离散数学 自考真题 附答案 打印版.docx
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离散数学自考真题附答案打印版
离散数学自考真题附答案打印版
全国2002年4月
离散数学试题
课程代码:
02324一、单项选择题(本大题共15小题,每
小题1分,共15分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的,请将正确选项前的字母填在题后的括号内。
1.一个连通的无向图G,如果它的所有
结点的度数都是偶数,那么它具有一条()A.汉密尔顿回路
B.欧拉回路
C.汉密尔顿通路
D.初级回路2.设G是连通简单平面图,G中有11
个顶点5个面,则G中的边是
()
A.10
B.12
C.16
D.14
3.在布尔代数L中,表达式(a∧b)∨(a
∧b∧c)∨(b∧c)的等价式是
()
A.b∧(a∨c)
B.(a∧b)∨(a’∧b)
C.(a∨b)∧(a∨b∨c)∧(b∨c)
D.(b∨c)∧(a∨c)
4.设i是虚数,·是复数乘法运算,则
G=<{1,-1,i,-i},·>是群,下列是G
的子群是()A.<{1},·>B.〈{-1},·〉
C.〈{i},·〉
D.
〈{-i},·〉
5.设Z为整数集,A为集合,A的幂集为P(A),+、-、/为数的加、减、除运
算,∩为集合的交运算,下列系统
中是代数系统的有()
A.〈Z,+,/〉
B.
〈Z,/〉
C.〈Z,-,/〉
D.
〈P(A),∩〉
6.下列各代数系统中不含有零元素的
是()
A.〈Q,*〉Q是全体有理数集,*是数的乘法运算
B.〈Mn(R),*〉,Mn(R)是全体n阶实矩阵集合,*是矩阵乘法运算
C.〈Z,Z是整数集,定义为xxy=xy,?
x,y∈Z
D.〈Z,+〉,Z是整数集,+是数的加法运算7.设A={1,2,3},A上二元关系R的关系图如下:
R具有的性质是A.自反性B.对称性C.传递性D.反自反性8.设A={a,b,c},A上二元关系R={〈a,a〉,〈b,b〉,〈a,c〉},则关系R的对称闭包S(R)是()A.R∪IAB.RC.R∪{〈c,a〉}D.R∩IA9.设X={a,b,c},Ix是X上恒等关系,要使Ix∪{〈a,b〉,〈b,c〉,〈c,a〉,〈b,a〉}∪R为X上的等价关系,R应取()A.{〈c,a〉,〈a,c〉}
B.{〈c,b〉,〈b,a〉}
C.{〈c,a〉,〈b,a〉}
D.{〈a,c〉,〈c,b〉}10.下列式子正确的是()A.?
∈?
B.?
?
C.{}D.{}∈
11.设解释R如下:
论域D为实数集,a=0,f(x,y)=x-y,A(x,y):
x
D.(?
x)A(x)→(?
x)B
13.谓词公式(?
x)(P(x,y))→(?
z)Q(x,z)
∧(?
y)R(x,y)中变元x()
A.是自由变元但不是约束变元
B.既不是自由变元又不是约束变元
C.既是自由变元又是约束变元
D.是约束变
元但不是
自由变元14.若P:
他聪明;Q:
他
用功;则
“他虽聪
明,但不用功”,可符号化为()A.P∨QB.P∧┐Q
C.P→┐Q
D.P∨┐Q
15.以下命题公式中,为永假式的是
()
A.p→(p∨q∨r)
B.(p→┐p)→┐p
C.┐(q→q)∧p
D.┐(q∨┐p)→(p∧┐p)
二、填空题(每空1分,共20分)16.在一棵根树中,仅有一个结点的入度为______,称为树根,其余结点
的入度均为______。
17.A={1,2,3,4}上二元关系R={〈2,4〉,
〈3,3〉,〈4,2〉},R的关系矩阵
MR中m24=______,m34=______。
18.设〈s,*〉是群,则那么s中除______外,不可能有别的幂等元;若〈s,*〉
有零元,则|s|=______。
19.设A为集合,P(A)为A的幂集,则
〈P(A),?
〉是格,若x,y∈P(A),则x,y最大下界是______,最小上界
是______。
20.设函数f:
X→Y,如果对X中的任意两
个不同的x1和x2,它们的象y1和
y2也不同,我们说f是______函数,
如果ranf=Y,则称f是______函数。
21.设R为非空集合A上的等价关系,
其等价类记为〔x〕R。
?
x,y∈A,
若〈x,y〉∈R,则
〔x〕R与〔y〕R的关系是______,而若〈x,y〉?
R,则〔x〕R∩〔y〕R=______。
22.使公式(?
x)(?
y)(A(x)∧
B(y))?
(?
x)A(x)∧(?
y)B(y)成立的
条件是______不含有y,______不含
有x。
23.设M(x):
x是人,D(s):
x是要死的,
则命题“所有的人都是要死的”可
符号化为(?
x)______,其中量词
(?
x)的辖域是______。
24.若H1∧H2∧…∧Hn是______,则称
H1,H2,…Hn是相容的,若H1∧H2
∧…∧Hn是______,则称H1,H2,…
Hn是不相容的。
25.判断一个语句是否为命题,首先要
看它是否为,然后再看
它是否具有唯一的。
三、计算题(共30分)
26.(4分)设有向图G=(V,E)如下图所示,
试用邻接矩阵方法求长度为2的路
的总数和回路总数。
27.(5)设A={a,b},P(A)是A的幂集,⊕
是对称差运算,可以验证
是群。
设n是正整数,求
({a}-1{b}{a})n⊕{a}-n{b}n{a}n
28.(6分)设A={1,2,3,4,5},A上偏序关系
R={〈1,2〉,〈3,2〉,〈4,1〉,〈4,2〉,〈4,3〉,〈3,5〉,〈4,5〉}∪
IA;
(1)作出偏序关系R的哈斯图
(2)令B={1,2,3,5},求B的最大,最小
元,极大、极小元,上界,下确界,下界,下确界。
29.(6分)求┐(P→Q)?
(P→┐Q)的主
合取范式并给出所有使命题为真的
赋值。
30.(5分)设带权无向图G如下,求G的
最小生成树T及T的权总和,要求
写出解的过程。
31.(4分)求公式┐((?
x)F(x,y)→
(?
y)G(x,y))∨(?
x)H(x)的前束范
式。
四、证明题(共20分)
32.(6分)设T是非平凡的无向树,T中
度数最大的顶点有2个,它们的度
数为k(k≥2),证明T中至少有2k-2
片树叶。
33.(8分)设A是非空集合,F是所有从
A到A的双射函数的集合,是函
数复合运算。
证明:
〈F,〉是群。
34.(6分)在个体域D={a1,a2,…,an}中证
明等价式:
(?
x)(A(x)→B(x))?
(?
x)A(x)→
(?
x)B(x)
五、应用题(共15分)
35.(9分)如果他是计算机系本科生或者
是计算机系研究生,那么他一定学
过DELPHI语言而且学过C++语言。
只要他学过DELPHI语言或者C++
语言,那么他就会编程序。
因此如
果他是计算机系本科生,那么他就
会编程序。
请用命题逻辑推理方法,
证明该推理的有效结论。
36.(6分)一次学术会议的理事会共有
20个人参加,他们之间有的相互认
识但有的相互不认识。
但对任意两
个人,他们各自认识的人的数目之
和不小于20。
问能否把这20个人排
在圆桌旁,使得任意一个人认识其
旁边的两个人?
根据是什么?
答案:
一、单项选择题(本大题共15小题,每
小题1分,共15分)
1.B
2.D
3.A
4.A
5.D
6.D
7.D8.C9.D
10.B11.A12.A
13.C14.B15.C
二、填空题
16.01
17.10
18.单位元1
19.x∩yx∪y
20.入射
21.[x]R=[y]R
22.A(x)B(y)
23.(M(x)→D(x))M(x)→
D(x)
24.可满足式永假式(或矛盾
式)
25.陈述句真值
三、计算题
26.M=
1100
1010
1011
0011
M2=
2110
2111
2121
1011
Mij
j
i
2
1
4
1
4
18
=
=
∑
∑=,Mij
i
2
1
4
6
=
∑=
G中长度为2的路总数为18
,长度
为2的回路总数为6。
27.当n是偶数时,?
x∈P(A),xn=?
当n是奇数时,?
x∈P(A),xn=x
于是:
当n是偶数,({a}-1{b}{a})n⊕
{a}-n{b}n{a}n
=?
⊕({a}-1)n{b}n{a}n=?
⊕?
=
当n是奇数时,
({a}-1{b}{a})n⊕{a}-n{b}n
{a}n
={a}-1{b}{a}⊕({a}-1)n{b}n{a}n
={a}-1{b}{a}⊕{a}-1{b}{a}=?
28.
(1)偏序关系R的哈斯图为
(2)B的最大元:
无,最小元:
无;
极大元:
2,5,极小元:
1,3
下界:
4,下确界4;
上界:
无,上确界:
无
29.原式?
(┐(P→Q)→(P→┐Q))∧((P
→┐Q)→┐(P→Q))
((P→Q)∨(P→┐Q))∧(┐(P→┐Q)∨┐(P→Q))
(┐P∨Q∨┐P∨┐Q)∧(┐(┐P∨┐Q)∨(P∧┐Q))
(┐(P∧┐Q)∨(P∧┐Q))
(P∧Q)∨(P∧┐Q)
P∧(Q∨┐Q)
P∨(Q∧┐Q)
(P∨Q)∧(P∨┐Q)
命题为真的赋值是P=1,Q=0和P=1,Q=1
30.令e1=(v1,v3),e2=(v4,v6)
e3=(v2,v5),e4=(v3,v6)
e5=(v2,v3),e6=(v1,v2)
e7=(v1,v4),e8=(v4,v3)
e9=(v3,v5),e10=(v5,v6)
令ai为ei上的权,则
a1
取a1的e1∈T,a2的e2∈T,a3的e3∈
T,a4的e4∈T,a5的e5∈T,即,
T的总权和=1+2+3+4+5=15
31.原式?
┐(?
x1F(x1,y)→?
y1G(x,y1))
∨?
x2H(x2)(换名)
┐x1y1(F(x1,y)→G(x,y1))
∨?
x2H(x2)
x1y1┐(F(x1,y1)→
G(x,y1))∨?
x2H(x2)
x1y1x2(┐(F(x1,y1)→
G(x,y1))∨H(x2)
四、证明题
32.设T中有x片树叶,y个分支点。
于
是T中有x+y个顶点,有x+y-1条
边,由握手定理知T中所有顶点的
度数之的
dvi
i
xy
()
=
+
∑
1
=2(x+y-1)。
又树叶的度为1,任一分支点的度
大于等于2
且度最大的顶点必是分支点,于是
dvi
i
xy
()
=
+
∑
1
≥
x·1+2(y-2)+k+k=x+2y+2K-4
从而2(x+y-1)≥x+2y+2k-4
x≥2k-2
33.从定义出发证明:
由于集合A是非
空的,故显然从A到A的双射函数
总是存在的,如A上恒等函数,因
此F非空
(1)?
f,g∈F,因为f和g都是A到A
的双射函数,故fg也是A到A的
双射函数,从而集合F关于运算是
封闭的。
(2)?
f,g,h∈F,由函数复合运算的结
合律有f(gh)=(fg)h故运算是
可结合的。
(3)A上的恒等函数IA也是A到A
的双射函数即IA∈F,且?
f∈F有
IAf=fIA=f,故IA是〈F,〉中的
幺元
(4)?
f∈F,因为f是双射函数,故其
逆函数是存在的,也是A到A的双
射函数,且有ff-1=f-1f=IA,因此
f-1是f的逆元
由此上知〈F,〉是群
34.证明(?
x)(A(x)→B(x))?
?
x(┐
A(x)∨B(x))
(┐A(a1)∨B(a1))∨(┐A(a2)∨
B(a2))∨…∨(┐A(an)∨B(an)))
(┐A(a1)∨A(a2)∨…∨┐A(an)
∨(B(a1)∨B(a2)∨…∨(B(an))
┐(A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an))∨
(┐B(a1)∨B(a2)∨…∨(B(an))
┐(x)A(x)∨(x)B(x)
(?
x)A(x)→(?
x)B(x)
五、应用题
35.令p:
他是计算机系本科生
q:
他是计算机系研究生
r:
他学过DELPHI语言
s:
他学过C++语言
t:
他会编程序
前提:
(p∨q)→(r∧s),(r∨s)→t
结论:
p→t
证
①pP(附加前提)
②p∨qT①I
③(p∨q)→(r∧s)P(前提引入)
④r∧sT②③I
⑤rT④I
⑥r∨sT⑤I
⑦(r∨s)→tP(前提引入
)
⑧tT⑤⑥I
36.可以把这20个人排在圆桌旁,使得
任一人认识其旁边的两个人。
根据:
构造无向简单图G=,其中V={v1,v2,…,V20}是以20个人为顶点的集合,E中的边是若任两
个人vi和vj相互认识则在vi与vj之
间连一条边。
Vi∈V,d(vi)是与vi相互认识的人的数目,由题意知vi,vj∈V有
d(vi)+d(vj)≥20,于是G中存在汉密尔顿回路。
设C=Vi1Vi2…Vi20Vi1是G中一条汉密尔顿回路,按这条回路的顺序
按其排座位即符合要求。
全国2004年4月高等教育自
学考试
离散数学试题
课程代码:
02324
第一部分选择题(共15分)一、单项选择题(本大题共15小题,
每小题1分,共15分)
1.下列是两个命题变元p,q的小项是()
A.p∧┐p∧q
B.┐p∨q
C.┐p∧q
D.┐p∨p∨q
2.令p:
今天下雪了,q:
路滑,则命题“虽然今天下雪了,但是路不滑”可符号化为()
A.p→┐q
B.p∨┐q
C.p∧q
D.p∧┐q
3.下列语句中是命题的只有()A.1+1=10
B.x+y=10
C.sinx+siny<0
D.xmod3=24.下列等值式不正确的是()
A.┐(?
x)A?
(?
x)┐A
B.(?
x)(B→A(x))?
B→(?
x)A(x)
C.(?
x)(A(x)∧B(x))?
(?
x)A(x)∧
(?
x)B(x)
D.(?
x)(?
y)(A(x)→B(y))?
(?
x)A(x)
→(?
y)B(y)
5.谓词公式(?
x)P(x,y)∧(?
x)(Q(x,z)
→(?
x)(?
y)R(x,y,z)中量词?
x的辖域
是()
A.(?
x)Q(x,z)→(?
x)(?
y)R(x,y,z))
B.Q(x,z)→(?
y)R(x,y,z)
C.Q(x,z)→(?
x)(?
y)R(x,y,z)
D.Q(x,z)
6.设R为实数集,函数f:
R→R,f(x)=2x,
则f是()
A.满射函数
B.入射函数
C.双射函数
D.非入射非满射
7.设A={a,b,c,d},A上的等价关系
R={,,,}∪IA,则
对应于R的A的划分是()
A.{{a},{b,c},{d}}
B.{{a,b},{c},{d}}
C.{{a},{b},{c},{d}}
D.{{a,b},{c,d}}
8.设A={?
},B=P(P(A)),以下正确的
式子是()
A.{?
{?
}}∈B
B.{{?
?
}}∈B
C.{{?
},{{?
}}}∈B
D.{?
{{?
}}}∈B
9.设X,Y,Z是集合,一是集合相对
补运算,下列等式不正确的是()
A.(X-Y)-Z=X-(Y∩Z)
B.(X-Y)-Z=(X-Z)-Y
C.(X-Y)-Z=(X-Z)-(Y-Z)
D.(X-Y)-Z=X-(Y∪Z)
10.设*是集合A上的二元运算,称Z
是A上关于运算*的零元,若()
A.,A
x∈
有x*Z=Z*x=Z
B.Z∈A,且A
x∈
有x*Z=Z*x=Z
C.Z∈A,且A
x∈
有x*Z=Z*x=x
D.Z∈A,且A
x∈
有x*Z=Z*x=Z
11.在自然数集N上,下列定义的运
算中不可结合的只有()
A.a*b=min(a,b)
B.a*b=a+b
C.a*b=GCD(a,b)(a,b的最大公约数)
D.a*b=a(modb)
12.设R为实数集,R+={x|x∈R∧x>0},
*是数的乘法运算,是一个
群,则下列集合关于数的乘法运算
构成该群的子群的是()
A.{R+中的有理数}
B.{R+中的无理数}
C.{R+中的自然数}
D.{1,2,3}
13.设是环,则下列正确的是
()
A.是交换群
B.是加法群
C.对*是可分配的
D.*对是可分配的
14.下列各图不是欧拉图的是()
15.设G是连通平面图,G中有6个
顶点8条边,则G的面的数目是
()
A.2个面
B.3个面
C.4个面
D.5个面
第二部分非选择题(共85分)
二、填空题(本大题共10小题,每空
1分,共20分)
16.一公式为之充分必要条件是
其析取范式之每一析取项中均必
同时包含一命题变元及其否定;一
公式为之充分必要条件是
其合取范式之每一合取项中均必
同时包含一命题变元及其否定。
17.前束范式具有形式(Q1V1)(Q2V2)…
(QnVn)A,其中Qi(1≤i≤n)
为,A为的谓词公
式。
18.设论域是{a,b,c},则(?
x)S(x)等价于命题公式;(x
)S(x)等价于命题公式。
19.设R为A上的关系,则R的自反闭包r(R)=,对称闭包
s(R)=。
20.某集合A上的二元关系R具有对称性,反对称性,自反性和传递性,
此关系R是,其关系矩阵
是。
21.设是一个偏序集,如果S中的任意两个元素都有
和,则称S关于≤构成一个
格。
22.设Z是整数集,在Z上定义二元运算*为a*b=a+b+a·b,其中+
和·是数的加法和乘法,则代数系
统的幺元是,零元
是。
23.如下平面图有2个面R1和R2,其中deg(R1)=,deg(R2)=。
24.无向图G具有一条欧拉回路,当且仅当G是,并且所有结点的度数都是。
25.在下图中,结点v2的度数是,结点v5的度数是。
三、计算题(本大题共6小题,第26
—27小题每小题4分,第28、30
小题每小题5分,第29、31小题
每小题6分,共30分)
26.(4分)求出从A={1,2}到B={x,y}
的所有函数,并指出哪些是双射函
数,哪些是满射函数。
27.(4分)如果论域是集合{a,b,c},试
消去给定公式中的量词:
)0
y
x
)(
x
)(
y
(=
+
。
28.(5分)设A={a,b,c},P(A)是A
的幂集,⊕是集合对称差运算。
已
知是群。
在群
中,①找出其幺元。
②找出任一元
素的逆元。
③求元素x使满足
{a}⊕x={b}。
29.(6分)用等值演算法求公式┐(p
→q)→
←
(p→┐q)的主合取范式
30.(5分)画出5个具有5个结点5
条边的非同构的无向连通简单图。
31.(6分)在偏序集中,其中
Z={1,2,3,4,6,8,12,14},≤是Z中的
整除关系,求集合D={2,3,4,6}的
极大元,极小元,最大元,最小元,
最小上界和最大下界。
四、证明题(本大题共3小题,第32~33
小题每小题6分,第34小题8分,共
20分)
32.(6分)用等值演算法证明((q∧s)
→r)∧(s→(p∨r))?
(s∧(p→q))→r
33.(6分)设n阶无向树G=
中有m条边,证明m=n-1。
34.(8分)设P={?
{1},{1,2},{1,2,3}},
是集合P上的包含关系。
(1)证明:
是偏序集。
(2)在
(1)的基础上证明
是全序集
五、应用题(本大题共2小题,第35
小题9分,第36小题6分,共15分)
35.(9分)在谓词逻辑中构造下面推
理的证明:
每个在学校读书的人都
获得知识。
所以如果没有人获得知
识就没有人在学校读书。
(个体域:
所有人的集合)
36.(6分)设有a,b,c,d,e,f,g等七个人,
已知a会讲英语;b会讲英语、汉
语;c会讲英、俄语;d会讲日、
汉语;e会讲德语、俄语;f会讲
法语、日语;g会讲法语、德语。
试用图论方法安排园桌座位,使每
人都能与其身边的人交谈。