相距20米，
依题意，得：
300z﹣220z+20＝100，
解得：
z＝1．
答：
出发1分钟后，小明、小杰的路程第一次相距20米．
22．（2019秋•密云区期末）列方程解应用题
十一期间，张老师从北京出发走京津高速到天津．去时在京津高速上用了1.2小时，返回时在京津高速上比去时多用18分钟，返回时平均速度降低了22千米/小时．求张老师去时在京津高速上开车的平均速度．
【分析】设张老师去时在京津高速上开车的平均速度是x千米/小时，则返回时在京津高速上开车的平均速度是（x﹣22）千米/小时，根据路程＝速度×时间结合往返路程相同，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解析】设张老师去时在京津高速上开车的平均速度是x千米/小时，则返回时在京津高速上开车的平均速度是（x﹣22）千米/小时，
依题意，得：
1.2x＝（1.2
）（x﹣22），
解得：
x＝110．
答：
张老师去时在京津高速上开车的平均速度是110千米/小时．
23．（2020•泰州二模）某市水果批发欲将A市的一批水果运往本市销售，有火车和汽车两种运输方式，运输过程中的损耗均为200元/时，其它主要参考数据如下：
运输工具
途中平均速度（千米/时）
运费（元/千米）
装卸费用（元）
火车
100
15
2000
汽车
80
20
900
（1）如果汽车的总支出费用比火车费用多1100元，你知道本市与A市之间的路程是多少千米吗？
请你列方程解答．（总支出包含损耗、运费和装卸费用）
（2）如果A市与B市之间的距离为S千米，你若是A市水果批发部门的经理，要想将这种水果运往B市销售，试分析以上两种运输工具中选择哪种运输方式比较合算呢？
【分析】
（1）设本市与A市之间的路程是x千米，由汽车的总支出费用比火车费用多1100元，列出方程可求解；
（2）分别求出火车和汽车的运费，求出两者运费相等时，S的值，即可求解．
【解答】
（1）设本市与A市之间的路程是x千米，
由题意可得：
，
解得x＝400，
答：
本市与A市之间的路程是400千米，
（2）火车的运输费用为
200+15S+2000＝17S+2000，
汽车运输的费用为
20S+900＝22.5S+900，
当17S+2000＝22.5S+900，
解得S＝200，
答：
当S＞200时，选择火车运输，
当S＜200时，选择汽车运输，
当S＝200时，两种方式都一样．
24．（2020春•万州区期末）5月的第二个周日是母亲节，小东为了精心设计一份手工礼物送给妈妈，为尽快完成手工礼物，小东骑自行车到位于家正西方向的商店购买材料．小东离家15分钟时自行车出现故障，小东立即打电话通知在家看报纸的父亲贺明带上工具箱来帮忙维修，同时小东以原来一半的速度推着自行车继续走向商店．父亲贺明接到电话后（接电话时间忽略不计），立即骑车出发追赶小东，15分钟时追上小东，并修好了自行车，父亲贺明以原速返家，小东以原骑行速度骑车前往商店，10分钟时到达商店，此时两人相距5000米．
（1）求父亲贺明和小东骑车的速度；
（2）求小东家到商店的路程．
【分析】
（1）设小东骑车速度为x米/分钟，由“父亲贺明以原速返家，小东以原骑行速度骑车前往商店，10分钟时到达商店，此时两人相距5000米”，列出方程，即可求解；
（2）利用路程＝速度×时间可求解．
【解析】设小东骑车速度为x米/分钟，则父亲贺明骑车速度
x（米/分钟），
由题意可得：
10x+10
x＝5000，
∴x＝200
∴
x＝300米/分钟，
答：
父亲贺明骑车的速度为300米/分钟，小东骑车的速度200米/分钟；
（2）小东家到商店的路程＝15×200+15×100+10×200＝6500（米），
答：
小东家到商店的路程为6500米．
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