最新八年级上册一次函数经典例题.docx
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最新八年级上册一次函数经典例题
一次函数复习课
知识点1一次函数和正比例函数的概念
若两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的形式,则称y是x的一次函数(x为自变量),特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数.例如:
y=2x+3,y=-x+2,y=
x等都是一次函数,y=
x,y=-x都是正比例函数.
【说明】
(1)一次函数的自变量的取值范围是一切实数,但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.
(2)一次函数y=kx+b(k,b为常数,b≠0)中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同,即自变量x的次数为1,一次项系数k必须是不为零的常数,b可为任意常数.
(3)当b=0,k≠0时,y=kx仍是一次函数.
(4)当b=0,k=0时,它不是一次函数.
知识点2函数的图象
把一个函数的自变量x与所对应的y的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点,所有这些点组成的图形叫做该函数的图象.画函数图象一般分为三步:
列表、描点、连线.
知识点3一次函数的图象
由于一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的图象是一条直线,所以一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b.
由于两点确定一条直线,因此在今后作一次函数图象时,只要描出适合关系式的两点,再连成直线即可,一般选取两个特殊点:
直线与y轴的交点(0,b),直线与x轴的交点(-
,0).但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数y=kx的图象时,只要描出点(0,0),(1,k)即可.
知识点4一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的性质
(1)k的正负决定直线的倾斜方向;
①k>0时,y的值随x值的增大而增大;
②k﹤O时,y的值随x值的增大而减小.
(2)|k|大小决定直线的倾斜程度,即|k|越大,直线与x轴相交的锐角度数越大(直线陡),|k|越小,直线与x轴相交的锐角度数越小(直线缓);
(3)b的正、负决定直线与y轴交点的位置;
①当b>0时,直线与y轴交于正半轴上;
②当b<0时,直线与y轴交于负半轴上;
③当b=0时,直线经过原点,是正比例函数.
(4)由于k,b的符号不同,直线所经过的象限也不同;
①如图11-18(l)所示,当k>0,b>0时,直线经过第一、二、三象限(直线不经过第四象限);
②如图11-18
(2)所示,当k>0,b﹥O时,直线经过第一、三、四象限(直线不经过第二象限);
③如图11-18(3)所示,当k﹤O,b>0时,直线经过第一、二、四象限(直线不经过第三象限);
④如图11-18(4)所示,当k﹤O,b﹤O时,直线经过第二、三、四象限(直线不经过第一象限).
(5)由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小,k相同,说明这两个锐角的大小相等,且它们是同位角,因此,它们是平行的.另外,从平移的角度也可以分析,例如:
直线y=x+1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个单位得到的.
知识点5正比例函数y=kx(k≠0)的性质
(1)正比例函数y=kx的图象必经过原点;
(2)当k>0时,图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大;
(3)当k<0时,图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小.
知识点6点P(x0,y0)与直线y=kx+b的图象的关系
(1)如果点P(x0,y0)在直线y=kx+b的图象上,那么x0,y0的值必满足解析式y=kx+b;
(2)如果x0,y0是满足函数解析式的一对对应值,那么以x0,y0为坐标的点P(1,2)必在函数的图象上.
例如:
点P(1,2)满足直线y=x+1,即x=1时,y=2,则点P(1,2)在直线y=x+l的图象上;点P′(2,1)不满足解析式y=x+1,因为当x=2时,y=3,所以点P′(2,1)不在直线y=x+l的图象上.
知识点7确定正比例函数及一次函数表达式的条件
(1)由于正比例函数y=kx(k≠0)中只有一个待定系数k,故只需一个条件(如一对x,y的值或一个点)就可求得k的值.
(2)由于一次函数y=kx+b(k≠0)中有两个待定系数k,b,需要两个独立的条件确定两个关于k,b的方程,求得k,b的值,这两个条件通常是两个点或两对x,y的值.
知识点8待定系数法
先设待求函数关系式(其中含有未知常数系数),再根据条件列出方程(或方程组),求出未知系数,从而得到所求结果的方法,叫做待定系数法.其中未知系数也叫待定系数.例如:
函数y=kx+b中,k,b就是待定系数.
知识点9用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤
(1)设函数表达式为y=kx+b;
(2)将已知点的坐标代入函数表达式,解方程(组);
(3)求出k与b的值,得到函数表达式.
例如:
已知一次函数的图象经过点(2,1)和(-1,-3)求此一次函数的关系式.
解:
设一次函数的关系式为y=kx+b(k≠0),
由题意可知,
解
∴此函数的关系式为y=
.
【说明】本题是用待定系数法求一次函数的关系式,具体步骤如下:
第一步,设(根据题中要求的函数“设”关系式y=kx+b,其中k,b是未知的常量,且k≠0);第二步,代(根据题目中的已知条件,列出方程(或方程组),解这个方程(或方程组),求出待定系数k,b);第三步,求(把求得的k,b的值代回到“设”的关系式y=kx+b中);第四步,写(写出函数关系式).
思想方法小结
(1)函数方法.
函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系,抽象、升华为函数的模型,进而解决有关问题的方法.函数的实质是研究两个变量之间的对应关系,灵活运用函数方法可以解决许多数学问题.
(2)数形结合法.
数形结合法是指将数与形结合,分析、研究、解决问题的一种思想方法,数形结合法在解决与函数有关的问题时,能起到事半功倍的作用.
知识规律小结
(1)常数k,b对直线y=kx+b(k≠0)位置的影响.
①当b>0时,直线与y轴的正半轴相交;
当b=0时,直线经过原点;
当b﹤0时,直线与y轴的负半轴相交.
②当k,b异号时,即-
>0时,直线与x轴正半轴相交;
当b=0时,即-
=0时,直线经过原点;
当k,b同号时,即-
﹤0时,直线与x轴负半轴相交.
③当k>O,b>O时,图象经过第一、二、三象限;
当k>0,b=0时,图象经过第一、三象限;
当b>O,b<O时,图象经过第一、三、四象限;
当k﹤O,b>0时,图象经过第一、二、四象限;
当k﹤O,b=0时,图象经过第二、四象限;
当b<O,b<O时,图象经过第二、三、四象限.
(2)直线y=kx+b(k≠0)与直线y=kx(k≠0)的位置关系.
直线y=kx+b(k≠0)平行于直线y=kx(k≠0)
当b>0时,把直线y=kx向上平移b个单位,可得直线y=kx+b;
当b﹤O时,把直线y=kx向下平移|b|个单位,可得直线y=kx+b.
(3)直线b1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2(k1≠0,k2≠0)的位置关系.
①k1≠k2
y1与y2相交;
②
y1与y2相交于y轴上同一点(0,b1)或(0,b2);
③
y1与y2平行;
④
y1与y2重合.
典例讲解
基本题
本节有关基本概念的题目主要是一次函数、正比例函数的概念及它们之间的关系,以及构成一次函数及正比例函数的条件.
例1下列函数中,哪些是一次函数?
哪些是正比例函数?
(1)y=-
x;
(2)y=-
;(3)y=-3-5x;
(4)y=-5x2;(5)y=6x-
(6)y=x(x-4)-x2.
基础应用题
本节基础知识的应用主要包括:
(1)会确定函数关系式及求函数值;
(2)会画一次函数(正比例函数)图象及根据图象收集相关的信息;(3)利用一次函数的图象和性质解决实际问题;(4)利用待定系数法求函数的表达式.
例3一根弹簧长15cm,它所挂物体的质量不能超过18kg,并且每挂1kg的物体,弹簧就伸长0.5cm,写出挂上物体后,弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)之间的函数关系式,写出自变量x的取值范围,并判断y是否是x的一次函数.
学生做一做乌鲁木齐至库尔勒的铁路长约600千米,火车从乌鲁木齐出发,其平均速度为58千米/时,则火车离库尔勒的距离s(千米)与行驶时间t(时)之间的函数关系式是.
例4某物体从上午7时至下午4时的温度M(℃)是时间t(时)的函数:
M=t2-5t+100(其中t=0表示中午12时,t=1表示下午1时),则上午10时此物体的温度为℃.
例5已知y-3与x成正比例,且x=2时,y=7.
(1)写出y与x之间的函数关系式;
(2)当x=4时,求y的值;
(3)当y=4时,求x的值.
例6若正比例函数y=(1-2m)x的图象经过点A(x1,y1)和点B(x2,y2),当x1﹤x2时,y1>y2,则m的取值范围是()
A.m﹤OB.m>0
C.m﹤
D.m>M
学生做一做某校办工厂现在的年产值是15万元,计划今后每年增加2万元.
(1)写出年产值y(万元)与年数x(年)之间的函数关系式;
(2)画出函数的图象;
(3)求5年后的产值.
例7已知一次函数y=kx+b的图象如图11-22所示,求函数表达式.
例8求图象经过点(2,-1),且与直线y=2x+1平行的一次函数的表达式.
综合应用题
本节知识的综合应用包括:
(1)与方程知识的综合应用;
(2)与不等式知识的综合应用;(3)与实际生活相联系,通过函数解决生活中的实际问题.
例8已知y+a与x+b(a,b为是常数)成正比例.
(1)y是x的一次函数吗?
请说明理由;
(2)在什么条件下,y是x的正比例函数?
例9某移动通讯公司开设了两种通讯业务:
“全球通”使用者先交50元月租费,然后每通话1分,再付电话费0.4元;“神州行”使用者不交月租费,每通话1分,付话费0.6元(均指市内通话)若1个月内通话x分,两种通讯方式的费用分别为y1元和y2元.
(1)写出y1,y2与x之间的关系;
(2)一个月内通话多少分时,两种通讯方式的费用相同?
(3)某人预计一个月内使用话费200元,则选择哪种通讯方式较合算?
例10已知y+2与x成正比例,且x=-2时,y=0.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)画出函数的图象;
(3)观察图象,当x取何值时,y≥0?
(4)若点(m,6)在该函数的图象上,求m的值;
(5)设点P在y轴负半轴上,
(2)中的图象与x轴、y轴分别交于A,B两点,且S△ABP=4,求P点的坐标.
例11已知一次函数y=(3-k)x-2k2+18.
(1)k为何值时,它的图象经过原点?
(2)k为何值时,它的图象经过点(0,-2)?
(3)k为何值时,它的图象平行于直线y=-x?
(4)k为何值时,y随x的增大而减小?
例12判断三点A(3,1),B(0,-2),C(4,2)是否在同一条直线上.
探索与创新题
主要考查学生运用知识的灵活性和创新性,体现分类讨论思想、数形结合思想在数学问题中的广泛应用.
例13老师讲完“一次函数”这节课后,让同学们讨论下列问题:
(1)x从0开始逐渐增大时,y=2x+8和y=6x哪一个的函数值先达到30?
这说明了什么?
(2)直线y=-x与y=-x+6的位置关系如何?
甲生说:
“y=6x的函数值先达到30,说明y=6x比y=2x+8的值增长得快.”
乙生说:
“直线y=-x与y=-x+6是互相平行的.”
你认为这两个同学的说法正确吗?
例14某校一名老师将在假期带领学生去北京旅游,用旅行社说:
“如果老师买全票,其他人全部半价优惠.”乙旅行社说:
“所有人按全票价的6折优惠.”已知全票价为240元.
(1)设学生人数为x,甲旅行社的收费为y甲元,乙旅行社的收费为y乙元,分别表示两家旅行社的收费;
(2)就学生人数讨论哪家旅行社更优惠.
学生做一做某公司到果园基地购买某种优质水果,慰问医务工作者.果园基地对购买量在3000千克以上(含3000千克)的有两种销售方案.甲方案:
每千克9元,由基地送货上门;乙方案:
每千克8元,由顾客自己租车运回,已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元.
(1)分别写出该公司两种购买方案的付款y(元)与所购买的水果量x(千克)之间的函数关系式,并写出自变量X的取值范围;
(2)当购买量在什么范围时,选择哪种购买方案付款少?
并说明理由.
例15一次函数y=kx+b的自变量x的取值范围是-3≤x≤6,相应函数值的取值范围是-5≤y≤-2,则这个函数的解析式为.
中考试题预测
例1某地举办乒乓球比赛的费用y(元)包括两部分:
一部分是租用比赛场地等固定不变的费用b(元),另一部分与参加比赛的人数x(人)成正比例,当x=20时y=160O;当x=3O时,y=200O.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)动果有50名运动员参加比赛,且全部费用由运动员分摊,那么每名运动员需要支付多少元?
例2已知一次函数y=kx+b,当x=-4时,y的值为9;当x=2时,y的值为-3.
(1)求这个函数的解析式。
(2)在直角坐标系内画出这个函数的图象.
例3如图11-27所示,大拇指与小拇指尽量张开时,两指尖的距离称为指距.某项研究表明,一般情况下人的身高h是指距d的一次函数,下表是测得的指距与身高的一组数据.
指距d/cm
20
21
22
23
身高h/cm
160
169
178
187
(1)求出h与d之间的函数关系式;(不要求写出自变量d的取值范围)
(2)某人身高为196cm,一般情况下他的指距应是多少?
例4汽车由重庆驶往相距400千米的成都,如果汽车的平均速度是100千米/时,那么汽车距成都的路程s(千米)与行驶时间t(时)的函数关系用图象(如图11-28所示)表示应为()
例5已知函数:
(1)图象不经过第二象限;
(2)图象经过点(2,-5).请你写出一个同时满足
(1)和
(2)的函数关系式:
.
例6人在运动时的心跳速率通常和人的年龄有关.如果用a表示一个人的年龄,用b表示正常情况下这个人运动时所能承受的每分心跳的最高次数,另么b=0.8(220-a).
(1)正常情况下,在运动时一个16岁的学生所能承受的每分心跳的最高次数是多少?
(2)一个50岁的人运动10秒时心跳的次数为20次,他有危险吗?
例7某市的A县和B县春季育苗,急需化肥分别为90吨和60吨,该市的C县和D县分别储存化肥100吨和50吨,全部调配给A县和B县.已知C,D两县运化肥到A,B两县的运费(元/吨)如下表所示.
(1)设C县运到A县的化肥为x吨,求总运费W(元)与x(吨)的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)求最低总运费,并说明总运费最低时的运送方案.
例82006年夏天,某省由于持续高温和连日无雨,水库蓄水量普遍下降,图11-29是某水库的蓄水量V(万米2)与干旱持续时间t(天)之问的关系图,请根据此图回答下列问题.
(1)该水库原蓄水量为多少万米2?
持续干旱10天后.水库蓄水量为多少万米3?
(2)若水库存的蓄水量小于400万米3时,将发出严重干旱警报,请问:
持续干旱多少天后,将发生严重干旱警报?
(3)按此规律,持续干旱多少天时,水库将干涸?
调研课题:
据调查统计在对大学生进行店铺经营风格所考虑的因素问题调查中,发现有50%人选择了价格便宜些,有28%人选择服务热情些,有30%人选择店面装潢有个性,只有14%人选择新颖多样。
如图(1-5)所示
例9图11-30表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中,路程y(千米)随时间x(分)变化的图象(全程),根据图象回答下列问题.
(1)当比赛开始多少分时,两人第一次相遇?
(2)这次比赛全程是多少千米?
我们女生之所以会钟爱饰品,也许是因为它的新颖,可爱,实惠,时尚,简单等。
的确,手工艺品价格适中。
也许还有更多理由和意义。
那么大学生最喜欢哪种手工艺品呢?
此次调查统计如下图(1-3)(3)当比赛开始多少分时,两人第二次相遇?
1996年“碧芝自制饰品店”在迪美购物中心开张,这里地理位置十分优越,交通四通八达,由于位于市中心,汇集了来自各地的游客和时尚人群,不用担心客流量的问题。
迪美有300多家商铺,不包括柜台,现在这个商铺的位置还是比较合适的,位于中心地带,左边出口的自动扶梯直接通向地面,从正对着的旋转式楼梯阶而上就是人民广场中央,周边4、5条地下通道都交汇于此,从自家店铺门口经过的90%的顾客会因为好奇而进去看一下。
月生活费人数(频率)百分比
(2)文化优势
5、就业机会和问题分析
(六)DIY手工艺品的“创作交流性”
1、荣晓华、孙喜林《消费者行为学》东北财经大学出版社2003年2月
例10如图11-31所示,已知直线y=x+3的图象与x轴、y轴交于A,B两点,直线l经过原点,与线段AB交于点C,把△AOB的面积分为2:
1的两部分,求直线l的解析式.