电磁场与电磁波习题答案2.docx
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电磁场与电磁波习题答案2
第二章
2-1若真空中相距为d的两个电荷q1及q2的电量分别
为q及4q，当点电荷q位于q1及q2的连线上时，系统处于平衡状态，试求q的大小及位置。
解要使系统处于平衡状态，点电荷q受到点电荷q1及
q2的力应该大小相等，方向相反，即Fq1q
Fq2q。
那么，
由
q1q
q2q
r2
2r1，同时考虑到r1
r2d，求得
40r1
2
40r2
2
r1
1d,
r2
2d
3
3
可见点电荷q可以任意，但应位于点电荷q1和q2的连线上，且与点电荷q1相距1d。
3
z
2-2已知真空中有三个点
q2
q1
电荷，其电量及位置分别
q3
P
为：
E3
E1
q1
1C,
P1（0,0,1）
E2
q2
1C,
P2（1,0,1）
x
q3
4C,P3（0,1,0）
习题图2-2
试求位于P（0,
1,0）点的电场
强度。
解
令r
r
r
分别为三个电电荷的位置P,P,P到
P
点的
1
2
3
1
2
3
距离，则r1
2，r2
3，r3
2。
利用点电荷的场强公式E
q
er，其中er
为点电
4
0r
2
荷q指向场点P的单位矢量。
那么，
1
q1在P点的场强大小为E1
q1
1
，方向为
40r1
2
8
0
er1
1ey
ez
。
2
q2在P点的场强大小为E2
q2
1
，方向为
4
0r2
2
12
0
er2
1ex
ey
ez。
3
q3在P点的场强大小为E3
q3
1
，方向为
4
0r3
2
4
0
er3
ey
则P点的合成电场强度为
E
E1
E2
E3
1
1
ex
1
2
1
3
1ey
8
1
1
ez
0
12
3
8
12
4
2
12
3
2-3直接利用式（2-2-14）计算电偶极子的电场强度。
解令点电荷q位于坐标原点，r为点电荷q至场点P的距离。
再令点电荷q位于+z坐标轴上，r1为点电荷q至场点P的距离。
两个点电荷相距为l，场点P的坐标为
（r,,）。
根据叠加原理，电偶极子在场点P产生的电场为
E
q
r
r1
4
0
r3
r13
考虑到r>>
l，e
r，r
1
r
lcos
，那么上式变为
r1
=e
E
qr12
r2
er
4
q
（r1
r）（r1r）
er
4
0
r2r12
0
r2r12
2
1
2
2
1
式中
r
l
2rlcos
r1
2
11
l2
2lcos
r
r2
r
1
2
2
1
以l为变量，并将1
l
2l
2
cos在零点作泰勒展
r
r2
r
开。
由于l
r，略去高阶项后，得
r111
1
lcos
1
l
2cos
r
r
r
r
利用球坐标系中的散度计算公式，求出电场强度为
E
q
1
l
2cos
1
qlcos
3er
qlsin
3eθ
4
0
r
r
r
20r
40r
2-4已知真空中两个点电荷的电量均为2106C，相距为2cm，如习题图2-4所示。
试求：
①P点的电位；②将电量为2106C的点电荷由无限远处缓慢地移至P点时，外力必须作的功。
P
r
m
c
q
1
q
1cm
1cm
习题图2-4
解根据叠加原理，P点的合成电位为
2
q
2.5106V
4
0r
因此，将电量为2106C的点电荷由无限远处缓慢地移到
P点，外力必须做的功为Wq5J
2-5通过电位计算有限长线电荷
3
的电场强度。
z
解
建立圆柱坐标系。
令先电
2
荷沿z轴放置，由于结构以z
z
r
P
轴对称，场强与无关。
为了简
单起见，令场点位于yz平面。
设线电荷的长度为L，密度为
dl
r0
l
o
y
1
l，线电荷的中点位于坐标原
点，场点P的坐标为r,,z。
2
习题图2-5
利用电位叠加原理，求得场点
P的电位为
l
2L
dl
40
L2
r0
式中r0
zl2
r2。
故
l
ln
zl
zl
4
0
z
L
L
z
l
ln
2
2
40
z
L
L
2
z
2
L
2
r
2
2
L
2
2
r2
2
r2
因E，可知电场强度的z分量为
Ez
l
L
2
z
L
z
r
2
2
ln
2
z40
z
L
2
z
L
z
r
2
2
2
4
l
1
1
4
0
z
2
r2
z
L
2
L
r2
2
2
l
1
1
4
0r
z
L2
2
z
2
1
1
L2
r
r
l
r
r
4
0r
2
2
2
2
r
z
L2
r
zL2
l
sin
2
sin
1
4
0r
电场强度的r
分量为
L
L
2
z
z
r2
Er
l
ln
2
2
4
r
0
r
L
L
2
z
z
r2
2
2
l
r
4
0
zL2
2
r
2
zL2
zL2
2
2
r
r
zL22
r2zL2
zL22
r2
l
1
4
0r
1
z
L2
2
zL2
z
L2
2
r
r
1
r
5
1
zL2
2
2
zL2
zL2
1
r
1
r
r
l
1
40r
1
1
1
1
tan1
1
tan
2
1
tan2
1
1
1
1
1
1
tan2
1
tan
2
2
tan2
2
l
1cos1
1cos2
40r
l
cos
1
cos2
4
0r
式中1arctan
r
arctan
r
L
2
，那么，合成电强为
z
z
L
2
2
E
l
sin
2
sin1ez
cos2cos1er
40r
当L
时，1
0,
2
，则合成电场强度为
l
E20rer
可见，这些结果与教材2-2节例4完全相同。
2-6已知分布在半径为a的半圆周上的电荷线密度
l0sin,0，试求圆心处的电场强度。
6
y
dl
o
a
x
E
习题图2-6
解建立直角坐标，令线电荷位于xy平面，且以y轴为对称，如习题图2-6所示。
那么，点电荷ldl在圆心处产生的电场强度具有两个分量Ex和Ey。
由于电荷分布以y轴为对称，因此，仅需考虑电场强度的Ey分量，即
dEdEy
ldl
2sin
0a
4
考虑到dlad,
l
0sin
，代入上式求得合成电场强度
为
E
ey
4
0
sin2
d
0ey
0
0a
80a
2-7已知真空中半径为a的圆环上均匀地分布的线电荷密度为l，试求通过圆心的轴线上任一点的电位及电场强度。
z
P
r
oy
a
dl
xy
习题图2-7
7
解建立直角坐标，令圆环位于坐标原点，如习题图2-7所示。
那么，点电荷ldl在z轴上P点产生的电位为
ldl40r
根据叠加原理，圆环线电荷在P点产生的合成电位为
z
1
2
a
l
dl
l
2
a
dl
la
40
0
r
4
0r0
20a2
z2
因电场强度E
，则圆环线电荷在P点产生的电
场强度为
E
ez
z
ez
l
az
32
z
a2
z2
20
2-8设宽度为W，面密度为
S的带状电荷位于真空中，
试求空间任一点的电场强度。
z
dx
w
w
2
o
2
y
y
x
dx
r
x
w
w
2
P（x,y）
2
x
（a）（b）
习题图2-8
解建立直角坐标，且令带状电荷位于xz平面内，如习题图2-8所示。
带状电荷可划分为很多条宽度为dx的无限长线电荷，其线密度为sdx。
那么，该无限长线电荷
8
产生的电场强度与坐标变量z无关，即
dE
sdx
er
2
0r
式中
r
x
x
2
y2
er
ex
xx
ey
y1exxx
eyy
r
r
r
得
dE
sdx
y2exxx
eyy
2
0xx2
w
sdx
那么
E
2
exxx
eyy
w
2
x
x
2
y2
2
0
w
2
w
w
x
2
x
2
y
2
x
ex4
s
ln
2
ey
2
s
arctan
arctan
2
0
w
y2
0
y
y
x
2
2-9已知均匀分布的带电圆盘半径为a，面电荷密度
为S，位于z=0平面，且盘心与原点重合，试求圆盘轴线上任一点电场强度E。
z
P（0,0,z）
oy
r
dr
x
习题图2-9
解如图2-9所示，在圆盘上取一半径为r，宽度为dr的圆环，该圆环具有的电荷量为dq2rdrs。
由于对称性，该圆环电荷在z轴上任一点P产生的电场强度仅的r有z分量。
根据习题2-7结果，获知该圆环电荷在P产生的
9
电场强度的z分量为
zr
sdr
dEz
2
z232
20r
那么，整个圆盘电荷在P产生的电场强度为
s
a
zrdr
s
Eez20
0z2
r232
ez20
zz
zz2a2
2-10已知电荷密度为S及S的两块无限大面电荷分
别位于x=0及x=1平面，试求x1,0x1及x0区
域中的电场强度。
解无限大平面电荷产生的场强分布一定是均匀的，其电场方向垂直于无限大平面，且分别指向两侧。
因此，位于x=0平面内的无限大面电荷S，在x<0区域中产生
的电场强度E1exE1，在x>0区域中产生的电场强度
E1exE1。
位于x=1平面内的无限大面电荷S，在x<
1区域中产生的电场强度E2
exE2，在x>1区域中产生
的电场强度E2exE2。
由电场强度法向边界条件获知，
0E1
0E1
sx0
0E2
0E2
sx0
即
0E1
0E1
sx0
0E2
0E2
sx1
s
由此求得E1E2
20
根据叠加定理，各区域中的电场强度应为
EE1
E2
exE1
exE2
0,x0
E
E1
E2
exE1
exE2
s,0x1
0
E
E1
E2
exE1
exE2
0,x1
10
2-11若在球坐标系中，电荷分布函数为
0,
0
r
a
10
6,
a
r
b
0,
r
b
试求0ra,ar
b及r
b区域中的电通密度D。
解作一个半径为r的球面为高斯面，由对称性可知
Dds
qD
q
er
s
2
4r
式中q为闭合面S包围的电荷。
那么
在0
ra区域中，由于q=0，因此D=0。
在a
rb区域中，闭合面S包围的电荷量为
q
dv
106
4
r3
a3
v
3
因此，
D
106r3
a3
er
3
r2
在r
b区域中，闭合面S包围的电荷量为
q
dv
106
4
b3
a3
v
3
因此，
D
106b3
a3
er
3
r2
2-12若带电球的内外区域中的电场强度为
q
r
a
r
2
E
erqr,
r
a
a
试求球内外各点的电位。
解在r
a区域中，电位为
a2
r2
r
Edr
Edr
Edr
q
q
a
r
r
a
2a
a
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