八年级数学培养一次函数的应用.docx
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八年级数学培养一次函数的应用
第10讲一次函数的应用
考点·方法·破译
1．在现实社会的生产生活中，营销策略、方案设计、工程与行程等实际间题中，往往需要运用一次函数的知识解决问题，这里关键是根据图象与表格等建立一次函数模型，结合方程与方程组，不等式与不等式组等知识使问题得到解决．
经典·考题·赏析
【例1】为调动销售人员的积极性，A、B两公司采取如下工资支付方式：
A公司每月2000元基本工资，另加销含额的2%作为奖金；B公司每月1600元的基本工资，另加销售额的4%作为奖金．已知A、B公司两位销售员小李、小张l～6月份的销售额如下表：
月份
销售额
销售额（单位：
元）
1月
2月
3月
4月
5月
6月
小李（A公司）
11600
12800
14000
15200
16400
17600
小张（B公司）
7400
9200
11000
12800
14600
16400
2李与小张3月份的工资各是多少？
⑵小李l～6月份的销售额y1与月份x的函数关系式是y1＝1200x＋10400，小张1～6月份的销售额y2也是月份x的一次函数，请求出y2与x的函数关系式；
⑶如果7～12月份两人的销售额也分别满足⑵中两个一次函数的关系，问几月份起小张的工资高于小李的工资．
【变式题组】
01．某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蔬菜产品需要装入某一规格的纸箱．供应这种纸箱有两种方案可供选择：
方案一：
从纸箱厂定制购买，每个纸箱的价格为4元；
方案二：
由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱，机器租赁费按生产纸箱数收取．工厂需要一次性投入机器安装等费用16000元，每加工一个纸箱还需要成本费2.4元．
⑴若需要这种规格纸箱x（个别），请分别写出从纸箱厂购买纸箱的费用y1（元）和蔬菜加工厂自己加工制作纸箱的费用y2（元）与x（个）的函数关系；
⑵假设你是决策者，你认为应该选择哪种方案？
并说明理由．
【例2】某工程机械厂根据市场需求，计划生产A、B两种型号的大型挖掘机共100台，该厂所筹生产资金不少于22400万元，但不超过22500万元．且所筹资金全部用于生产此两型挖掘机，所生产的此两型挖掘机可全部售出，此两型挖掘机的生产成本和售价如下表：
型号
A
B
成本（万元/台）
200
240
售价（万元/台）
250
300
⑴该厂对这两型挖掘机有哪几种生产方案？
⑵该厂如何生产能获得最大利润？
⑶根据市场调查，每台B型挖掘机的售价不会改变，每台A型挖掘机的售价将会提高m万元（m＞0），该厂应该如何生产可获得最大利润？
（注：
利润＝售价一成本）
【变式题组】
01．某地为促进特种水产养殖业的发展，决定对甲鱼和黄鳝的养殖提供政府补贴．该地某农户在改建的10个1亩大小的水池里分别养殖甲鱼和黄鳝，因资金有限，投人不能超过14万元，并希望获得不低于10.8万元的收益，相关信息如下表所示：
养殖种类
成本（万元/亩）
毛利润（万元/亩）
政府补贴（万元/亩）
甲鱼
1.5
2.5
0.2
黄鳝
1
1.8
0.1
⑴根据以上信息，该农户可以怎样安排养殖？
⑵应怎样安排养殖，可获得最大收益？
⑶根据市场调查，在养殖成本不变的情况下，黄鳝的毛利润相对稳定，而每亩甲鱼的毛利润将减少m万元．问该农户又该如何安排养殖，才能获得最大的收益？
02．某市A、B两个蔬菜基地得知四川C、D两个灾民安置点分别急需蔬菜240吨和260吨的消息后，决定调运蔬菜支援灾区．已知A蔬菜基地有蔬菜200吨，B蔬菜基地有蔬菜300吨，现在将这些蔬菜全部调往C、D两个灾民安置点．从A地运往C、D两处的费用分别为每吨20元和每吨25元，从B地运往C、D两处的费用分别为每吨15元和每吨18元．设从B地运往C处的蔬菜为x吨．
⑴请填写下表，并求两个蔬菜基地调运的运费相等时x的值；
C
D
总计
A
200吨
B
x吨
300吨
总计
240吨
260吨
500吨
⑵设A、B两个蔬菜基地的总运费为w元，写出w与x之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案；
⑶经过抢修，从B地到C处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m元（m＞0），其余线路的运费不变，讨论总运费最小的调运方案．
【例3】某健身器材销售公司通过当地“红十字会”向灾区献爱心，捐出了五月份的全部销售利润，已知该公司五月份只售出甲、乙、丙三种型号器材若干台，每种型号器材不少于8台，五月份支出包括这批器材进货款64万元和其他各项支出（即人员工资和杂项开支）3.8万元．这三种器材的进价和售价如下右表，人员工资y1（万元）和杂项支出y2（万元）分别与总销售量x成一次函数关系（如图）．
⑴求y1与x的函数解析式；
⑵求五月份该公司的总销售量；
⑶设五月份售出甲种型号器材t台，五月份总销售利润为W（万元），求W与t的函数关系式；（销售利润＝销售额－进价－其他各项支出）
3推测该公司这次向灾区捐款金额的最大值．
【变式题组】
01．某玩具经销商用去2350元购进A、B、C三种新型的电动玩具共50套，并且购进的三种玩具都不少于10套，设购进A种玩具x套，B种玩具y套，三种电动玩具的进价和售价如下表所示：
型号
A
B
C
进价（元/套）
40
55
50
售价（元/套）
50
80
65
⑴求含x、y的代数式表示购进C种玩具的套数；
⑵求y与x之间的函数关系式；
⑶假设所购进的这三种玩具能全部卖出，且在购销这种玩具的过程中需要另外支出各种费用200元．
1利润P（元）与x（套）之间的函数关系式；
2②求利润的最大值，并写出此时三种玩具各多少套．
02．今年我县水果又喜获丰收，某乡组织30辆汽车装运A、B、C三种水果共64吨到外地销售，规定每辆汽车只装运一种水果，且必须装满；装运每种水果的汽车不少于4辆；同时，装运的B种水果的重量不超过装运的A、C两种水果重量之和．
⑴假设用x辆汽车装运A种水果，用y辆汽车装运B种水果，根据下表提供的信息，求y与x之间的函数关系式并写出自变量的取值范围．
水果品种
A
B
C
每辆汽车装运量（吨）
2.2
2.1
2
每吨水果获利（百元）
6
8
5
⑵设此次外销活动的利润为Q，求Q与x之间的函数关系式，请你提出一个获得最大利润时的车辆分配方案．
【例4】2007年5月，第五届中国宜昌长江三峡国际龙舟拉力赛在黄陵庙揭开比赛序幕，20日上午9时，参赛龙舟从黄陵庙同时出发，其中甲、乙两队在比赛时，路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系式如图所示．甲队在上午11时30分到达终点黄泊河港．
⑴哪个队先到达终点？
乙队何时追上甲队？
⑵在比赛过程中，甲、乙何时相距最远？
【变式题组】
01．甲、乙两辆汽车沿同一路线赶赴距出发地480千米的目的地，乙车比甲车晚出发2小时（从甲车出发时开始计时）．图中折线OABG、线段DE分别表示甲、乙两车所行路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系对应的图象（线段AB表示甲出发不足2小时因故停车检修）．请根据图象所提供的信息，解决如下问题：
⑴求乙车所行路程y与时问x的函数关系式；
⑵求两车在途中第二次相遇时，他们距出发地的路程；
4车出发多长时间，两车在途中第一次相遇？
02．甲、乙两车同时从A地出发，以各自的速度匀速向B地行驶．甲车先到达B地，停留1小时后按原路以另一速度匀速返回，直到两车相遇．乙车的速度为每小时60千米，下图是两车之间的距离y与乙车行驶的时间x（小时）之间的函数图象．
⑴请将图中的（）内填上正确的值，并直接写出甲车从A到B的行驶速度；
⑵求从甲车返回到乙车相遇过程中y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
⑶求出甲车返回时行驶速度及A、B两地的距离．
120
【例5】抗震救灾中，某县粮食局为了保证库存粮食的安全，决定将甲、乙两个仓库的粮食全部转移到具有较强抗震能力的A、B两个仓库．已知甲库有粮食100吨，乙库有粮食80吨，而A库的容量为70吨，B库的容量为110吨，从甲、乙两库到A、B两库的路程和运费如下表（表中“元/吨·千米”表示每吨粮食运送1千米所需人民币）
路程（千米）
运费（元/吨·千米）
甲库
乙库
甲库
乙库
A库
20
15
12
12
B库
25
20
10
8
⑴若甲库运往A库粮食x吨，请写出将粮食运往A、B两库的总运费y（元）与x（吨）的函数关系式；
⑵当甲、乙两库各运往A、B两库多少吨粮食时，总运费最省，最省的总运费是多少？
【变式题组】
01．光华农机租凭公司共有50台联合收割机，其中甲型有20台，乙型有30台，现在将这50台联合收割机派往A、B两地区收割小麦，其中30台派往A地区，20台派往B地区，两地区与该农机租赁公司商定每天的租赁价格见下表：
每台甲型收割机的租金
每台乙型收割机的租金
A地区
1800元
1600元
B地区
1600元
1200元
⑴设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y（元），求y与x间的函数关系式，并写出x的取值范围；
⑵若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得租金总金额不低于79600元，说明有多少种分派方案，并将各种方案设计出来；
⑶如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高，请你为光华农机租赁公司提出一条合理的建议．
02.为支持四川抗震救灾，重庆市A、B、C三地现在分别有赈灾物资100吨、100吨、80吨，需要全部运往四川重灾地区的D、E两县，根据灾区的情况，这批贩灾物资运往D县的数量比运往E县的数量的2倍少20吨．
⑴求这批赈灾物资运往D、E两县的数量各是多少？
⑵若要求C地运往D县的赈灾物资为60吨，A地运往D的赈灾物资为x吨（x为整数），B地运往D县的赈灾物资数量小于A地运往D县的赈灾物资数量的2倍，其余的赈灾物资全部运往E县，且B地运往E县的赈灾物资数量不超过25吨．则A、B两地的赈灾物资运往D、E两县的方案有几种？
⑶已知A、B、C三地的赈灾物资运往D、E两县的费用如下表：
A地
B地
C地
运往D县的费用（元/吨）
220
200
200
运往E县的费用（元/吨）
250
220
210
为及时将这批赈灾物资运往D、E两县，某公司主动承担运送这批赈灾物资的总费用，在⑵问的要求下，该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少？
【例6】在底面积为100cm2、高为20cm的长方体水槽内放入一个圆柱形烧杯（烧杯本身的质量、体积忽略不计），如图所示，向烧杯中注入流量一定的水，注满烧杯后，继续注水，直到注满水槽为止（烧杯在水槽中的位置始终不变）．水槽中水面上升的高度h与注水时间t之间的函数关系式如图所示．
⑴求烧杯的底面积；
⑵若烧杯的高为9cm，求注水的速度及注满水槽所用的时间．
【变式题组】
01．某空军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输机进行空中加油，在加油过程中，设运输飞机的油箱余油量为Q1吨，加油飞机的加油油箱余油量为Q2吨，加油时间为t分钟，Q1、Q2与t之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题：
⑴加油飞机的加油油箱中装了多少吨油？
将这些油全部加给运输机需要多少分钟？
⑵求加油过程中，运输飞机的余油量Q1（吨）与时间t（分钟）的函数关系式；
⑶运输飞机加完油后以原速度继续飞行，需要10小时到达目的地，油料是否够用呢？
请你算一算，并说明理由．
02．某企业有甲、乙两个长方形的蓄水池，将甲池中的水以每小时6立方米的速度注人乙池，甲、乙两个蓄水池中水的深度y（米）与注水时间x（小时）之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题：
⑴分别求出甲、乙两个蓄水池中水的深度y与注水时间x之间的函数关系式；
⑵求注水多长时间甲、乙两个蓄水池中水的深度相同；
⑶求注多长时间甲、乙两个蓄水池的蓄水量相同．
03．因南方早情严重，乙水库的蓄水量以每天相同的速度持续减少．为缓解旱情，北方甲水库即以管道运输的方式给予支援，下图是两水库的蓄水量y（万米3）与时间x（天）之间的函数图象．在单位时间内，甲水库的放水量与乙水库的进水量相同（水在排放、接收以及输送过程中的损耗不计）．通过分析图象回答下列问题：
⑴甲水库每天的放水量是多少万立方米？
⑵在第几天时甲水库输出的水开始注入乙水库？
此时乙水库的蓄水量为多少万立方
⑶求直线AD的解析式．
演练巩固反馈提高
01．如图，把一次性纸杯整齐的叠放在一起，根据图中的信息，当一筒纸杯的高度为35cm时，则该筒纸杯有（）
A．40个B．45个C．50个D．55个
02．王老师组织学生举行了一次手抄报活动，最后把十名优秀者的手抄报粘合在一起，在教室里展出．如图，知每张报纸长为38cm，宽为28cm，粘合部分的纸为2cm宽，则这10张报纸粘合后的长度为（）
A．360cmB．362cmC．364cmD．380cm
03．如图是小明从学校到家里行进的路程S（米）与时间t（分）的函数图象．观察图象，从中得到如下信息：
①学校离小明家1000米；②小明用了20分钟到家；③小明前10分钟走了路程的一半；④小明后10分钟比前10分钟走的快，其中正确的有_________（填序号）
04．沪杭高速铁路已开工建设，某校研究性学习以此为课题，在研究列车的行驶速度时，得到一个数学问题，如图，若v是关于t的函数，图象为折线O—A—B—C，其中A（t1，350），B（t2，350），C（
，0），四边形OABC的面积为70，则t2－t1＝（）
A．
B．
C．
D．
05．小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达A，再走上坡路到达B，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程关系如图所示，下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是（）
A．12分钟B．15分钟C．25分钟D．27分钟
06．如图，某电信公司提供了A、B两种方案的移动通信费用y（元）与通话时间x（分）之间的关系，则以下说法错误的是（）
A．若通话时间少于120分钟，则A方案比B方案便宜20元
B．若通话时间少于200分钟，则B方案比A方案便宜12元
C．若通讯费用为60元，则B方案比A方案的通话时间多
D．若两种方案通讯费用差10元，则通话时间是145分或185分
07．如图，在中学生耐力测试比赛中，甲、乙两学生测试的路程S（米）与时间t（秒）之间的函数关系的图象分别为折线OABC和线段OD，下列说法正确的是（）
A．乙比甲先到终点
B．乙测试的速度随时间增大而增大
C．比赛进行到29.4秒时，两人出发后第一次相遇
D．比赛全程甲的测试速度始终比乙的测试速度快
08．某部队甲、乙两班参加植树活动．乙班先植树30棵，然后甲班才开始与乙班一起植树，设甲班植树的总量为y甲（裸），乙班植树的总蚤为y乙（棵），两班一起植树所用的时间（从甲班开始植树时计时）为x（时）．y甲、y乙分别与x之间的部分函数图象如图所示．
⑴当0≤x≤6时，分别求y甲、y乙与x之间的函数关系式；
⑵如果甲、乙两班均保持前6个小时的工作效率，通过计算说明，当x＝8时，甲、乙两班植树的总量之和能否超过260棵；
⑶如果6个小时以后，甲班保持前6个小时的工作效率，乙班通过增加人数，提高了工作效率，这样继续植树2小时，活动结束，当x＝8时，两班之间植树的总量相差20裸，求乙班增加人数后平均每小时植树多少裸．
09．某服装厂现有A种布料35m，B种布料26m，现计划用这两种布料生产男、女两款式的时装共40套．已知做一套男时装需要A种布料0.6m、B种布料0.9m，可获利90元；做一套女时装需要A种布料1.lm，B种布料0.4m，可获利100元，若设生产男时装套数为x套，用这批布料生产这两种时装所获得总利润为y元．
⑴求y与x的函数关系式，并求出x的取值范围；
⑵该服装厂生产这批服装中，当生产男时装多少套时，所获得利润最大？
最大利润是多少元？
10．某企业在生产甲、乙两种节能产品时需用A、B两种原料，生产每吨节能产品所需原料的数量如下表所示：
销售甲、乙两种产品的利润m（万元）与销售量n（吨）之间的函数关系如图所示．已知该企业生产了甲种产品x吨和乙种产品y吨，共用去A原料200吨．
⑴写出x与y满足的关系式；
⑵为保证生产的这批甲种、乙种产品售后的总利润不少于220万元，那么至少要用B原料多少吨？
11．某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆，由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装，生产开始后，调研部门发现：
l名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车．
⑴每名熟练工和新工人每月分别可安装多少辆电动汽车？
⑵如果工厂招聘n（0＜n＜10）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？
⑶在⑵的条件下：
工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发2000元的工资．给每名新工人每月发1200元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能的少？
12．一手机经销商计划购进某品牌的A型、B型、C型三款手机共60部，每款手机至少要购进8部，且恰好用完购机软61000元，设购进A型手机x部，B款手机y部．三款手机的进价和预售价如下表：
手机型号
A型
B型
C型
进价（单位：
元/部）
900
1200
1100
预售价（单位：
元/部）
1200
1600
1300
⑴用含x，y的式子表示购进C型手机的部数；
⑵求出y与x之间的函数关系式；
⑶假设所购进手机全部售出，综合考虑各种因素，该手机经销商在购销这批手机过程中需另外支出各种费用共1500元．
①求预估利润P（元）与x（部）的函数关系式；（注：
预估利润P＝预售总额一购机款一各种费用）
②求预估利润的最大值，并写出此时购进三款手机各多少部．
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