第一章 特殊的平行四边形.docx
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第一章特殊的平行四边形
第一章特殊的平行四边形
1.1菱形的性质与判定第一课时性质
学习过程:
一、自主预习(10分钟)自学课本例题以上的内容,完成下列问题:
如何从一个平行四边形中剪出一个菱形来
?
菱形
平行四边形
的四边形叫做菱形,生活中的菱形有。
按探究步骤剪下一个四边形。
①所得四边形为什么一定是菱形?
②菱形为什么是轴对称图形?
有对称轴。
图中相等的线段有:
图中相等的角有:
③你能从菱形的轴对称性中得到菱形所具有的特有的性质吗?
自己完成证明。
性质:
证明:
二、合作解疑(20分钟)
菱形性质的应用
1.菱形的两条对角线的长分别是6cm和8cm,求菱形的周长和面积。
2.如图,菱形花坛ABCD的边长为20cm,∠ABC=60°
沿菱形的两条对角线修建了两条小路AC和BD,
求两条小路的长和花坛的面积。
3.如图是边长为16cm的活动菱形衣帽架,若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm,则∠1=.
4.如右图,在菱形ABCD中,E,F分别是CB,CD上的点,且BE=DF.
求证:
①△ABE≌△ADF;
②∠AEF=∠AFE.
综合应用拓展
如图,在菱形ABCD中,E是AB的中点,且DE⊥AB,AB=4.
求:
(1)∠ABC的度数;
(2)菱形ABCD的面积.
三、限时检测(10分钟)
1.______________的平行四边形叫做菱形.
2.按图示的虚线折纸,然后连接ABCD可得菱形,由此可以得
到_____________的四边形是菱形.
3.木工做菱形窗棂时总要保持四条边框一样长,道理是__________________________________.第3题图
4.菱形的对角线长分别为6和8,则这个菱形的周长是_______,面积是______.
5.下面性质中,菱形不一定具有的是( )
A.对角线相等 B.是中心对称图形 C.是轴对称图形 D.对角线互相平分
6.菱形的周长为20cm,两邻角的比为1:
2,则较短对角线的长是_____________;一组对边的距离是____________.
7.以菱形ABCD的钝角顶点A引BC边的垂线,恰好平分BC,则此菱形各角是____________.
1.1菱形的性质与判定第一课时判定
学习过程:
一、自主预习(10分钟)
1.复习
(1)菱形的定义:
(2)菱形的性质1
性质2
(3)运用菱形的定义进行菱形的判定,应具备几个条件?
2.【问题】要判定一个四边形是菱形,除根据定义判定外,还有其它的判定方法吗?
3.【探究】用一长一短两根木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.转动木条,这个四边形什么时候变成菱形?
通过演示,容易得到:
菱形判定方法1 :
注意此方法包括两个条件:
(1)是一个平行四边形;
(2)两条对角线互相垂直.
通过下面菱形的作图,可以得到从一般四边形直接判定菱形的方法:
菱形判定方法2 :
二、合作解疑(20分钟))
1.判断题,对的画“√”错的画“×”
(1).对角线互相垂直的四边形是菱形()
(2).一条对角线垂直另一条对角线的四边形是菱形()
(3)..对角线互相垂直且平分的四边形是菱形()
(4).对角线相等的四边形是菱形()
2.已知:
如图
ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F.
求证:
四边形AFCE是菱形.
3.如图,两张等宽的纸条交叉重叠在一起,重叠的部分ABCD是菱形吗?
求证:
(1)四边形ABCD是平行四边形
(2)过A作AE⊥BC于E点,过A作AF⊥CD于F.用等积法说明BC=CD.
(3)求证:
四边形ABCD是菱形.
综合应用拓展
如图,在四边形ABCD中,AB=CD,M,N,P,Q分别是AD,BC,BD,AC的中点.
求证:
MN与PQ互相垂直平分.
三、限时检测(10分钟)
1.填空:
(1)对角线互相平分的四边形是;
(2)对角线互相垂直平分的四边形是;
(3)对角线相等且互相平分的四边形是;
(4)两组对边分别平行,且对角线的四边形是菱形.
2.下列条件中,能判定四边形是菱形的是().
(A)两条对角线相等(B)两条对角线互相垂直
(C)两条对角线相等且互相垂直(D)两条对角线互相垂直平分.
3.如图,O是矩形ABCD的对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD,DE和CE相交于E,
求证:
四边形OCED是菱形。
1.2矩形的性质与判定第一课时性质
学习过程:
一、自主预习(10分钟)
(1)请用四根木棒拼成一个平行四边形,拼成的平行四边形形状唯一吗?
(2)试着改变平行四边形的形状,你能拼出面积最大的平行四边形吗?
这时这个平行四边形的内角是多少度?
(3)观察图形特征,得出概念.
叫做矩形.
矩形的性质:
矩形是一个特殊的平行四边形,它除了具有四边形和平行四边形所有的性质,还有:
矩形的四个角______;矩形的对角线______;矩形是轴对称图形,它的对称轴是____________.
二、合作解疑(15分钟)
问题一如图,矩形ABCD,对角线相交于O,观察对角线所分成的三角形,你有什么发现?
问题二将目光锁定在Rt△ABC中,你能发现它有什么特殊的性质吗?
证明:
“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.”
已知:
求证:
证明:
四、例题学习
例:
已知:
如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,且AC=2AB。
求证:
△AOB是等边三角形。
(注意表达格式完整性与逻辑性)
拓展与延伸:
本题若将“AC=2AB”改为“∠BOC=120°”,你能获得有关这个矩形的哪些结论?
综合应用拓展
在矩形ABCD中,两条对角线AC、BD相交于O,∠ACD=30°,AB=4.
(1)判断△AOD的形状;
(2)求对角线AC、BD的长.
三、限时检测(10分钟)
1.(填空)
(1)矩形的定义中有两个条件:
一是,二是.
(2)已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°,则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为、、、.
(3)已知矩形的一条对角线长为10cm,两条对角线的一个交角为120°,则矩形的边长分别为cm,cm,cm,cm.
2.(选择)
(1)下列说法错误的是().
(A)矩形的对角线互相平分(B)矩形的对角线相等
(C)有一个角是直角的四边形是矩形(D)有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
(2)矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有().
(A)2对(B)4对(C)6对(D)8对
3.已知:
如图,O是矩形ABCD对角线的交点,AE平分∠BAD,∠AOD=120°,求∠AEO的度数.
1.2矩形的性质与判定第一课时判定
学习过程:
一、自主预习(10分钟)
1.矩形是轴对称图形,它有______条对称轴.
2.在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,若对角线AC=10cm,边BC=8cm,则△ABO的周长为________.
3.想一想:
矩形有哪些性质?
在这些性质中那些是平行四边形所没有的?
列表进行比较.
平行四边形
矩形
边
角
对角线
二、学习新知:
自学教材
1、矩形是特殊的平行四边形,怎样判定一个平行四边形是矩形呢?
请说出最基本的方法:
矩形具有平行四边形不具有的性质是:
思考:
小华想要做一个矩形像框送给妈妈做生日礼物,于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作,你有什么办法可以检测他做的是矩形像框吗?
看看谁的方法可行?
(得到矩形的一个判定)
2.做一做:
按照画“边―直角、边-直角、边-直角、边”这样四步画出一个四边形.判断它是一个矩形吗?
说明理由.(探索得到矩形的另一个判定)
总结:
矩形的判定方法.矩形判定方法1:
______________________________
矩形判定方法2:
_______________________________
(指出:
判定一个四边形是矩形,知道三个角是直角,条件就够了.因为由四边形内角和可知,这时第四个角一定是直角.)
二、合作解疑(10分钟)
下列各句判定矩形的说法是否正确?
为什么?
(1)有一个角是直角的四边形是矩形;()
(2)有四个角是直角的四边形是矩形;()
(3)四个角都相等的四边形是矩形;()(4)对角线相等的四边形是矩形;()
(5)对角线相等且互相垂直的四边形是矩形;()
(6)对角线互相平分且相等的四边形是矩形;()
(7)对角线相等,且有一个角是直角的四边形是矩形;()
(8)一组邻边垂直,一组对边平行且相等的四边形是矩形;()
(9)两组对边分别平行,且对角线相等的四边形是矩形.()
三、例题学习(10分钟)
例1.:
已知□ABCD的对角线AC、BD相交于点O,△AOB是等边三角形,AB=4cm,求这个平行四边形的面积.
例2已知:
如图,□ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H.
求证:
四边形EFGH是矩形.
练习二:
(5分钟)(选择)
1.下列说法正确的是().
(A)有一组对角是直角的四边形一定是矩形(B)有一组邻角是直角的四边形一定是矩形
(C)对角线互相平分的四边形是矩形(D)对角互补的平行四边形是矩形
2.满足下列条件()的四边形是矩形。
A.有三个角相等B.有一个角是直角
C.对角线相等且互相垂直D.对角线相等且互相平分
综合应用拓展
如图,M、N分别是平行四边形ABCD对边AD、BC的中点,且AD=2AB,
求证:
四边形PMQN是矩形。
三、限时检测(10分钟)
1、在数学活动课上,老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形,下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案,其中正确的是().
A.测量对角线是否相互平分B.测量两组对边是否分别相等
C.测量一组对角是否都为直角D.测量其中三角形是否都为直角
2、能判断四边形是矩形的条件是()
A、两条对角线互相平分B、两条对角线相等
C、两条对角线互相平分且相等D、两条对角线互相垂直。
3、如图,EB=EC,EA=ED,AD=BC,∠AEB=∠DEC,证明:
四边形ABCD是矩形.
4、已知四边形ABCD中AC⊥BD,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,求证:
四边形EFGH是矩形。
1.3正方形的性质与判定
学习目标:
1.掌握正方形的概念、性质和判定,并会用它们进行有关的论证和计算.
2.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别
学习重点:
正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系.
学习难点:
正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用.
学习过程:
一、自主预习(10分钟)
温故知新填表:
性质
判定方法
矩形
边:
角:
对角线:
对称性:
1.
2.
3.
菱形
边:
角
对角线:
对称性:
1.
2.
3.
二.学习新知
自学教材58-59页,落实:
性质
判定方法
正方形
边:
角
对角线:
对称性:
二、合作解疑(20分钟)
1.如图,正方形ABCD中,E为BC上一点,AF平分∠DAE,求证:
BE+DF=AE.
2.如图,正方形ABCD中,E为BC上一点,DF=CF,DC+CE=AE,求证:
AF平分∠DAE.
3.如图,BF平行于正方形ADCD的对角线AC,点E在BF上,且AE=AC,CF∥AE,求∠BCF.
综合应用拓展
已知:
如图,正方形ABCD中,对角线的交点为O,E是OB上的一点,DG⊥AE于G,DG交OA于F.
求证:
OE=OF.
变形:
三、限时检测(10分钟)
1.正方形的定义:
有一组邻边______并且有一个角是______的平行四边形叫做正方形,因此正方形既是一个特殊的有一组邻边相等的______,又是一个特殊的有一个角是直角的______.
2.正方形的性质:
正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质,正方形的四个角都______;四条边都______且__________________;正方形的两条对角线______,并且互相______,每条对角线平分______对角.它有______条对称轴.
3.正方形的判定:
(1)____________________________________的平行四边形是正方形;
(2)____________________________________的矩形是正方形;
(3)____________________________________的菱形是正方形;
(4)对角线________________________________的四边形是正方形
4.如图6,已知点E为正方形ABCD的边BC上一点,连结AE,过点D作DG
⊥AE,垂足为G,延长DG交AB于点F.求证:
BF=CE.
特殊平行四边形测试卷
(1)
一、精心选一选(每小题3分,共24分)
1.正方形具有而菱形不一定具有的性质是()
A.对角线互相平分B.对角线相等
C.对角线平分一组对角D.对角线互相垂直
2.下列命题中,错误的是()
A.有一个角是直角的菱形是正方形B.三个角都相等的四边形是矩形
C.矩形的对角线互相平分且相等D.菱形的对角线互相垂直平分
3.如图,顺次连结矩形ABCD各边中点,得到菱形EFGH,这个由矩形和菱形所组成的图形()
A.是轴对称图形但不是中心对称图形B.是中心对称图形但不是轴对称图形
C.既是轴对称图形又是中心对称图形D.没有对称性
4.如图,在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E,使CE=AC,AE交CD于点F。
那么,∠AFC=()
A.112.5°B.120°C.135°D.150°
5.菱形相邻两角的比为1∶2,那么菱形的对角线与边长的比为()
A.1∶2∶3B.1∶2∶1C.1∶
∶2D.1∶
∶1
6.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O,连接CE,则CE的长为()
A.3B.3.5
C.2.5D.2.8
7.如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,如果△ABC的周长比△AOB的周长长10厘米,则矩形边AD的长是()
A.5厘米B.10厘米C.7.5厘米D.不能确定
第8题
第7题
第6题
8.如图,E是正方形ABCD对角线AC上一点,EF⊥AB,EG⊥BC,F、G是垂足,若正方形ABCD周长为a,则EF+EG等于()
A.
B.
C.aD.2a
二、填一填(每小题3分,共21分)
9.菱形的两条对角线的长分别为6和8,则这个菱形的周长为.
10.如图,在矩形ABCD中,AB=2BC,将矩形ABCD沿直线AF对折,使B点落在CD边上的E点处,则∠CFE=________。
11.如图,在正方形ABCD中,E是对角线AC上一点,AE=AB,则∠EBC=________。
12.若菱形的两条对角线长是方程x2-8x+15=0的两个根,则该菱形的面积等于________。
13.如图,已知方格纸中是4个相同的正方形,则∠1+∠2+∠3=________。
14.如图所示的图形中,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A、B、C、D的面积的和是_______cm2。
15、如图,P是矩形ABCD内的任意一点,连接PA、PB、PC、PD,得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA,设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4,给出如下结论:
①S1+S2=S3+S4②S2+S4=S1+S3
③若S3=2S1,则S4=2S2④若S1=S2,则P点在矩形的对角线上
其中正确的结论的序号是_________________(把所有正确结论的序号都填在横线上)
三、耐心做一做(本题有8小题,共55分)
16.(6分)矩形ABCD对角线相交与O,DE//AC,CE//BD.
求证:
四边形OCED是菱形.
17(7分)如图,在矩形ABCD中,M、N分别是AD、BC的中点,P、Q分别是BM、DN的中点.
(1)求证:
△MBA≌△NDC;
(2)四边形MPNQ是什么样的特殊四边形?
请说明理由.
18.(7分)如图,把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方形A’B’CD’(此时,点B’落在对角线AC上,点A’落在CD的延长线上),A’B’交AD于点E,连结AA’、CE.
求证:
(1)△ADA’≌△CDE;
(2)直线CE是线段AA’的垂直平分线.
19.(7分)如图,已知菱形ABCD的对角线相交于点O,延长AB至点E,使BE=AB,连结CE.
(1)求证:
BD=EC;
(2)若∠E=50°,求∠BAO的大小.
20.(7分)如图,在正方形ABCD中,等边三角形AEF的顶点E,F分别在BC和CD上
.
(1)求证:
CE=CF;
(2)若等边三角形AEF的边长为2,求正方形ABCD的周长.
21.(7分)如图,在矩形
中,对角线
的垂直平分线
与
相交于点
与
相较于点
,与
相较于
,连接
。
(1)求证:
四边形
是菱形;
(2)若
求MD的长。
22.(7分)已知:
如图,在菱形ABCD中,F为边BC的中点,DF与对角线AC交于点M,过M作ME⊥CD于点E,∠1=∠2。
(1)若CE=1,求BC的长;
(2)求证AM=DF+ME。
特殊的平行四边形测试
(2)
A级 基础题
1.(2013年四川宜宾)矩形具有而菱形不具有的性质是( )
A.两组对边分别平行B.对角线相等C.对角线互相平分D.两组对角分别相等
2.(2013年四川巴中)如图4335,菱形ABCD的两条对角线相交于点O,若AC=6,BD=4,则菱形ABCD的周长是( )
A.24B.16C.4
D.2
图4335
3.(2013年海南)如图4336,将△ABC沿BC方向平移得到△DCE,连接AD,下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的是( )
A.AB=BCB.AC=BCC.∠B=60°D.∠ACB=60°
图4336 图4337 图4338 图4339
4.(2013年内蒙古赤峰)如图4337,4×4的方格中每个小正方形的边长都是1,则S四边形ABDC与S四边形ECDF的大小关系是( )
A.S四边形ABDC=S四边形ECDFB.S四边形ABDC
C.S四边形ABDC=S四边形ECDF+1D.S四边形ABDC=S四边形ECDF+2
5.(2013年四川凉山州)如图4338,菱形ABCD中,∠B=60°,AB=4,则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( )
A.14B.15C.16D.17
6.(2013年湖南邵阳)如图4339,将△ABC绕AC的中点O按顺时针旋转180°得到△CDA,添加一个条件____________,使四边形ABCD为矩形.
7.(2013年宁夏)如图4340,在矩形ABCD中,点E是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE,垂足为F.
求证:
DF=DC.
图4340
8.如图4341,在△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm.将△ABC沿射线BC方向平移10cm,得到△DEF,A,B,C的对应点分别是D,E,F,连接AD.求证:
四边形ACFD是菱形.
图4341
9.(2013年辽宁铁岭)如图4342,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,点O为AB的中点,连接DO并延长到点E,使OE=OD,连接AE,BE.
(1)求证:
四边形AEBD是矩形;
(2)当△ABC满足什么条件时,矩形AEBD是正方形,并说明理由.
图4342
B级 中等题
10.(2013年四川南充)如图4343,把矩形ABCD沿EF翻折,点B恰好落在AD边的B′处,若AE=2,DE=6,∠EFB=60°,则矩形ABCD的面积是( )
A.12B.24C.12
D.16
图4343 图4344 图4345
11.(2013年内蒙古呼和浩特)如图4344,在四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,垂足为O,点E,F,G,H分别为边AD,AB,BC,CD的中点.若AC=8,BD=6,则四边形EFGH的面积为________.
12.(2013年福建莆田)如图4345,正方形ABCD的边长为4,点P在DC边上,且DP=1,点Q是AC上一动点,则DQ+PQ的最小值为____________.
13.(2013年山东青岛)已知:
如图4346,在矩形ABCD中,M,N分别是边AD,BC的中点,E,F分别是线段BM,CM的中点.
(1)求证:
△ABM≌△DCM;
(2)判断四边形MENF是什么特殊四边形,并证明你的结论;
(3)当AD∶AB=__________时,四边形MENF是正方形(只写结论,不需证明).
图4346
C级 拔尖题
14.(2013年内蒙古赤峰)P、Q二人沿直角梯形ABCD道路晨练,如图,AD∥BC,∠B=90°,AD=240m,BC=270m,P从点A开始沿AD边向点D以1m/s的速度行走,Q从点C开始沿CB边向点B以3m/s的速度跑步。
P、Q二人分别从A、C两点同时出发多少时间时,四边形PQCD(P、Q二人所在的位置为P、Q点)是平行四边形?
(6分)