数学4.docx
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数学4
数学-4
一、问答求解（总题数：
36，分数：
100.00）
1.若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x-4y=0的圆心，则a的值为______
A.-1
B.1 √
C.3
D.-3
E.0
[考点]圆的一般方程和标准方程间的转化
[解析]圆的方程x2+y2+2x-4y=0可变形为（x+1）2+（y-2）2=5，所以圆心为（-1，2），代入直线3x+y+a=0，得a=1。
将圆的一般方程化为标准方程，找到圆心的坐标，求出a的值。
2.已知直线l:
y=x+m，m∈R，若以点M（2，0）为圆心的圆与直线l相切与点P，且点P在y轴上，则该圆的方程为______
A.（x-2）2+y2=8 √
B.（x-2）2+y2=4
C.x2+（y-2）2=8
D.（x-2）2+y2=16
E.以上说法均不正确
[考点]直线和圆的位置关系
[解析]如下图所示．
依题意，点P的坐标为（0，m），因为MP⊥l，所以这两条直线斜率乘积为-1，即解得m=2，即点P的坐标为（0，2），从而圆的半径故所求圆的标准方程为（x-2）2+y2=8，因此选A。
已知圆心，要求出圆的方程，只需找到半径即可。
3.在平面直角坐标系中，已知圆心在直线y=x+4上，半径为的圆C经过原点O，则经过点（0，2）且被圆C所截得弦长为4的直线方程为______
A.x=0 √
B.x=1
C.x=2
D.x=3
E.x=4
[考点]直线和圆相交的问题
[解析]如下图所示：
设圆心C的坐标为（a，b），则b=a+4，且圆经过原点O，故联立解得a=-2，b=2，故圆的方程为（x+2）2+（y-2）2=8。
当所求直线的斜率不存在时，y轴（即x=0）与圆的两个交点为（0，4）、（0，0）．弦长为4，符合题意，故所求直线方程为x=0。
在根据题意画出图象后，可通过数形结合的方法，直接从图中找出答案。
4.在两队进行的羽毛球对抗赛中，每对派出3男2女共5名运动员进行5局单打比赛，如果女子比赛安排在第二局和第四局进行，则每队队员的不同出场顺序有______
A.12种 √
B.10种
C.8种
D.6种
E.4种
[考点]分步思想
[解析]先从2女中选出一人参加第二局比赛，则有种方法，剩下1女只能参加第四局比赛。
再把剩下的3男安排到1、3、5局中，顺序影响结果，所以是排列问题。
答案为种出场顺序。
特殊元素要优先考虑。
5.3个3口之家一起观看演出，他们购买了同一排的9张连坐票，则每一家的人都坐在一起的不同坐法有______种。
A.（3!
）2
B.（3!
）3
C.3×（3!
）3
D.（3!
）4 √
E.9!
[考点]乘法原理——分步思想
[解析]每口人家有3个人，3人捆绑在一起变为1组，则变成3组全排列，其中每组还有3人，所以每组内部还各有1个3人的全排列。
所以答案为（3!
）×（3!
）3=（3!
）4。
捆绑后的小组内的全排列不能忘记。
6.在8名志愿者中，只能做英语翻译的有4人，只能做法语翻译的有3人，既能做英语翻译又能做法语翻译的有1人。
现从这些志愿者中选取3人做翻译工作，确保英语和法语都有翻译的不同选法共有______种。
A.12
B.18
C.21
D.30
E.51 √
[考点]先分类再分步思想
[解析]一共可以分为三类：
包含既能做英语翻译又能做法语翻译的志愿者，则只需要从剩下的7个人中选出2个即可，则有种选法。
不含既能做英语翻译又能做法语翻译的志愿者，则从只能做英语英语翻译的4个志愿者中选出1个，从3个只能做法语翻译的志愿者中选出2个，则有种选法。
不含既能做英语翻译又能做法语翻译的志愿者，则从4个只能做英语翻译的志愿者中选出2个人，从3个只能做法语翻译的志愿者中选出1个人，则有种。
所以不同选法一共有21+12+18=51种。
（1）特殊元素优先考虑，
（2）分类注意要全面无重复。
7.某大学派出5名志愿者到西部4所中学支教，若每所中学至少有一名志愿者，则不同的分配方案共有______
A.240种 √
B.144种
C.120种
D.60种
E.24种
[考点]组合+排列
[解析]有一所中学来了两名志愿者，所以，从5名选出两名进行捆绑成一组，与剩下的3个人形成4的全排列。
所以分配方案有种。
8.湖中有四个小岛，它们的位置恰好构成正方形的四个顶点。
若要修建三座桥将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案有______种。
A.12
B.16 √
C.13
D.20
E.24
[考点]组合+几何
[解析]四个点可以构成条线，从中任取3条修桥，则有种方法，其中有4种情况不能将四个岛连接，形成孤岛（如下图），共有种。
此题是将简单的几何图形与排列组合相结合进行考查的问题，比较抽象。
需要具备3方面的能力：
一方面是根据题意画出几何图形，另一方面是能够发现此题是考查排列组合，最后还要根据排列组合分类的思想剔除不符合题干条件。
9.若将10只相同的球随机放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，则每个盒子不空的投放方法有______种。
A.72
B.84 √
C.96
D.108
E.120
[考点]插板法
[解析]插板法。
要保证盒子不空，其实只要把10个球分成4堆即可，10个球中除去首尾共有9个空档，在这9个空档中选出3个插进3个板子，即可分为4堆。
所以共有方法数种。
插板法的适用环境为“相同”+“至少有一个”。
10.有两排座位，前排6个座，后排7个座。
若安排2人就坐，规定前排中间2个座位不能坐。
且此2人始终不能相邻而座，则不同的坐法种数为______
A.92
B.93
C.94 √
D.95
E.96
[考点]先分类再分步思想
[解析]分三种情况分析：
两个人分两排坐，得到坐法种数为；两个人都坐第一排，得到坐法种数为；两个人都坐第二排，得到坐法种数为
所以，总坐法种数为种。
分类一定要全面无重复。
11.某公司员工义务献血，在体检合格的人中O型血的有10人，A型血的有5人，B型血的有8人，AB型血的有3人。
若从四种血型的人中各选1人去献血，则不同的选法种数共有______
A.1200 √
B.600
C.400
D.300
E.26
[考点]乘法原理
[解析]因为题干要求“各选一个”，所以需要选择一个A型血的人，选择一个B型血的人，选一个O型血的人，选一个AB型血的人才算完成任务，所以这是一个分步过程，运用乘法计数原理：
10×5×8×3=1200。
若改成从中选择1人去献血，则需要运用加法原理，N=10+5+8+3=26种。
12.从北京出发，有3列动车直达上海，另有6列火车经阜阳再到上海，又有8列航班经过济南再到上海，问从北京到上海有______种到达方式。
A.18
B.17 √
C.16
D.15
E.144
[考点]加法计数原理
[解析]三种途径都能达到从北京到上海的目的，所以要分类相加，N=3+6+8=17。
运用加法计数原理一定要看有没有完成事情。
13.乘积（a1+a2+a3）（b1+b2+b3+b4）（c1+c2+c3+c4+c5）展开后共有______项。
A.17
B.23
C.12
D.30
E.60 √
[考点]乘法计数原理
[解析]求项的个数，第一个乘积项中有3项，第二个乘积中有4项，第三个乘积项中有5项。
（a1+a2+a3）（b1+b2+b3+b4）（c1+c2+c3+c4+c5）要展开需要经过三步，第一步要含有a，有3种选法，第二步要含有b，有4种选法，第三步要含有c，有5种选法，所以需要运用乘法计数原理：
则（a1+a2+a3）（b1+b2+b3+b4）（c1+c2+c3+c4+c5）的展开项的个数有3×4×5=60项。
14.2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小刘五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有______
A.48种
B.12种
C.18种
D.36种 √
E.32种
[考点]分类相加思想
[解析]先进行分类，第一种情况：
小张和小赵均被选中，则有种选法；第二种情况：
小张和小赵中只有一人被选中，则方法数为种。
所以，选派方案为
选择简单的分类方式。
15.将20份相同的文件放入编号分别为1、2、3、4的四个文件夹中，规定每个文件夹中的文件数不小于它的编号数，则方法总数为______
A.969
B.286 √
C.260
D.279
E.296
[考点]插板法
[解析]先在编号为1、2、3、4的文件夹中分别放入0、1、2、3份文件，要满足每个文件夹中的文件数不少于它的编号数，那么现在要将剩下的14份文件放入四个文件夹，且每个文件夹中至少有一份文件，利用隔板法，将14份文件分成4份，需要在13个间隔中插入3个板子，方法数为
当题干中出现“相同”、“至少”等字眼的时候，要想到灵活运用“隔板法”。
16.从长度为3，5，7，9，11的五条线段中，取出三条作三角形，共能作成的不同三角形个数为______
A.4
B.5
C.6
D.7 √
E.8
[考点]分类相加思想
[解析]分情况讨论：
如果最长边是11，则另外两条边可以为3和9，5和9，7和9，7和5，共四种。
如果最长边为9，则另外两边可为3和7，5和7，共两种。
如果最长边是7，另外两条边只能是3和5，只有一种情况。
因此，可构成不同的三角形个数为1+2+4=7（种）。
枚举法，注意全面无重复无遗漏。
17.设三位数，若以a、b、c为三条边长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数有______个。
A.45
B.81
C.165 √
D.216
E.288
[考点]加法原理+组合
[解析]a、b、c要能构成三角形的边长，显然均不为0，即a、b、c∈{1，2，…，9}。
若构成等腰三角形，有两种情况：
①等边三角形：
说明三位数中三个数码都相同，边的长度有9种选择，所以这样的三位数有9个。
②不等边的等腰三角形：
从a、b、c中选出一个做底边，有3种选择；从9个数字选出一个做底边，再从剩下8个数字选出一个做腰，共有3×9×8=216种选择。
大数为底时，必须满足一个腰长度＜底边长度＜二个腰长度之和。
此时，不能构成三角形的有：
底边
9
8
7
6
5
4
3
2
1
腰
4，3
2，1
4，3
2，1
3，2
1
3，2
1
1，2
1，2
1
1
0
共20种情况。
同样，从a、b、c中选出一个做底边，有3种选择，所以不能构成三角形的三位数有3×20=60个。
综上，共有9+216-60=165个。
此题有一定的难度，要求能够选取恰当的分类方式，结合枚举法，枚举不能重复遗漏。
18.有卡片9张，将0、1、2、…、8这9个数分别写在每张卡片上，现从中任取3张排成一个三位数，若6可当9用，则可组成不同的三位数______个。
A.602 √
B.603
C.604
D.605
E.606
[考点]加法原理与乘法原理
[解析]因为6可以当成9用，是个特殊情况，所以三位数按是否含有6进行分类，共有以下两种情况：
不含6的三位数：
百位数字在9个数字中选择，要去掉0和6，有7种选择，十位数字有7种选择，个位数字有6种选择，所以满足此条件的三位数共有7×7×6=294个。
含6的三位数有三种情况：
①6在百位：
十位数字有8种选择，个位数字有7种选择，同时6可以当9用，所以方法数应该再乘以2，因此满足此条件的三位数有8×7×2=112个。
②6在十位：
百位有7种选择，个位有7种选择，6可以当成9用，所以满足此条件的三位数有7×7×2=98个。
③6在个位：
百位有7种选择，十位有7种选择，6可以当成9用，所以满足此条件的三位数有7×7×2=98个。
这五种情况都能满足题干条件的要求，所以运用加法原理，共有294+112+98+98=602个三位数满足题干条件。
此题难度较大，要求做到分类全面无重复。
19.现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为______
A.13000
B.14000
C.15000 √
D.16000
E.17000
[考点]分类思想
[解析]由题设条件可知，满足条件的方案有两种情形：
有一个项目有3人参加，从7个人中选出3个人，这3个人进行捆绑成一体，再与剩下的4个人去参加5个项目，构成5的全排列，有种方案，但是要除掉一类情况，就是甲乙参加了同一个项目，从剩下的5人选出1人与甲乙捆绑成一体，再与剩下的4个人去参加5个项目，构成5的全排列，有种。
所以满足条件的方案有种。
有两个项目各有2人参加：
先从7个人中选出2个人捆绑成一体，再从剩下5个人选出2个人捆绑成一体，有种方案，这两者与剩下的3个人去参加5个项目，构成5的全排列，是个分步过程，运用乘法原理，共有种，同样要注意去掉甲乙参加同一个项目的方案数，甲乙参加同一个项目的方案有种。
所以满足条件的方案数为种。
此题难度很大，要注意先固定项目，再把人安排到项目中，避免重复计数。
20.现从5名管理专业，4名经济专业和1名财会专业的学生中随机派出一个3人小组，则该小组中3个专业各有1名学生的概率为______
A．
B．
C．
D．
E．
A.
B.
C.
D.
E. √
[考点]分步思想+组合数
[解析]设“小组中3个专业各有1名学生”为事件A，则A的方法数共有而该事件的总方法数有种，所以
此题是一道简单的概率问题，只需要运用排列组合思想准确找到样本空间和符合条件的样本点数即可。
21.将2个红球与1个白球随机放入甲、乙、丙三个盒子中，则乙盒中至少有1个红球的概率为______
A．
B．
C．
D．
E．
A.
B.
C.
D. √
E.
[考点]对立面转化法
[解析]“乙盒至少1个红球的概率”设为事件B，事件B的情况数比较多，所以可以求其对立面。
“乙盒中一个红球也没有的概率”设为事件A，一个红球也没有，意味着第一个红球可以放在甲、丙两个盒子里，有两种选择，第二个红球也可以放在甲、丙两个盒子中，也有两种选择，而白球放在甲、乙、丙三个盒子里都能满足条件，有三种选择，所以A事件数有而总事件数有33=27种，即每个球都有三种选择，可以放在甲盒子里也可以放在乙盒子里还可以放在丙盒子里，一共三个球，所以有33=27种方法数。
所以则
题干中出现“至少”字眼，直接求比较繁琐，则考虑其对立面。
22.10名网球选手中有2名种子选手。
现将他们分成两组，每组5人，则2名种子选手不在同一组的概率为______
A．
B．
C．
D．
E．
A.
B.
C. √
D.
E.
[考点]对立面转化法、排列组合
[解析]“两名种子选手不在同一组里”设为事件A，“两名种子选手在同一组里”设为事件B，A、B互为对立事件，所以求A的概率比较复杂的时候，可以转化为求B的概率，P（A）=1-P（B）。
两个种子选手在同一组：
选一个组放甲乙两人，然后从剩下的8人中再选出3人与甲乙并成一组，则剩下的5个人自成一组，整个过程顺序没有影响，所以是组合，需要除以两者的全排列。
所以方法数有种。
总的方法数有即从10人选出5人构成一组，剩下5人自成一组，组与组没区别，顺序对结果无影响，所以是组合，要除以两者的全排列。
所以事件的概率为
当一道题正面考虑有很多种情况并且情况复杂的时候，可以转换思路，考虑从其对立面入手解题。
23.某商店举行店庆活动，顾客消费达到一定数量后，可以在4种赠品中随机选取两件不同的赠品，任意两位顾客所诜的赠品中，恰有一件品种相同的概率是______
A．
B．
C．
D．
E．
A.
B.
C.
D.
E. √
[考点]组合+分步思想
[解析]设“恰有一件品种相同”为事件A，则事件A的方法数有而总事件的方法数有所以事件A发生的概率为答案为E。
简单的概率问题，只需要准确计算出方法数即可。
24.某装置的启动密码是由0-9中的3个不同数字组成的，连续3次输入错误密码，就会导致该装置永久关闭，一个仅记得密码是由3个不同数字组成的人能够启动此装置的概率为______
A．
B．
C．
D．
E．
A.
B.
C. √
D.
E.
[考点]分类分步思想
[解析]启动装置有三类方法：
第一次输入正确；第一次错误，第二次输入正确；第一次、第二次均错误，第三次输入正确。
所以答案为：
此题比较简单，运用到加法公式和乘法公式，但是要求能够准确列出每步的概率，知道第
一次用错的密码不会再用，才能消去因式进行简化运算。
25.在一次竞猜活动中，设有5关，如果连续通过2关就算闯关成功，小王通过每关的概率都是，他闯关成功的概率为______
A．
B．
C．
D．
E．
A.
B.
C.
D.
E. √
[考点]分类分步思想
[解析]闯关成功可以分为如下表所列情况：
第一关
第二关
第三关
第四关
第五关
情况1
√
√
——
——
——
情况2
×
√
√
——
——
情况3
×
×
√
√
——
情况4
√
×
√
√
——
情况5
×
×
×
√
√
情况6
√
×
×
√
√
情况7
×
√
×
√
√
所以闯关成功的概率为
此题难度在于读懂“闯关成功”，哪些情况能够闯关成功，要求能够全面无重复地找出。
26.某公司有9名工程师，张三是其中之一。
从中任意抽调4人组成攻关小组，包括张三的概率是______
A．
B．
C．
D．
E．
A.
B.
C.
D. √
E.
[考点]组合+概率
[解析]攻关小组有张三的情况数有总情况数有所以所求概率为
简单的概率题，找出样本空间和符合条件的样本数即可。
27.在10道备选试题中，甲能答对8题，乙能答对6题。
若某次考试从这10道备选题中随机抽出3道作为考题，至少答对2题才算合格，则甲乙两人考试都合格的概率是______
A．
B．
C．
D．
E．
A. √
B.
C.
D.
E.
[考点]乘法公式+对立面转化法
[解析]想要考试合格，至少要答对两道题，包含两种情况，
（1）是答对两道答错一道；
（2）是三道题全部答对了。
甲考试合格的概率为表示甲答错的两道题全部被选中，再从8道能够答对的题中选出一道即表示甲考试不合格的情况。
乙考试合格的概率为表示两种情况，其一是选的三道题全部是乙能够答错的；其二是选了两道乙能够答错的，选了一道乙答对的。
因此甲乙都合格的概率为
此题比较简单，关键是要求出乘法公式中各个独立事件的概率。
28.在36人中，血型情况如下：
A型12人，B型10人，AB型8人，O型6人。
若从中随机选出两人，则两人血型相同的概率是______
A．
B．
C．
D．
E．以上结论均不正确
A. √
B.
C.
D.
E.
[考点]先分类再分步
[解析]血型相同，可以同为A型或同为B型或同为O型或同为AB型。
总的方法数有满足条件的方法数有所以所求情况的概率为
此题比较简单，运用排列组合思想找全方法数即可。
29.若以连续两次掷骰子得到的点数a和b作为点P的坐标，则点P（a，b）落在直线x+y=6和两坐标轴围成的三角形内的概率为______
A．
B．
C．
D．
E．
A.
B.
C.
D.
E. √
[考点]点与直线间的位置关系
[解析]分母一共有6×6=36种方法数；分子为落入三角形内的点数，有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），…，（4，1）共10个，具体如下图所示：
所以满足条件的概率为
数形结合。
30.某乒乓球男子单打决赛在甲乙两选手间进行比赛用7局4胜制。
已知每局比赛甲选手战胜乙选手的概率为0.7，则甲选手以4:
1战胜乙的概率为______
A.0 √
B.0
C.0
D.0
E.以上都不对
[考点]伯努利概型
[解析]“甲选手以4:
1战胜乙”说明“总共比赛5局，前4局甲胜3局，第5局甲胜”，独立重复事件，满足伯努利概型，直接套用公式
关键是看懂比分。
如果是4:
2，说明比赛局数为6，第六局甲胜，前5局甲有3局胜。
31.若从原点出发的质点M向x轴的正向移动一个和两个坐标单位的概率分别是和，则该质点移动3个坐标单位，到达x=3的概率是______
A．
B．
C．
D．
E．
A.
B. √
C.
D.
E.
[考点]分类分步思想
[解析]分情况讨论：
移动3步到达x=3的概率设为P1，通过移动3步到达，则要求每步移动一个坐标单位，移动一个坐标单位的概率为，所以
移动2步到达x=3的概率设为P2，通过移动2步到达，则要求其中一步移动一个坐标单位，另一步移动两个坐标单位，移动一个坐标单位的概率为，移动两个坐标单位的概率为，所以
所以到达x=3概率为
要找全能够到达x=3的各种途径，再求出每条途径的概率，运用加法公式即可。
32.若以连续掷两枚骰子分别得到到点数a与b作为点M的坐标，则点M落入圆x2+y2=18内（不含圆周）的概率是______
A．
B．
C．
D．
E．
A.
B.
C.
D. √
E.
[考点]加法公式、点和圆的位置关系
[解析]点M的坐标为（a，b），总情况数共有6×6=36种，而满足条件的情况需要分情况讨论：
当a=1时，b=1，2，3，4，有四种情况；
当a=2时，b=1，2，3，有三种情况；
当a=3时，b=1，2，有两种情况；
当a=4时，b=1，有一种情况；
所以，所求概率为
要能利用“两点之间距离公式”判断某点在不在圆内，再分类，求出各个满足条件的相斥事件的概率，最终运用加法公式得出总概率。
33.某公司的24人中，人力资源部的有7人，市场部的有4人，财务部的有
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