电磁场与电磁波习题答案2.docx

1、电磁场与电磁波习题答案2第二 章2-1 若 真空 中相 距为 d 的两 个电 荷 q1 及 q 2 的电量分 别为 q 及 4q， 当点 电荷 q 位 于 q1 及 q2 的 连线 上时 ，系 统处于平 衡状 态， 试 求 q 的大 小及 位置 。解 要 使 系统 处 于平衡 状态 ， 点电 荷 q 受到 点电 荷 q 1 及q2 的 力应 该大 小相 等， 方向 相 反， 即 Fq1 qFq2q 。 那么 ，由q1qq2 qr22r1 ，同 时考 虑到 r1r2 d ，求得4 0 r124 0 r22r11 d,r22 d33可见点 电荷 q 可 以任 意 ，但应 位于 点电 荷 q 1 和

2、 q 2 的连 线上，且 与点 电荷 q1 相 距 1 d 。3z2-2 已知真空中有三个点q 2q1电荷，其电量及位置分别q 3P为：E 3E 1q11C,P1 (0,0,1)E 2q21C,P2 (1,0,1)xq34C, P3 (0,1,0)习题图 2-2试求位于 P(0,1,0)点的电场强度。解令 r, r, r分别为三个电电荷的位置 P,P,P到P点 的123123距离， 则 r12 ， r23 ， r32 。利用点电荷的场强公式 Eqer ，其 中 er为点 电40 r2荷 q 指 向场 点 P 的单 位矢 量 。 那么 ，1q1 在 P 点 的 场 强 大 小 为 E1q11，方

3、向为4 0r1280er11 e yez。2q2 在 P 点 的场 强大 小为 E2q21，方向为40 r22120er 21 exe yez 。3q3 在 P 点 的场 强 大 小 为 E3q31，方向为40 r3240er3ey则 P点的合成电场强度为EE1E 2E 311ex12131 ey811ez0123812421232-3 直接利用式（2-2-14 ）计算电偶极子的电场强度。解 令点 电荷 q 位 于坐 标原 点， r 为点 电 荷 q 至 场点 P 的距离 。再 令点 电荷 q 位于 + z 坐标 轴 上， r1 为 点电 荷 q 至场点 P 的距 离 。两 个点 电荷 相距

4、为 l ，场点 P 的 坐标 为（r, , ）。根据叠加原理，电偶极子在场点 P 产生的电场为Eqrr140r 3r13考虑到 r l ， er ， r1rl cos，那么上式变为r1= eEq r12r 2er4q(r1r )(r1 r )er40r 2 r120r 2 r1221221式中rl2rl cosr121 1l 22 l cosrr 2r1221以 l 为 变 量 ， 并 将 1l2 l2c o s 在 零 点作 泰 勒 展rr 2r开 。 由 于 lr ，略 去高 阶 项后 ，得r1 1 11l cos1l2 cosrrrr利用球坐标系中的散度计算公式，求出电场强度为Eq1l2

5、 cos1ql cos3 erql sin3 e40rrr2 0r4 0 r2-4 已知真空中两个点电荷的电量均为2 10 6C，相距为 2cm ， 如 习题 图 2-4 所 示 。 试 求： P 点的 电位 ； 将电量为 2 10 6C的点电荷由无限远处缓慢地移至 P 点时，外力必须作的功。Prmcq1q1cm1cm习题图 2-4解 根据叠加原理， P点的合成电位为2q2.5 106 V40 r因此，将电量为 2 10 6C的点电荷由无限远处缓慢地移到P 点， 外力 必须 做的 功为 W q 5 J2-5 通过电位计算有限长线电荷3的电场强度。z解建立圆柱坐标系。 令先电2荷沿 z 轴放 置

6、， 由于 结构以 zzrP轴对称，场强与 无关。为 了简单起见 ，令 场点 位 于 yz 平 面 。设线电荷的长度为 L，密度为dlr 0loy1l ，线 电荷 的中 点 位于 坐标 原点，场 点 P 的坐 标为 r , , z 。2习题图 2-5利用电位叠加原理，求得场点P的电位为l2Ld l4 0L2r0式中 r0z l 2r 2 。 故llnz lz l40zLLzlln224 0zLL2z2L2r22L22r 22r 2因 E ， 可知 电场 强度 的 z 分量 为EzlL2zLzr22ln2z 4 0zL2zLzr2224l1140z2r 2zL2Lr 222l1140 rzL 22

7、z211L 2rrlrr40 r2222rzL 2rz L 2lsin2sin140 r电场强 度 的 r分量为LL2zzr 2Erlln224r0rLL2zzr 222lr40z L 22r2z L 2z L 222rrz L 2 2r 2 z L 2z L 2 2r 2l140 r1zL 22z L 2zL 22rr1r51z L 222z L 2z L 21r1rrl14 0 r1111tan 11tan21tan2111111tan 21tan22tan22l1 cos 11 cos 24 0 rlcos1cos 240 r式中 1 ar ct anr,ar ct anrL2，那么，合

8、成电强为zzL22Elsin2sin 1 ezcos 2 cos 1 er4 0r当 L时， 10,2，则合成电场强度为lE 2 0r er可见，这些结果与教材 2-2 节例 4完全相同。2-6 已 知分 布在 半 径为 a 的 半圆 周上 的 电荷 线密 度l 0 sin , 0 ，试 求圆 心处 的电 场强 度。6yd loaxE习题图 2-6解 建 立 直角 坐 标，令 线电 荷 位于 xy 平面 ， 且以 y 轴 为对称，如 习 题图 2-6 所示 。那 么，点 电 荷 l dl 在圆 心处 产生的电 场强 度具 有 两个 分量 E x 和 E y。由 于 电荷 分布 以 y 轴为对

9、称， 因此 ， 仅需 考虑 电场 强度 的 E y 分 量， 即d E d E yl d l2 sin0 a4考虑到 d l a d ,l0 sin，代入上式求得合成电场强度为Eey40sin 2d0 ey00 a8 0a2-7 已 知真 空中 半径 为 a 的 圆 环上 均匀 地分 布的 线电 荷密 度为 l ， 试 求通 过圆 心的 轴线 上任 一点 的 电位 及电 场强度。zPro yadlx y习题图 2-77解 建立直角坐标，令圆环位于坐标原点，如习题图 2-7 所示 。 那么 ，点 电 荷 l dl 在 z 轴上 P 点 产生 的电 位为ldl 4 0r根据叠加原理，圆环线电荷在

10、P点产生的合成电位为z12aldll2ad ll a4 00r40 r 02 0 a 2z2因电场强度 E，则圆环线电荷在 P点产生的电场强度为Eezzezlaz3 2za 2z22 02-8 设宽度为 W，面密度为S的带状电荷位于真空中，试求空间任一点的电场强度。zd xww2o2yyxdxrxww2P(x,y)2x(a) (b)习题图 2-8解 建 立 直角 坐 标，且 令带 状 电荷 位于 xz 平 面内 ，如 习题 图 2-8 所示 。带 状 电荷 可划 分为 很多 条宽 度为 d x 的 无限长线 电荷 ，其 线密 度为 s d x 。那 么，该 无 限长 线电 荷8产生的 电场 强

11、度 与 坐标 变量 z 无 关， 即d Es d xer20 r式中rxx2y 2erexx xeyy 1 ex x xe y yrrr得dEs d xy 2 ex xxey y20 x x 2ws d x那么E2ex x xey yw2xx2y 220w2wwx2x2y2xex 4sln2e y2sarctanarctan20wy20yyx22-9 已 知均 匀分 布的 带电 圆盘 半径 为 a ，面 电荷 密度为 S ，位 于 z = 0 平面 ，且盘 心与 原点 重合 ，试 求圆 盘轴线上任一点电场强度 E。zP(0,0, z)o yrdrx习题图 2-9解 如 图 2-9 所 示，在

12、圆盘 上 取一 半径 为 r ，宽 度为 d r 的圆环，该圆 环具 有的 电荷 量为 d q 2 r d r s 。由 于对称 性，该圆环 电荷 在 z 轴上 任一 点 P 产生 的 电场 强度 仅的 r 有 z 分量。根据习题 2-7 结果，获知该圆环电荷在 P 产生的9电场强 度的 z 分 量为zrs d rd E z2z2 3 22 0 r那么，整个圆盘电荷在 P产生的电场强度为sazr d rsEez 2 00 z2r 2 3 2ez 2 0z zz z2 a22-10 已知电荷密度为 S及 S的两块无限大面电荷分别位于 x = 0 及 x = 1 平 面， 试求 x 1, 0 x

13、1及 x 0 区域中的电场强度。解 无限大平面电荷产生的场强分布一定是均匀的，其电场方向垂直于无限大平面，且分别指向两侧。因此，位于 x = 0 平面 内的 无限 大面 电 荷 S ，在 x 0 区 域中 产生 的电 场强 度E1 ex E1 。位 于 x = 1 平面 内 的无 限 大面电 荷 S ，在 x 1 区域 中产 生的电场 强度 E 2ex E2 。由电场强度法向边界条件获知，0 E10 E1s x 00 E20 E2s x 0即0 E10 E1s x 00 E20 E2s x 1s由此求得 E1 E22 0根据叠加定理，各区域中的电场强度应为E E1E 2ex E1ex E20,

14、 x 0EE1E 2ex E1ex E2s , 0 x 10EE1E 2ex E1ex E20, x 1102-11 若在球坐标系中，电荷分布函数为0,0ra106 ,arb0,rb试求 0 r a, a rb 及 rb 区域 中的 电通 密度 D 。解 作一 个半径 为 r 的 球面 为高 斯面 ， 由对 称 性可知D d sq Dqers24 r式 中 q 为闭 合面 S 包围 的电 荷 。 那么在 0r a 区域 中， 由 于 q = 0 ，因 此 D = 0 。在 ar b 区域 中， 闭 合面 S 包 围 的电荷 量为qdv10 64r 3a3v3因此，D10 6 r 3a3er3r 2在 rb 区域 中 ，闭 合面 S 包 围 的电荷 量为qdv10 64b3a3v3因此，D10 6 b3a3er3r 22-12 若带电球的内外区域中的电场强度为q,rar2Eer qr ,raa试求球内外各点的电位。解 在 ra 区 域中 ，电 位为a 2r 2rE drE d rE d rqqarra2aa