高考一轮江苏数学文科 第9章 第45课 圆的方程.docx

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高考一轮江苏数学文科第9章第45课圆的方程

第45课圆的方程

[最新考纲]

内容

要求

A

B

C

圆的标准方程与一般方程

√

1．圆的定义及方程

定义

平面内与定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）

标准方程

（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0）

圆心（a，b），半径r

一般方程

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

（D2＋E2－4F＞0）

圆心，

半径

2.点与圆的位置关系

点M（x0，y0）与圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2的位置关系：

（1）若M（x0，y0）在圆外，则（x0－a）2＋（y0－b）2＞r2.

（2）若M（x0，y0）在圆上，则（x0－a）2＋（y0－b）2＝r2.

（3）若M（x0，y0）在圆内，则（x0－a）2＋（y0－b）2＜r2.

1．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）．

（1）确定圆的几何要素是圆心与半径．（　　）

（2）方程（x＋a）2＋（y＋b）2＝t2（t∈R）表示圆心为（a，b），半径为t的一个圆．（　　）

（3）方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.（　　）

（4）若点M（x0，y0）在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0.（　　）

[解析]　由圆的定义及点与圆的位置关系，知

（1）（3）（4）正确．

（2）中，当t≠0时，表示圆心为（－a，－b），半径为|t|的圆，不正确．

[答案]　

（1）√　

（2）×　（3）√　（4）√

2．（教材改编）方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是________．

－2＜a＜　[由题意知a2＋4a2－4（2a2＋a－1）＞0，

解得－2＜a＜.]

3．（2016·全国卷Ⅱ改编）圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝________.

－　[圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0，得圆心坐标为（1,4），所以圆心到直线ax＋y－1＝0的距离d＝＝1，解得a＝－.]

4．若圆C的半径为1，其圆心与点（1,0）关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．

x2＋（y－1）2＝1　[根据题意，圆C的圆心为（0,1），半径为1，则标准方程为x2＋（y－1）2＝1.]

5．过三点A（1,3），B（4,2），C（1，－7）的圆交y轴于M，N两点，则MN＝________.

4　[设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

则解得

∴圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.

令x＝0得y＝－2＋2或y＝－2－2.

∴M（0，－2＋2），N（0，－2－2）．

∴MN＝4.]

求圆的方程

（1）已知三点A（1,0），B（0，），C（2，），则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为________．

（2）（2016·天津高考）已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M（0，）在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为________．

（1）　

（2）（x－2）2＋y2＝9　[

（1）法一：

在坐标系中画出△ABC（如图），利用两点间的距离公式可得AB＝AC＝BC＝2（也可以借助图形直接观察得出），所以△ABC为等边三角形．设BC的中点为D，点E为外心，同时也是重心．所以AE＝AD＝，从而OE＝＝＝.

法二：

设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

则解得

所以△ABC外接圆的圆心为.

因此圆心到原点的距离d＝＝.

（2）因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C（a,0），且a>0，

所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝＝，

解得a＝2，

所以圆C的半径r＝CM＝＝3，

所以圆C的方程为（x－2）2＋y2＝9.]

[规律方法]　1.直接法求圆的方程，根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．

2．待定系数法求圆的方程：

①若已知条件与圆心（a，b）和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．

温馨提醒：

解答圆的方程问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．

[变式训练1]　经过点A（5,2），B（3，－2），且圆心在直线2x－y－3＝0上的圆的方程为________．

x2＋y2－4x－2y－5＝0（或（x－2）2＋（y－1）2＝10）　[法一：

∵圆过A（5,2），B（3，－2）两点，

∴圆心一定在线段AB的垂直平分线上．

易知线段AB的垂直平分线方程为y＝－（x－4）．

设所求圆的圆心为C（a，b），则有

解得a＝2，且b＝1.

因此圆心坐标C（2,1），半径r＝|AC|＝.

故所求圆的方程为（x－2）2＋（y－1）2＝10.

法二：

设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0），

则

解得D＝－4，E＝－2，F＝－5，

∴所求圆的方程为x2＋y2－4x－2y－5＝0.]

与圆有关的最值问题

　已知M（x，y）为圆C：

x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q（－2,3）．

（1）求MQ的最大值和最小值；

（2）求的最大值和最小值.【导学号：

62172245】

[解]　

（1）由圆C：

x2＋y2－4x－14y＋45＝0，

可得（x－2）2＋（y－7）2＝8，

∴圆心C的坐标为（2,7），半径r＝2.

又QC＝＝4，

∴MQmax＝4＋2＝6，

MQmin＝4－2＝2.

（2）可知表示直线MQ的斜率k.

设直线MQ的方程为y－3＝k（x＋2），即kx－y＋2k＋3＝0.

由直线MQ与圆C有交点，所以≤2，

可得2－≤k≤2＋，

∴的最大值为2＋，最小值为2－.

[迁移探究1]　（变化结论）在本例的条件下，求y－x的最大值和最小值．

[解]　设y－x＝b，则x－y＋b＝0.

当直线y＝x＋b与圆C相切时，截距b取到最值，

∴＝2，∴b＝9或b＝1.

因此y－x的最大值为9，最小值为1.

[迁移探究2]　（变换条件结论）若本例中条件“点Q（－2,3）”改为“点Q是直线3x＋4y＋1＝0上的动点”，其它条件不变，试求MQ的最小值．

[解]　∵圆心C（2,7）到直线3x＋4y＋1＝0上动点Q的最小值为点C到直线3x＋4y＋1＝0的距离，

∴QCmin＝d＝＝7.

又圆C的半径r＝2，

∴MQ的最小值为7－2.

[规律方法]　1.处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，数形结合求解．

2．某些与圆相关的最值可利用函数关系求最值．

根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、函数的性质、利用基本不等式求最值是比较常用的．

[变式训练2]　设P为直线3x－4y＋11＝0上的动点，过点P作圆C：

x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，切点分别为A，B，求四边形PACB的面积的最小值．

[解]　圆的标准方程为（x－1）2＋（y－1）2＝1，

圆心为C（1,1），半径为r＝1.

根据对称性可知，四边形PACB的面积为

2S△APC＝2×PAr＝PA＝.

要使四边形PACB的面积最小，则只需PC最小，最小时为圆心到直线l：

3x－4y＋11＝0的距离

d＝＝＝2.

所以四边形PACB面积的最小值为

＝＝.

与圆有关的轨迹问题

　设定点M（－3,4），动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹.【导学号：

62172246】

[解]　如图所示，设P（x，y），N（x0，y0），则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.由于平行四边形的对角线互相平分，

故＝，＝.

从而

又N（x＋3，y－4）在圆上，故（x＋3）2＋（y－4）2＝4.因此所求轨迹为圆：

（x＋3）2＋（y－4）2＝4，

但应除去两点和（点P在直线OM上的情况）．

[规律方法]　求与圆有关的轨迹问题的四种方法

（1）直接法：

直接根据题设给定的条件列出方程求解．

（2）定义法：

根据圆的定义列方程求解．

（3）几何法：

利用圆的几何性质得出方程求解．

（4）代入法（相关点法）：

找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解．

[变式训练3]　已知圆x2＋y2＝4上一定点A（2,0），B（1,1）为圆内一点，P，Q为圆上的动点．

（1）求线段AP中点的轨迹方程；

（2）若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．

[解]　

（1）设AP的中点为M（x，y），由中点坐标公式可知，P点坐标为（2x－2,2y）．

因为P点在圆x2＋y2＝4上，

所以（2x－2）2＋（2y）2＝4，

故线段AP中点的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝1.

（2）设PQ的中点为N（x，y），连结BN（图略）．

在Rt△PBQ中，PN＝BN.

设O为坐标原点，连结ON，则ON⊥PQ，

所以OP2＝ON2＋PN2＝ON2＋BN2，

所以x2＋y2＋（x－1）2＋（y－1）2＝4.

故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.

[思想与方法]

1．确定一个圆的方程，需要三个独立条件，“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法．

2．解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算．

[易错与防范]

1．二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D2＋E2－4F＞0这一前提条件．

2．求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程．

3．求轨迹方程和求轨迹是有区别的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程后还要指明轨迹表示什么曲线．

课时分层训练（四十五）

A组　基础达标

（建议用时：

30分钟）

一、填空题

1．圆心为（1,1）且过原点的圆的方程是________．

（x－1）2＋（y－1）2＝2　[圆的半径r＝＝，∴圆的方程为（x－1）2＋（y－1）2＝2.]

2．圆（x－1）2＋（y－2）2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为________.

【导学号：

62172247】

（x－2）2＋（y－1）2＝1　[（1,2）关于直线y＝x对称的点为（2,1），∴圆（x－1）2＋（y－2）2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为（x－2）2＋（y－1）2＝1.]

3．圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为________．

　[圆的方程可化为（x－1）2＋（y＋2）2＝2，则圆心坐标为（1，－2）．

故圆心到直线x－y－1＝0的距离d＝＝.]

4．已知圆（x－2）2＋（y＋1）2＝16的一条直径通过直线x－2y＋3＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为________．

2x＋y－3＝0　[易知圆心坐标为（2，－1）．

由于直线x－2y＋3＝0的斜率为，

∴该直径所在直线的斜率k＝－2.

故所求直线方程为y＋1＝－2（x－2），即2x＋y－3＝0.]

5．若圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆O的方程是________．

（x＋5）2＋y2＝5　[设圆心为（a,0）（a＜0），

则r＝＝，解得a＝－5，

所以圆O的方程为（x＋5）2＋y2＝5.]

6．经过原点并且与直线x＋y－2＝0相切于点（2,0）的圆的标准方程是________.【导学号：

62172248】

（x－1）2＋（y＋1）2＝2　[设所求圆的圆心为（a，b）．