学年高中数学第八章立体几何初步842空间点直线平面之间的位置关系学案新人教A版.docx

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学年高中数学第八章立体几何初步842空间点直线平面之间的位置关系学案新人教A版

8．4.2　空间点、直线、平面之间的位置关系

考点

学习目标

核心素养

空间两直线的位置关系

了解空间两条直线间的位置关系，理解异面直线的定义

直观想象

直线与平面的位置关系

了解直线与平面之间的三种位置关系，并能判断直线

与平面的位置关系，会用符号语言和图形语言表示

直观想象、逻辑推理

平面与平面的位置关系

了解平面与平面之间的两种位置关系，并能判断两个平面

的位置关系，会用符号语言和图形语言表示

直观想象、逻辑推理

问题导学

预习教材P128－P131的内容，思考以下问题：

1．空间两直线有哪几种位置关系？

2．直线与平面的位置关系有哪几种？

3．平面与平面的位置关系有哪几种？

4．如何用符号和图形表示直线与平面的位置关系？

5．如何用符号和图形表示平面与平面的位置关系？

1．空间中直线与直线的位置关系

（1）异面直线

①定义：

把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线；

②画法：

（通常用平面衬托）

（2）空间两条直线的位置关系

■名师点拨　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（1）异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件．异面直线既不相交，也不平行．

（2）不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线，如图中，虽然有a⊂α，b⊂β，即a，b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b＝O，所以a与b不是异面直线．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

2．空间中直线与平面的位置关系

位置关系

直线a在

平面α内

直线a在平面α外

直线a与平

面α相交

直线a与

平面α平行

公共点

无数个公共点

有且只有

一个公共点

没有公共点

符号表示

a⊂α

a∩α＝A

a∥α

图形表示

■名师点拨　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

一般地，直线a在平面α内时，应把直线a画在表示平面α的平行四边形内；直线a与平面α相交时，应画成直线a与平面α有且只有一个公共点，被平面α遮住的部分画成虚线或不画；直线a与平面α平行时，应画成直线a与表示平面α的平行四边形的一条边平行，并画在表示平面α的平行四边形外．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

3．空间中平面与平面的位置关系

位置关系

两个平面平行

两个平面相交

公共点

没有公共点

有无数个公共点（在一条直线上）

符号表示

α∥β

α∩β＝l

图形表示

■名师点拨　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（1）画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行．

（2）以后我们说到“两条直线”均指不重合的两条直线，“两个平面”均指不重合的两个平面．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

判断（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）异面直线没有公共点．（　　）

（2）没有公共点的两条直线是异面直线．（　　）

（3）两条异面直线一定在两个不同的平面内．（　　）

（4）分别在两个平面内的直线一定是异面直线．（　　）

（5）若a与b是异面直线且a与c也是异面直线，则b与c是异面直线．（　　）

（6）若直线l与平面α不相交，则直线l与平面α平行．（　　）

（7）如果直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，那么a∥b.（　　）

（8）如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α.　（　　）

（9）若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行．（　　）

（10）若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行．（　　）

答案：

（1）√　

（2）×　（3）√　（4）×　（5）×　（6）×　（7）×　（8）√　（9）×　（10）×

异面直线是指（　　）

A．空间中两条不相交的直线

B．分别位于两个不同平面内的两条直线

C．平面内的一条直线与平面外的一条直线

D．不同在任何一个平面内的两条直线

解析：

选D.对于A，空间两条不相交的直线有两种可能，一是平行（共面），另一个是异面，所以A应排除．对于B，分别位于两个平面内的直线，既可能平行也可能相交也可能异面，如图，就是相交的情况，所以B应排除．对于C，如图中的a，b可看作是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b，显然它们是相交直线，所以C应排除．只有D符合定义．

正方体的六个面中相互平行的平面有（　　）

A．2对　　　　　　　　　B．3对

C．4对D．5对

解析：

选B.前后两个面、左右两个面、上下两个面都平行．

直线a∥b，b⊂α，则a与α的位置关系是（　　）

A．a∥αB．a与α相交

C．a与α不相交D．a⊂α

解析：

选C.当直线a∥b，b⊂α时，直线a与平面α的位置关系有可能是a∥α或a⊂α，不可能相交，所以选C.

正方体ABCDA1B1C1D1的各个面中与直线A1B1平行的平面有________个．

解析：

由正方体图形特点，知直线A1B1与平面CC1D1D和平面ABCD平行．

答案：

2

　　　　　　　　空间两直线位置关系的判定

　如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：

①直线A1B与直线D1C的位置关系是________；

②直线A1B与直线B1C的位置关系是________；

③直线D1D与直线D1C的位置关系是________；

④直线AB与直线B1C的位置关系是________．

【解析】　经探究可知直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线平行，所以①应该填“平行”；点A1、B、B1在平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C异面．同理，直线AB与直线B1C异面．所以②④应该填“异面”；直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以③应该填“相交”．

【答案】　①平行　②异面　③相交　④异面

（1）判定两条直线平行或相交的方法

判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用基本事实4（下节学习）判断．　

（2）判定两条直线是异面直线的方法

①定义法：

由定义判断两直线不可能在同一平面内；

②重要结论：

连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A∉α，B∈α，l⊂α，B∉l⇒AB与l是异面直线（如图）．

1．三棱锥ABCD的六条棱所在直线成异面直线的有（　　）

A．3对　　　　　　　　　B．4对

C．5对D．6对

解析：

选A.三棱锥ABCD的六条棱所在直线中，

成异面直线的有：

AB和CD，AD和BC，BD和AC，

所以三棱锥ABCD的六条棱所在直线成异面直线的有3对．故选A.

2．若直线a∥b，b∩c＝A，则a与c的位置关系是（　　）

A．异面B．相交

C．平行D．异面或相交

解析：

选D.a与c不可能平行，若a∥c，又因为a∥b，所以b∥c，这与b∩c＝A矛盾，但a与c异面、相交都有可能．

　　　　　　　　直线与平面的位置关系

　下列命题：

①直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；

②若直线a在平面α外，则a∥α；

③若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；

④若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．

其中真命题的个数为（　　）

A．1　　　　　　　　　　　B．2

C．3D．4

【解析】　因为直线l虽与平面α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内，所以l不一定平行于α，所以①是假命题．

因为直线a在平面α外包括两种情况：

a∥α和a与α相交，所以a和α不一定平行，所以②是假命题．

因为直线a∥b，b⊂α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，所以a不一定平行于α，所以③是假命题．

因为a∥b，b⊂α，所以a⊂α或a∥α，所以a可以与平面α内的无数条直线平行，所以④是真命题．

综上，真命题的个数为1.

【答案】　A

判断直线与平面的位置关系应注意的问题

（1）在判断直线与平面的位置关系时，直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行，这三种情况都要考虑到，避免疏忽或遗漏．

（2）解决此类问题时，可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断．　

1．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则a与b的位置关系是（　　）

A．平行B．相交

C．异面D．以上都有可能

解析：

选D.如图所示，长方体ABCDA1B1C1D1中，A1B1∥平面AC，A1D1∥平面AC，

有A1B1∩A1D1＝A1；又D1C1∥平面AC，有A1B1∥D1C1；取BB1和CC1的中点M，N，则MN∥BC，

则MN∥平面AC，有A1B1与MN异面．

2．下列命题正确的个数为（　　）

①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；

②如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；

③若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点．

A．0B．1

C．2D．3

解析：

选B.如图所示，

借助长方体模型来判断．棱AA1所在直线有无数个点在平面ABCD外，但棱AA1所在直线与平面ABCD相交，所以命题①不正确．

A1B1∥AB，A1B1所在直线平行于平面ABCD，但直线AB⊂平面ABCD，所以命题②不正确．

直线l与平面α平行，则l与α无公共点，l与平面α内所有直线都没有公共点，所以命题③正确．

　　　　　　　　平面与平面的位置关系

　已知在两个平面内分别有一条直线，并且这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是（　　）

A．平行B．相交

C．平行或相交D．以上都不对

【解析】　如图，可能会出现以下两种情况：

【答案】　C

1．[变条件]在本例中，若将条件“这两条直线互相平行”改为“这两条直线是异面直线”，则两平面的位置关系如何？

解：

如图，a⊂α，b⊂β，a，b异面，则两平面平行或相交．

2．[变条件]在本例中，若将条件改为平面α内有无数条直线与平面β平行，那么平面α与平面β的关系是什么？

解：

如图，α内都有无数条直线与平面β平行．

由图知，平面α与平面β可能平行或相交．

3．[变条件]在本例中，若将条件改为平面α内的任意一条直线与平面β平行，那么平面α与平面β的关系是什么？

解：

因为平面α内的任意一条直线与平面β平行，所以只有这两个平面平行才能做到，所以平面α与平面β平行．

（1）平面与平面的位置关系的判断方法

①平面与平面相交的判断，主要是以基本事实3为依据找出一个交点；

②平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点．

（2）常见的平面和平面平行的模型

①棱柱、棱台、圆柱、圆台的上下底面平行；

②长方体的六个面中，三组相对面平行．　

　下列说法中正确的个数是（　　）

①平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有2条或3条交线；

②如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；

③直线a不平行于平面α，则a不平行于α内任何一条直线；

④如果α∥β，a∥α，那么a∥β.

A．0B．1

C．2D．3

解析：

选A.①中，交线也可能是1条；②a也可能在经过b的平面内；③中a不平行于平面α，则a可能在平面α内，平面α内有与a平行的直线；④中，a可能在β内．故四个命题都是错误的，选A.

　　　　　　　　点、线、面位置关系图形的画法

　如图所示，G是正方体ABCDA1B1C1D1的棱DD1延长线上的一点，E，F是棱AB，BC的中点，试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线．

（1）过点G及AC.

（2）过三点E，F，D1.

【解】　

（1）画法：

连接GA交A1D1于点M，连接GC交C1D1于点N；连接MN，AC，则MA，CN，MN，AC为所求平面与正方体表面的交线．如图①所示．

（2）画法：

连接EF交DC的延长线于点P，交DA的延长线于点Q；连接D1P交CC1于点M，连接D1Q交AA1于点N；连接MF，NE，则D1M，MF，FE，EN，ND1为所求平面与正方体表面的交线．如图②所示．

直线与平面位置关系的图形的画法

（1）画直线a在平面α内时，表示直线a的线段只能在表示平面α的平行四边形内，而不能有部分在这个平行四边形外．

（2）画直线a与平面α相交时，表示直线a的线段必须有部分在表示平面α的平行四边形之外，这样既能与表示直线在平面内区分开，又具有较强的立体感．

（3）画直线a与平面α平行时，最直观的画法是用来表示直线a的线段在表示平面α的平行四边形之外，且与此平行四边形的一边平行．　

　如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是

AA1的中点，画出过D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线，并说明理由．

解：

如图，取AB的中点F，连接EF，A1B，CF.

因为E是AA1的中点，所以EF∥A1B.

在正方体ABCDA1B1C1D1中，

A1D1∥BC，A1D1＝BC，

所以四边形A1BCD1是平行四边形．

所以A1B∥CD1，

所以EF∥CD1.

所以E，F，C，D1四点共面．

因为E∈平面ABB1A1，E∈平面D1CE，

F∈平面ABB1A1，F∈平面D1CE，

所以平面ABB1A1∩平面D1CE＝EF.

所以过点D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线为EF.

1．不平行的两条直线的位置关系是（　　）

A．相交　　　　　　　　　B．异面

C．平行D．相交或异面

解析：

选D.若两直线不平行，则直线可能相交，也可能异面．

2．若M∈l，N∈l，N∉α，M∈α，则有（　　）

A．l∥αB．l⊂α

C．l与α相交D．以上都有可能

解析：

选C.由符号语言知，直线l上有一点在平面α内，另一点在α外，故l与α相交．故选C.

3．若两个平面相互平行，则分别在这两个平面内的直线的位置关系是（　　）

A．平行B．异面

C．相交D．平行或异面

解析：

选D.如图：

4．如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系为（　　）

A．平行B．直线在平面内

C．相交或直线在平面内D．平行或直线在平面内

解析：

选D.若一条直线与两个平行平面中的一个平行，则这条直线与另一个平面平行或直线在平面内．

5．已知平面α∩β＝c，直线a∥α，a与β相交，则a与c的位置关系是________．

答案：

异面

6．下列命题正确的是________．（填序号）

①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；

②若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；

③如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交．

解析：

①显然是正确的；②中，直线l和平面α内过l与α交点的直线都相交而不是异面，所以②是错误的；③中，异面直线中的另一条直线和该平面的关系不能具体确定，它们可以相交，可以平行，还可以在该平面内，所以③是错误的．

答案：

①

[A　基础达标]

1．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则（　　）

A．α内的所有直线与l异面

B．α内不存在与l平行的直线

C．α内存在唯一的直线与l平行

D．α内的直线与l都相交

答案：

B

2．若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则（　　）

A．a∥c　　　　　　　　　B．a，c是异面直线

C．a，c相交D．a，c平行或相交或异面

解析：

选D.如图，可借助长方体理解，令a＝CC1，b＝A1B1，则BC，AD，DD1均满足题目条件，故直线a和直线c的位置关系是平行、相交或异面．

3．已知异面直线a，b，有a⊂α，b⊂β且α∩β＝c，则直线c与a，b的关系是（　　）

A．c与a，b都相交

B．c与a，b都不相交

C．c至多与a，b中的一条相交

D．c至少与a，b中的一条相交

解析：

选D.若c与a，b都不相交，因为c与a在α内，所以a∥c.又c与b都在β内，所以b∥c.所以a∥b，与已知条件矛盾．如图，只有以下三种情况．

4．如果点M是两条异面直线外的一点，则过点M且与a，b都平行的平面（　　）

A．只有一个B．恰有两个

C．没有或只有一个D．有无数个

解析：

选C.当点M在过a且与b平行的平面或过b且与a平行的平面内时，这样满足条件的平面没有；当点M不在上述两个平面内时，满足条件的平面只有一个．故选C.

5．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（　　）

A．5部分B．6部分

C．7部分D．8部分

解析：

选C.如图所示，可以将空间划分为7部分．

6．已知a，b是两条直线，α，β是两个平面，则下列说法中正确的序号为________．

①若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线；

②若α∥β，a⊂α，则a∥β；

③若α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交．

解析：

①中直线a与b没有交点，所以a与b可能异面也可能平行，故①错误；②中直线a与平面β没有公共点，所以a∥β，故②正确；③中直线a与平面β有可能平行，故③错误．

答案：

②

7．下列命题：

①平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有两条交线；

②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.

其中错误命题的序号为________．

解析：

对于①，当β∥γ时，有2条交线；当β∩γ＝a且a⊂α时，有1条交线；当α、β、γ两两相交且不过同一条直线时，有3条交线（如棱柱的三个侧面），故①错误；

对于②，可借助正方体ABCDA1B1C1D1进行判断，如图所示．

因为六面体ABCDA1B1C1D1是正方体，所以AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D.因为AB与B1C1异面，而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交，所以命题②错误，综上可知①②都错误．

答案：

①②

8．若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，a，b是异面直线，则α，β的位置关系是__________．

解析：

在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB⊂平面ABCD，B1C1⊂平面A1B1C1D1，B1C1⊂平面BCC1B1，AB，B1C1是异面直线，但平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ABCD与平面BCC1B1相交．

答案：

平行或相交

9．完成下列作图．

（1）在图中画出两个平行平面．

（2）在图中画出两个相交平面．

（3）在图中画出一个平面与两个平行平面相交．

（4）在图中画出三个两两相交的平面．

解：

10.

如图，平面α、β、γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b、a与β的关系并证明你的结论．

解：

a∥b，a∥β.

证明如下：

由α∩γ＝a知a⊂α且a⊂γ，

由β∩γ＝b知b⊂β且b⊂γ，

因为α∥β，a⊂α，b⊂β，所以a、b无公共点．

又因为a⊂γ且b⊂γ，所以a∥b.

因为α∥β，所以α与β无公共点．

又a⊂α，所以a与β无公共点，所以a∥β.

[B　能力提升]

11．经过平面外的两点作该平面的平行平面，可以作（　　）

A．0个B．1个

C．0个或1个D．1个或2个

解析：

选C.若两点所在的直线与平面平行，则可以作1个，否则，为0个．

12．不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有（　　）

A．3个B．4个

C．6个D．7个

解析：

选D.把不共面的四个定点看作四面体的四个顶点，平面α可以分为两类：

第一类：

如图

（1）所示，四个定点分布在α的一侧1个，另一侧3个，此类中α共有4个．

图

（1）　　　　　　　图

（2）

第二类：

如图

（2）所示，四个定点分布在α的两侧各两个，此类中α共3个．

综上，α共有4＋3＝7（个），故选D.

13．如图，点G、H、M、N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形是________．

解析：

①中HG∥MN，③中GM∥HN且GM≠HN，故HG、NM必相交，②④正确．

答案：

②④

14．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，求直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数．

解：

取CD的中点为G，连接FG，EG，由题意知平面EFG与正方体的左、右侧面所在平面平行，从而EF与正方体的左、右侧面所在的平面平行，所以直线EF与正方体的前、后侧面及上、下底面所在的平面相交．故直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4.

[C　拓展探究]

15.

如图，已知平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l，B∉l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？

证明你的结论．

解：

平面ABC与β的交线与l相交．

证明如下：

因为AB与l不平行，且AB⊂α，l⊂α，

所以AB与l一定相交．设AB∩l＝P（图略），则P∈AB，P∈l.又因为AB⊂平面ABC，l⊂β，所以P∈平面ABC，P∈β.所以点P是平面ABC与β的一个公共点，而点C也是平面ABC与β的一个公共点，且P，C是不同的两点，所以直线PC就是平面ABC与β的交线，

即平面ABC∩β＝PC，而PC∩l＝P，

所以平面ABC与平面β的交线与l相交．