数字信号实验2.docx
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数字信号实验2
实验二快速Fourier变换（FFT）及其应用
一、实验目的
1.在理论学习的基础上，通过本实验，加深对FFT的理解，熟悉FFT子程序。
2.熟悉应用FFT对典型信号进行频谱分析的方法。
3.了解应用FFT进行信号频谱分析过程中可能出现的问题以便在实际中正确应用FFT。
4.熟悉应用FFT实现两个序列的线性卷积的方法。
5.初步了解用周期图法作随机信号谱分析的方法。
二、实验原理与方法
在各种信号序列中，有限长序列信号处理占有很重要地位，对有限长序列，我们可以使
用离散Fouier变换（DFT）。
这一变换不但可以很好的反映序列的频谱特性，而且易于用快速算法在计算机上实现，当序列x（n）的长度为N时，它的DFT定义为：
反变换为：
有限长序列的DFT是其Z变换在单位圆上的等距采样，或者说是序列Fourier变换的等距采样，因此可以用于序列的谱分析。
FFT并不是与DFT不同的另一种变换，而是为了减少DFT运算次数的一种快速算法。
它是对变换式进行一次次分解，使其成为若干小点数的组合，从而减少运算量。
常用的FFT是以2为基数的，其长度
。
它的效率高，程序简单，使用非常方便，当要变换的序列长度不等于2的整数次方时，为了使用以2为基数的FFT，可以用末位补零的方法，使其长度延长至2的整数次方。
三、实验内容及步骤
实验中用到的信号序列：
a）Gaussian序列
b）衰减正弦序列
c）三角波序列
d）反三角波序列
上机实验内容：
（1）、观察高斯序列的时域和幅频特性，固定信号xa（n）中参数p=8，改变q的值，使q分别等于2，4，8，观察它们的时域和幅频特性，了解当q取不同值时，对信号序列的时域幅频特性的影响；固定q=8，改变p，使p分别等于8，13，14，观察参数p变化对信号序列的时域及幅频特性的影响，观察p等于多少时，会发生明显的泄漏现象，混叠是否也随之出现？
记录实验中观察到的现象，绘出相应的时域序列和幅频特性曲线。
%%定义高斯序列
%function[Xa,Fa]=gauss（p,q）
%n=[0:
15];
%Xa（n+1）=exp（-（n+1-p）.^2./q）;
%F=fft（Xa）;
%Fa=abs（F）;
clearall;
%%%%%%%p=8,q=2%%%%%%%%%%%%
[Xa1,Fa1]=gauss（8,2）;
k=0:
15;
subplot（5,2,1）;plot（k,Xa1）;
xlabel（'n'）;ylabel（'时域特性'）;text（10,0.5,'p=8,q=2'）;
subplot（5,2,2）;plot（k,Fa1）;
xlabel（'n'）;ylabel（'幅频特性'）;text（8,3,'p=8,q=2'）;
%%%%%%%p=8,q=4%%%%%%%%%%%%
[Xa2,Fa2]=gauss（8,4）;
subplot（5,2,3）;plot（k,Xa2）;
xlabel（'n'）;ylabel（'时域特性'）;text（10,0.5,'p=8,q=4'）;
subplot（5,2,4）;plot（k,Fa2）;
xlabel（'n'）;ylabel（'幅频特性'）;text（8,3,'p=8,q=4'）;
%%%%%%%p=8,q=8%%%%%%%%%%%%
[Xa3,Fa3]=gauss（8,8）;
subplot（5,2,5）;plot（k,Xa3）;
xlabel（'n'）;ylabel（'时域特性'）;text（10,0.5,'p=8,q=8'）;
subplot（5,2,6）;plot（k,Fa3）;
xlabel（'n'）;ylabel（'幅频特性'）;text（8,3,'p=8,q=8'）;
%%%%%%%p=13,q=8%%%%%%%%%%
[Xa4,Fa4]=gauss（13,8）;
subplot（5,2,7）;plot（k,Xa4）;
xlabel（'n'）;ylabel（'时域特性'）;text（10,0.5,'p=13,q=8'）;
subplot（5,2,8）;plot（k,Fa4）;
xlabel（'n'）;ylabel（'幅频特性'）;text（8,3,'p=13,q=8'）;
%%%%%%%p=14,q=8%%%%%%%%%%
[Xa5,Fa5]=gauss（14,8）;
subplot（5,2,9）;plot（k,Xa5）;
xlabel（'n'）;ylabel（'时域特性'）;text（10,0.5,'p=14,q=8'）;
subplot（5,2,10）;plot（k,Fa5）;
xlabel（'n'）;ylabel（'幅频特性'）;text（8,3,'p=14,q=8'）;
（2）、观察衰减正弦序列xb（n）的时域和幅频特性，a=0.1，f=0.0625，检查谱峰出现位置是否正确，注意频谱的形状，绘出幅频特性曲线，改变f，使f分别等于0.4375和0.5625，观察这两种情况下，频谱的形状和谱峰出现位置，有无混叠和泄漏现象？
说明产生现象的原因。
%定义衰减正弦序列
%function[Xb,Fb]=downsin（a,f）
%n=[0:
15];
%Xb（n+1）=exp（-a.*n）.*sin（2*pi*f.*n）;%自然对数的底:
e=:
2.71828182845904523536
%F=fft（Xb）;
%Fb=abs（F）;
clearall;
k=0:
15;
%%%%%%%%%a=0.1,f=0.0.0625%%%%%%%%%%%
[Xb,Fb]=downsin（0.1,0.0625）;
subplot（3,2,1）;plot（k,Xb）;
xlabel（'n'）;ylabel（'时域特性'）;text（8,0.5,'a=0.1,f=0.0625'）;
subplot（3,2,2）;plot（k,Fb）;
xlabel（'n'）;ylabel（'幅值特性'）;text（10,3,'a=0.1,f=0.0625'）;
%%%%%%%%%a=0.1,f=0.4375%%%%%%%%%%%
[Xb1,Fb1]=downsin（0.1,0.4375）;
subplot（3,2,3）;plot（k,Xb1）;
xlabel（'n'）;ylabel（'时域特性'）;text（8,0.5,'a=0.1,f=0.4375'）;
subplot（3,2,4）;plot（k,Fb1）;
xlabel（'n'）;ylabel（'幅值特性'）;text（10,3,'a=0.1,f=0.4375'）;
%%%%%%%%%a=0.1,f=0.5625%%%%%%%%%%
[Xb2,Fb2]=downsin（0.1,0.5625）;
subplot（3,2,5）;plot（k,Xb2）;
xlabel（'n'）;ylabel（'时域特性'）;text（8,0.5,'a=0.1,f=0.5625'）;
subplot（3,2,6）;plot（k,Fb2）;
xlabel（'n'）;ylabel（'幅值特性'）;text（10,3,'a=0.1,f=0.5625'）;
（3）、观察三角波和反三角波序列的时域和幅频特性，用N=8点FFT分析信号序列xc（n）和xd（n）的幅频特性，观察两者的序列形状和频谱曲线有什么异同？
绘出两序列及其幅频特性曲线。
在xc（n）和xd（n）末尾补零，用N=16点FFT分析这两个信号的幅频特性，观察幅频特性发生了什么变化？
两情况的FFT频谱还有相同之处吗？
这些变化说明了什么？
clearall;
n=[0:
3];k=[1:
8];
%定义三角波序列
Xc（n+1）=n;Xc（n+5）=4-n;
%三角波特性
subplot（2,1,1）;plot（k-1,Xc）;
xlabel（'n'）;ylabel（'时域特性'）;text（1,3,'三角波'）;
subplot（2,1,2）;plot（k-1,abs（fft（Xc）））;
xlabel（'k'）;ylabel（'幅频特性'）;text（4,10,'三角波'）;
%末尾补0，计算32点FFT
Xc（9:
32）=0;Xd（9:
32）=0;k=1:
32;figure;
%三角波特性
subplot（2,1,1）;plot（k-1,Xc）;
xlabel（'n'）;ylabel（'时域特性'）;text（1,3,'三角波'）;
subplot（2,1,2）;plot（k-1,abs（fft（Xc）））;
xlabel（'k'）;ylabel（'幅频特性'）;text（4,10,'三角波'）;
（4）、一个连续信号含两个频率分量，经采样得
x（n）=sin2π*0.125n+cos2π*（0.125+Δf）nn=0,1……,N-1
已知N=16，Δf分别为1/16和1/64，观察其频谱；当N=128时，Δf不变，其结果有何不同，为什么？
clearall;
%%%%%%%N=16%%%%%%%%%%%%
N=16;detf=1/16;n=[0:
N-1];
x1（n+1）=sin（2*pi*0.125.*n）+cos（2*pi*（0.125+detf）.*n）;
detf=1/64;x2（n+1）=sin（2*pi*0.125.*n）+cos（2*pi*（0.125+detf）.*n）;
%%%%%%%N=16,detf=1/16%%%%%%%%%%%%
subplot（2,2,1）;stem（n,x1）;hold;plot（n,x1）;
xlabel（'n'）;ylabel（'时域特性'）;text（6,1,'N=16,detf=1/16'）;
subplot（2,2,2）;stem（n,abs（fft（x1）））;
xlabel（'n'）;ylabel（'幅值特性'）;text（6,4,'N=16,detf=1/16'）;
%%%%%%%N=16,detf=1/64%%%%%%%%%%%%
subplot（2,2,3）;stem（n,x2）;
xlabel（'n'）;ylabel（'时域特性'）;text（6,1,'N=16,detf=1/64'）;
subplot（2,2,4）;stem（n,abs（fft（x2）））;
xlabel（'n'）;ylabel（'幅值特性'）;text（6,4,'N=16,detf=1/64'）;
%%%%%%%N=128%%%%%%%%%%%%
N=128;detf=1/16;n=[0:
N-1];
x3（n+1）=sin（2*pi*0.125.*n）+cos（2*pi*（0.125+detf）.*n）;
detf=1/64;
x4（n+1）=sin（2*pi*0.125.*n）+cos（2*pi*（0.125+detf）.*n）;
%%%%%%%N=128,detf=1/16%%%%%%%%%%%%
figure;subplot（2,2,1）;stem（n,x3）;
xlabel（'n'）;ylabel（'时域特性'）;axis（[0128-22]）;text（6,1.5,'N=128,detf=1/16'）;
subplot（2,2,2）;stem（n,abs（fft（x3）））;
xlabel（'n'）;ylabel（'幅值特性'）;axis（[0128-1070]）;text（40,60,'N=128,detf=1/16'）;
%%%%%%%N=128,detf=1/64%%%%%%%%%%%%
subplot（2,2,3）;stem（n,x3）;
xlabel（'n'）;ylabel（'时域特性'）;axis（[0128-22]）;text（6,1.5,'N=128,detf=1/16'）;
subplot（2,2,4）;stem（n,abs（fft（x4）））;
xlabel（'n'）;ylabel（'幅值特性'）;axis（[0128-1070]）;text（40,60,'N=128,detf=1/16'）;
（5）、用FFT分别实现xa（n）（p＝8，q＝2）和xb（n）（a＝0.1，f＝0.0625）的16点圆周卷积和线性卷积。
clearall;
N=16;
n=0:
N-1;
p=8;q=2;
Xa（n+1）=exp（-（n-p）.^2./q）;
a=0.1;f=0.0625;
Xb（n+1）=exp（-a.*n）.*sin（2*pi*f.*n）;
%16点循环卷积
Fa=fft（Xa）;Fb=fft（Xb）;
Fx=Fa.*Fb;
X51=ifft（Fx）;
stem（n,X51）;
%16点线性卷积
Xa（N+1:
2*N-1）=0;
Xb（N+1:
2*N-1）=0;
Fa=fft（Xa）;Fb=fft（Xb）;
Fc=Fa.*Fb;
X52=ifft（Fc）;
figure;stem（1:
2*N-1,X52）;
（7）用FFT分别计算xa（n）（p=8,q=2）和xb（n）（a=0.1,f=0.0625）的16点循环相关和线性相关，问一共有多少种结果，他们之间有何异同点。
clearall;
N=16;
n=0:
N-1;
p=8;q=2;
Xa（n+1）=exp（-（n-p）.^2./q）;
a=0.1;f=0.0625;
Xb（n+1）=exp（-a.*n）.*sin（2*pi*f.*n）;
N=length（Xa）;
%16点循环相关
Fa=fft（Xa,2*N）;Fb=fft（Xb,2*N）;
Fx=conj（Fa）.*Fb;
X71=real（ifft（Fx））;
X71=[X71（N+2:
2*N）X71（1:
N）];
n=（-N+1）:
（N-1）;stem（n,X71）;
%16点线性相关
Xa（N+1:
2*N-1）=0;
Xb（N+1:
2*N-1）=0;
Fa=fft（Xa）;Fb=fft（Xb）;
Fc=conj（Fa）.*Fb;
X72=real（ifft（Fc））;
figure;stem（1:
2*N-1,X72）;
（8）用FFT分别计算xa（n）（p=8,q=2）和xb（n）（a=0.1,f=0.0625）的自相关函数。
clearall;
N=16;
n=0:
N-1;
p=8;q=2;
Xa（n+1）=exp（-（n-p）.^2./q）;
a=0.1;f=0.0625;
Xb（n+1）=exp（-a.*n）.*sin（2*pi*f.*n）;%自然对数的底:
e=:
2.71828182845904523536
N=length（Xa）;
%Xa（n）16点自相关
Fa=fft（Xa,2*N）;Fb=fft（Xb,2*N）;
F1=conj（Fa）.*Fa;
X81=real（ifft（F1））;
X81=[X81（N+2:
2*N）X81（1:
N）];
n=（-N+1）:
（N-1）;
subplot（2,1,1）;stem（n,X81）;
xlabel（'n'）;ylabel（'幅度'）;
%Xb（n）16点自相关
Fb=fft（Xb,2*N）;
F2=conj（Fb）.*Fb;
X82=real（ifft（F2））;
X82=[X82（N+2:
2*N）X82（1:
N）];
%n=（-N+1）:
（N-1）;
subplot（2,1,2）;stem（n,X82）;
xlabel（'n'）;ylabel（'幅度'）;
四思考题
1.实验中的信号序列x
（n）和x
（n）,在单位圆上的Z变换频谱
和
会相同吗？
如果不同，你能说出哪一个低频分量更多一些吗？
为什么？
答：
不相同，它们在单位圆上的Z变换频谱中，xc（n）的低频分量比xd（n）的多一些。
2.对一个有限长序列进行离散傅里叶变换（DFT）,等价于将该序列周期延拓后进行傅里叶级数展开。
因为DFS也只是取其中一个周期来运算，所以FFT在一定条件下也可以用分析周期信号序列。
如果正弦信号sin（２
ｆｎ），ｆ＝０.1，用16点的FFT来做DFS运算，得到的频谱是信号本身的真实谱吗？
答：
只有当DFS变换的点数N与进行FFT变换的点数K相同的时候，才可以认为DFS与FFT的变换是等价的，可以用DFS来分析FFT。
但是在N与K不相等的时候，DFS与FFT变换不等价。
五实验总结
通过本次试验，我对快速Fourier变换（FFT）有了更深一步的了解，熟悉了应用FFT对典型信号进行频谱分析的方法，了解了应用FFT进行信号频谱分析过程中可能出现的问题以便在实际中正确应用FFT。
熟悉了应用FFT实现两个序列的线性卷积的方法，初步了解了用周期图法作随机信号谱分析的方法。
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