巧解海伦公式.docx
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巧解海伦公式
海伦公式
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海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王希伦（Heron,也称海龙）二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。
但根据MorrisKline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表（未查证）。
1原理简介
2证明过程
证明⑴
证明⑵
证明⑶
证明⑷
3推广
4应用
证明
推广
5例题
1原理简介
中国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。
假设在平面内，有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：
而公式里的p为半周长（周长的一半）：
注1：
"Metrica"（《论》）手抄本中用s作为半周长，所以
和
两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。
由于任何n边的多边形都可以分割成（n-2）个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式，但需要先知道分割用的对角线的长度。
比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。
2证明过程
证明⑴
与海伦在他的著作"Metrica"（《度量论》）中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。
设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为下述推导[1]
cosC=（a^2+b^2-c^2）/2ab
S=1/2*ab*sinC
=1/2*ab*√（1-cos^2C）
=1/2*ab*√[1-（a^2+b^2-c^2）^2/4a^2*b^2]
=1/4*√[4a^2*b^2-（a^2+b^2-c^2）^2]
=1/4*√[（2ab+a^2+b^2-c^2）（2ab-a^2-b^2+c^2）]
=1/4*√[（a+b）^2-c^2][c^2-（a-b）^2]
=1/4*√[（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（-a+b+c）]
设p=（a+b+c）/2
则p=（a+b+c）/2,p-a=（-a+b+c）/2,p-b=（a-b+c）/2,p-c=（a+b-c）/2,
上式=√[（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（-a+b+c）/16]
=√[p（p-a）（p-b）（p-c）]
所以，三角形ABC面积S=√[p（p-a）（p-b）（p-c）]
证明⑵
中国宋代的数学家秦九韶在1247年也提出了“三斜求积术”。
它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是三角形，要找出它来并非易事。
所以他们想到了三角形的三条边。
如果这样做求三角形的面积也就方便多了。
但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？
直到南宋，中国著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”。
秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。
“术”即方法。
三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。
相减后余数被4除，所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。
所谓“实”、“隅”指的是，在方程px2=q,p为“隅”，q为“实”。
以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以
q=1/4{a^2*c^2-[（a^2+c^2-b^2）/2]^2}
当P=1时，△2=q,
△=√1/4{a^2*c^2-[（a^2+c^2-b^2）/2]^2}
因式分解得
△^2=1/4[4a^2c^2-（a^2+c^2-b^2）^2]
=1/4[（c+a）^2-b^2][b^2-（c-a）^2]
=1/4（c+a+b）（c+a-b）（b+c-a）（b-c+a）
=1/4（c+a+b）（a+b+c-2b）（b+c+a-2a）（b+a+c-2c）
=1/4[2p（2p-2a）（2p-2b）（2p-2c）]
=p（p-a）（p-b）（p-c）
由此可得：
S△=√[p（p-a）（p-b）（p-c）]
其中p=1/2（a+b+c）
这与海伦公式完全一致，所以这一公式也被称为“海伦－秦九韶公式”。
S=√1/4{a^2*c^2-[（a^2+c^2-b^2）/2]^2}.其中c>b>a.
根据海伦公式，我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。
如下题：
已知四边形ABCD为圆的内接四边形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四边形ABCD的面积
这里用海伦公式的推广
S圆内接四边形=根号下（p-a）（p-b）（p-c）（p-d）（其中p为周长一半，a,b,c,d，为4边）
代入解得s=8√3
证明⑶
在△ABC中∠A、∠B、∠C对应边a、b、c
O为其内切圆圆心，r为其内切圆半径，p为其半周长
有tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=1
r（tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2）=r
∵r=（p-a）tanA/2=（p-b）tanB/2=（p-c）tanC/2
∴r（tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2）
=[（p-a）+（p-b）+（p-c）]tanA/2tanB/2tanC/2
=ptanA/2tanB/2tanC/2
=r
∴p^2r^2tanA/2tanB/2tanC/2=pr^3
∴S^2=p^2r^2=（pr^3）/（tanA/2tanB/2tanC/2）
=p（p-a）（p-b）（p-c）
∴S=√p（p-a）（p-b）（p-c）
证明⑷
通过使用正弦定理和余弦定理的结合证明（具体可以参考证明方法1）
3推广
关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：
设△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，ha为a边上的高，R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径，p=（a+b+c）/2，则
S△ABC
=1/2aha
=1/2ab×sinC
=rp
=2R^2sinAsinBsinC
=√[p（p-a）（p-b）（p-c）]
其中，S△ABC=√[p（p-a）（p-b）（p-c）]就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。
关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：
设△abc中，a、b、c分别为角a、b、c的对边，ha为a边上的高，r、r分别为△abc外接圆、内切圆的半径，p=（a+b+c），则
s△abc=aha=ab×sinc=rp
=2r2sinasinbsinc=
=
其中，s△abc=就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。
海伦公式在解题中有十分重要的应用。
一、海伦公式的变形
s=
=①
=②
=③
=④
=⑤
二、海伦公式的证明
证一勾股定理
分析：
先从三角形最基本的计算公式s△abc=aha入手，运用勾股定理推导出海伦公式。
证明：
如图ha⊥bc，根据勾股定理，得：
x=y=
ha===
∴s△abc=aha=a×=
此时s△abc为变形④，故得证。
证二：
斯氏定理
分析：
在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。
斯氏定理：
△abc边bc上任取一点d，
若bd=u，dc=v,ad=t.则
t2=
证明：
由证一可知，u=v=
∴ha2=t2=－
∴s△abc=aha=a×
=
此时为s△abc的变形⑤，故得证。
证三：
余弦定理
分析：
由变形②s=可知，运用余弦定理c2=a2+b2－2abcosc对其进行证明。
证明：
要证明s=
则要证s=
=
=ab×sinc
此时s=ab×sinc为三角形计算公式，故得证。
证四：
恒等式
分析：
考虑运用s△abc=rp，因为有三角形内接圆半径出现，可考虑应用三角函数的恒等式。
恒等式：
若∠a+∠b+∠c=180○那么
tg·tg+tg·tg+tg·tg=1
证明：
如图，tg=①
tg=②
tg=③
根据恒等式，得：
++=
①②③代入，得：
∴r2（x+y+z）=xyz④
如图可知：
a+b－c=（x+z）+（x+y）－（z+y）=2x
∴x=同理：
y=z=
代入④，得：
r2·=
两边同乘以，得：
r2·=
两边开方，得：
r·=
左边r·=r·p=s△abc右边为海伦公式变形①，故得证。
证五：
半角定理
半角定理：
tg=
tg=
tg=
证明：
根据tg==∴r=×y①
同理r=×z②r=×x③
①×②×③，得：
r3=×xyz
4应用
证明
证一：
勾股定理
如右图
勾股定理证明海伦公式
。
证二：
斯氏定理
如右图。
证三：
余弦定理分析：
由变形②S=可知，运用余弦
斯氏定理证明海伦公式
定理c^2=a^2+b^2－2abcosC对其进行证明。
证明：
要证明S=
则要证S=ab×sinC
此时S=（ab×sinC）/2为三角形计算公式，故得证。
证四：
恒等式
恒等式证明⑴
恒等式证明⑵
证五：
半角定理
∵由证一，x==－c=p－c
y==－a=p－a
z==－b=p－b
∴r3=∴r=
∴S△ABC=r·p=故得证。
推广
由于在实际应用中，往往需计算四边形的面积，所以需要对海伦公式进行推广。
由于三角形内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为：
在任意内接与圆的四边形ABCD中，设p=，则S四边形=
现根据猜想进行证明。
证明：
如图，延长DA，CB交于点E。
设EA=eEB=f
∵∠1+∠2=180°∠2+∠3=180°
∴∠1=∠3∴△EAB≌△ECD
∴===
解得：
e=①f=②
由于S四边形ABCD=S△EAB
将①，②跟b=代入公式变形④，得到：
∴S四边形ABCD=
所以，海伦公式的推广得证。
5例题
C语言版：
如图四边形ABCD内接于圆O中，SABCD=,AD=1,AB=1,CD=2.
求：
四边形可能为等腰梯形。
解：
设BC=x
由海伦公式的推广，得：
（4－x）（2+x）2=27
x4－12x2－16x+27=0
x2（x2—1）－11x（x－1）－27（x－1）=0
（x－1）（x3+x2－11x－27）=0
x=1或x3+x2－11x－27=0
当x=1时，AD=BC=1
∴四边形可能为等腰梯形。
在程序中实现（VBS）:
dima,b,c,p,q,s
a=inputbox（"请输入三角形第一边的长度"）
b=inputbox（"请输入三角形第二边的长度"）
c=inputbox（"请输入三角形第三边的长度"）
a=1*a
b=1*b
c=1*c
p=（a+b+c）*（a+b-c）*（a-b+c）*（-a+b+c）
q=sqr（p）
s=（1/4）*q
msgbox（"三角形面积为"&s）,,"三角形面积"
在VC中实现
#include
#include
main（）
inta,b,c,s;
printf（"输入第一边\n"）;
scanf（"%d",&a）;
printf（"输入第二边\n"）;
scanf（"%d",&b）;
printf（"输入第三边\n"）;
scanf（"%d",&c）;
s=（a+b+c）/2;
printf（"面积为：
%f\n",sqrt（s*（s-a）*（s-b）*（s-c）））;
C#版：
usingSystem;
usingSystem.Collections.Generic;
usingSystem.Text;
namespaceCST09078
classProgram
staticvoidMain（string[]args）
doublea,b,c,p,s;
Console.WriteLine（"输入第一条边的长度：
\n"）;
a=Convert.ToDouble（Console.ReadLine（））;
Console.WriteLine（"输入第二条边的长度：
\n"）;
b=Convert.ToDouble（Console.ReadLine（））;
Console.WriteLine（"输入第三条边的长度：
\n"）;
c=Convert.ToDouble（Console.ReadLine（））;
p=（a+b+c）/2;
s=Math.Sqrt（p*（p-a）*（p-b）*（p-c））;
Console.WriteLine（"我算出来的面积是{0}",s）;
Console.Read（）;
海伦公式
pascal版：
programx;
var
a,b,c:
real;
functionxb（x,y,z:
real）:
real;
var
p,s:
real;
begin
p:
=（x+y+z）/2;
s:
=sqrt（p*（p-x）*（p-y）*（p-z））;
xb:
=s;
end;
begin
readln（a,b,c）;
writeln（xb（a,b,c）:
0:
2）；
end.
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