最新高考数学试题及答案辽宁优秀名师资料.docx

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最新高考数学试题及答案辽宁优秀名师资料

2005年高考数学试题及答案（辽宁）

数学

本试卷分第?

卷（选择题）和第?

卷（非选择）题两部分，满分150分.考试用时120分钟.

第?

卷（选择题，共60分）参考公式：

如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式

2P（A+B）=P（A）+P（B）S,4,R

如果事件A、B相互独立，那么

P（A?

B）=P（A）?

P（B）其中R表示球的半径

如果事件A在一次试验中发生的概率是球的体积公式

4P，那么n次独立重复试验中恰好发生k3,,VR球3

kkn,k次的概率P（k）,CP（1,P）其中R表示球的半径nn

一、选择题：

本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1，i1．复数在复平面内，z所对应的点在（）z,,1.1，i

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．极限x,xlimf（x）存在是函数f（x）在点处连续的（）0x,x0

A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件

C．充要条件D．既不充分也不必要的条件3．设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为

（）

46644664C,CC,CC,CC,CA．8010801080208020B．C．D．10101010CCCC100100100100

4．已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命

题：

?

若m,,,m,,,则,//,,,,,,,,,则,//,；?

若；

?

若m,,,n,,,m//n,则,//,；

m,,,m//,,n,,,n//,,则,//,

其中真命题是（）

?

若m、n是异面直线，A．?

和?

B．?

和?

C．?

和?

D．?

和?

25．函数的反函数是（）y,ln（x，x，1

x,xx,xx,xx,xe，ee，ee,ee,eA．y,y,,y,y,,B．C．D．2222

21，a6．若log,0a，则的取值范围是（）2a1，a

111A．B．C．D．（1,，,）（,，,）（0,）（,1）222

7．在R上定义运算x若不等式对任意实数成立，,:

x,y,x（1,y）.（x,a）,（x，a）,1

则（）

1331A．B．C．D．,,a,,,a,,1,a,10,a,222228．若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的范

围是（）

A．（1，2）B．（2，+?

）C．[3，+?

D．（3，+?

））

229．若直线x，y,5按向量平移后与圆相切，则c的值为（）2x,y，c,0a,（1,,1）

A．8或－2B．6或－4C．4或－6D．2或－8

x，,x1210．已知x,x1,,,,,a,是定义在R上的单调函数，实数，y,f（x）121，,

xx，,21|f（x）,f（x）|,|f（,）,f（,）|,,，若，则（）121，,

A．B．C．D．,,0,,00,,,1,,1

211．已知双曲线的中心在原点，离心率为y,4x3.若它的一条准线与抛物线的准线重合，

2则该双曲线与抛物线y,4x的交点到原点的距离是（）

A．2362118，122+B．C．D．21

12．一给定函数a,（0,1）a,f（a）y,f（x）的图象在下列图中，并且对任意，由关系式得到的数列n，1n1*{a}a,a（n,N）满足，则该函数的图象是（）n，nn1

第?

卷（非选择题共90分）ABCD

二、填空题：

本大题共4小题，每小题4分，共16分.

11,n2213．（x,2x）的展开式中常数项是.14．如图，正方体的棱长为1，C、D分别是两条棱的中点，

A、B、M是顶点，那么点M到截面ABCD的距离是.15．用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，

5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有个.（用数字作答）．

16．,S,{,|f（x）,cos[,（x，,）]aS,（a,a，1）是正实数，设是奇函数}，若对每个实数，的元素,,

不超过2个，且有a,S,（a,a，1）使含2个元素，则的取值范围是.,

三、解答题：

本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

已知三棱锥P—ABC中，E、F分别是AC、AB的中点，?

ABC，?

PEF都是正三角形，PF?

AB.

（?

）证明PC?

平面PAB；

（?

）求二面角P—AB—C的平面角的余弦值；

（?

）若点P、A、B、C在一个表面积为12π的

球面上，求?

ABC的边长.

18．（本小题满分12分）

如图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中

y,x,0.

（?

）将十字形的面积表示为的函数；,

（?

）为何值时，十字形的面积最大？

最大面积是多少？

19．（本小题满分12分）x，3{aa,1,a,f（a）{b设数列}满足，数列}满足f（x）,（x,,1）.n1n，1nn已知函数x，1

*b,|a,3|,S,b，b，？

，b（n,N）.12nnnn

n,（31）（?

）用数学归纳法证明,b；nn,12

23（?

）证明S,.n3

20．（本小题满分12分）

某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互.对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为独立，每道工序的加工结果均有A、B两个等级一等品，其余均为二等品.

工序（?

）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结概第一工序第二工序率果为A级的概率如表一所示，分别求生产产品出的甲、乙产品为一等品的概率P、P；甲乙甲0.80.85

（?

）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、乙0.750.8

η分别表示一件甲、乙产品的利润，在等级（I）的条件下，求ξ、η的分布列及利一等二等润Eξ、Eη；产品（?

）已知生产一件产品需用的工人数和资金额甲5（万元）2.5（万元）如表三所示.该工厂有工人40名，可用资.乙2.5（万元）1.5（万元）金60万元.设x、y分别表示生产甲、乙产

品的数量，在（II）的条件下，x、y为何项目用值时，工人（名）资金（万元）量最大？

最大值是多少？

z,xE,，yE,产品

（解答时须给出图示）甲88

乙210

21．（本小题满分14分）22xy，,1（a,b,0）的左、右焦点分别是F（－c，0）、F（c，0），Q是椭圆外的动点，1222ab已知椭圆

满足点P是线段FQ与该椭圆的交点，点T在线段FQ上，并且满足|FQ|,2a.PT,TF,0,|TF|,0.12122

c（?

）设x为点P的横坐标，证明；|FP|,a，x1a

（?

）求点T的轨迹C的方程；

（?

）试问：

在点T的轨迹C上，是否存在点M，

2使?

FMF的面积S=若存在，求?

FMFb.1212

的正切值；若不存在，请说明理由.

22．（本小题满分12分）,,在区间（0，+?

）内可导，导函数是减函数，且设y,f（x）f（x）f（x）,0.

函数

x,（0,，,）,y,kx，mx,f（x）是曲线在点（）得的切线方程，并设函数y,f（x）g（x）,kx，m.000

（?

）用,xf（x）f（x）、、表示m；000

（?

）证明：

当x,（0,，,）时,g（x）,f（x）；0

2323（?

）若关于xx，1,ax，b,x在[0,，,）的不等式上恒成立，其中a、b为实数，2

求b的取值范围及a与b所满足的关系.

说明：

一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法

与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。

二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，

可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答

有较严重的错误，就不再给分。

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。

一、选择题：

本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.

1.B2.B3.D4.D5.C6.C7.C8.B9.A10.A11.B12.A

二、填空题：

本题考查基本知识和基本运算。

每小题4分，满分16分。

215．57616．（,,2,]13．－16014．3

三、解答题

17．本小题主要考查空间中的线面关系，三棱锥、球的有关概念及解三角形等基础知识，考

查空间想象能力及运用方程解未知量的基本方法，满分12分.

（?

）证明：

连结CF.

11？

PE,EF,BC,AC,？

AP,PC.22

？

CF,AB,PF,AB,？

AB,平面PCF.

？

PC,平面PCF,？

PC,AB.？

PC,平面PAB.……4分

（?

）解法一：

？

AB,PF,AB,CF,

a3为所求二面角的平面角.设AB=a，则AB=a，则？

，PFCPF,EF,,CF,a22

a

32？

cos，PFC,,.……………………8分33a2

解法二：

设P在平面ABC内的射影为O.,PAE,？

PAB?

?

？

PAF,PAC.

得PA=PB=PC.于是O是?

ABC的中心.为所求二面角的平面角.？

，PFO

a13OF3PF,,OF,,a.？

cos，PFO,,.…………8分232PF3设AB=a，则（?

）解法一：

设PA=x，球半径为R.？

PC,平面PAB,PA,PB,

2？

3x,2R.？

4,R,12,？

R,3.得x,2.？

ABC，的边长为.………12分22解法二：

延长PO交球面于D，那么PD是球的直径.

连结OA、AD，可知?

PAD为直角三角形.设AB=x，球半径为R.

6232？

4,R,12,,？

PD,23.？

PO,OFtan，PFO,x,OA,,x,6323662？

（x）,x（23,x）.于是x,22.？

ABC的边长为22.……12分366

18．本小题主要考查根据图形建立函数关系、三角函数公式、用反三角函数表示角以及解和三角函数有关的极值问题等基础知识，考查综合运用三角函数知识的能力.满分12分.

2（?

）解：

设S为十字形的面积，则S,2xy,x

,2………………4分,2sincos,cos（,,）.,,,,42

11512（?

）解法一：

S,2sin,cos,,cos,,sin2,,cos2,,,sin（2,,,）,,2222

25其中………8分当最大.……10分,,arccos.sin（2,）,1,即2,,时,S,,,,52

125,5,1所以，当,，arccos时,S.,最大.S的最大值为…………12分2425

222解法二：

因为,所以S,2sin,cos,,cos,,S,2cos,,2sin,，2sin,cos,

……………………8分,2cos2,，sin2,.

令S′=0，即2cos2,，sin2,,0,

1可解得………………10分,，arctan（,2）,22

15,1所以，当.时，S最大，S的最大值为…………12分,，arctan（,2）,222

19．本小题主要考查数列、等比数列、不等式等基本知识，考查运用数学归纳法解决有关问题的能力，满

分12分。

2（?

）证明：

当因为a=1，x,0时,f（x）,1，,1.1x，1

所以a,1（n,N*）.………………2分n

n,（31）,b.nn,12

下面用数学归纳法证明不等式

（1）当n=1时，b3,1=，不等式成立，1

k,（31）

（2）假设当n=k时，不等式成立，即,b.kk,12

（3,1）|a,3|k那么………………6分b,|a,3|,,1，1kk1，ak

k，131（31）,,b.,,kk22

所以，当n=k+1时，不等也成立。

根据

（1）和

（2），可知不等式对任意n?

N*都成立。

…………8分

n,（31）（?

）证明：

由（?

）知，,b.nn,12

2n（31）（31）,,所以（31）Sbb？

b？

，，，,,，，，n12nn,122

n3,11,（）122…………10分,（3,1）,,3.,（3,1）,33,13,11,1,22

2,故对任意………………（12分）n,N,S,3.n3

20．（本小题主要考查相互独立事件的概率、随机变量的分布列及期望、线性规划模型的建立与求解等基础知识，考查通过建立简单的数学模型以解决实际问题的能力，满分12分.

（?

）解：

P,0.8，0.85,0.68,P0.75，0.8,0.6.…………2分乙甲

（?

）解：

随机变量、的分别列是,,

,2.51.552.5

P0.60.4P0.680.32

E,,5，0.68，2.5，0.32,4.2,E,,2.5，0.6，1.5，0.4,2.1.…………6分

5x，10y,60,,,8x，2y,40,,目标函数为……8分z,xE,，yE,,4.2x，2.1y.,x,0,,,y,0.（?

）解：

由题设知,

作出可行域（如图）：

作直线4.2x，2.1y,0,l:

将l向右上方平移至l位置时，直线经过可行域上1

的点M点与原点距离最大，此时…………10分z,4.2x，2.1y

5x，10y,60,,取最大值.解方程组,8x，2y,40.,

得即时，z取最大值，z的最大值为25.2.……………12分x,4,y,4.x,4,y,4

21．本小题主要考查平面向量的概率，椭圆的定义、标准方程和有关性质，轨迹的求法和应

用，以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分14分.（?

）证法一：

设点P的坐标为（x,y）.

由P在椭圆上，得（x,y）

2b22222|FP|,（x，c），y,（x，c），b,x12a

c2,（a，x）.a

cc由，所以………………………3分x,a,知a，x,,c，a,0|FP|,a，x.1aa证法二：

设点P的坐标为记（x,y）.|FP|,r,|FP|,r,1122

2222则r,（x，c），y,r,（x，c），y.12

c22由r，r,2a,r,r,4cx,得|FP|,r,a，x.121211a

c证法三：

设点P的坐标为椭圆的左准线方程为（x,y）.a，x,0.a

2cac|FP|c由椭圆第二定义得，即1|FP|,|x，|,|a，x|.1,2acaaa|x，|c

cc由，所以…………………………3分x,,a,知a，x,,c，a,0|FP|,a，x.1aa（?

）解法一：

设点T的坐标为（x,y）.

aa时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.|PT|,0

当|时，由，得.PT|,0且|TF|,0|PT|,|TF|,0PT,TF当222

又，所以T为线段FQ的中点.|PQ|,|PF|22

1222在?

QFx，y,a.F中，，所以有|OT|,|FQ|,a1212

222综上所述，点T的轨迹C的方程是x，y,a.…………………………7分

解法二：

设点T的坐标为aa当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.（x,y）.|PT|,0

当|时，由，得.PT|,0且|TF|,0PT,TF,0PT,TF222

又，所以T为线段FQ的中点.|PQ|,|PF|22

x，c,x,,,设点Q的坐标为（,,,2），则x,y,,y,y,.,2,

x,2x,c,,因此?

,y,2y.,

222由,,（x，c），y,4a.得?

|FQ|,2a1

222将?

代入?

，可得x，y,a.

222综上所述，点T的轨迹C的方程是x，y,a.……………………7分

2（?

）解法一：

C上存在点M（x,y）使S=的充要条件是b00

222,xya，,,00?

,12cyb,2||,.0,2,?

22b2b由?

得|y|,a||.，由?

得所以，当时，存在点M，使S=；by0,,a0cc

2b当时，不存在满足条件的点M.………………………11分,ac

2b当时，，MF,（,c,x,,y）,MF,（c,x,,y）,a100200c

222222由，MF,MF,x,c，y,a,c,b1200

，MF,MF,|MF|,|MF|cos，FMF121212

12tan，FMF,2.，得S,|MF|,|MF|sin，FMF,b1212122

2解法二：

C上存在点M（x,y）使S=的充要条件是b00

222,xya，,,00,,12cyb,2||,.?

0,2,

?

2422bbbb22由?

得||.上式代入?

得0y,x,a,,（a,）（a，）,0.02cccc

22b于是，当时，存在点M，使S=；b,ac

2b当时，不存在满足条件的点M.………………………11分,ac

2yyb00当时，记，,,ak,k,k,k,FMFM1212cx，cx,c00

k,k由|FF|,2a,，FMF,90:

知，所以…………14分12tan，FMF,||,2.1212121，kk1222．本小题考查导数概念的几何意义，函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判断函数之间

的大小关系.考查学生的学习能力、抽象思维能力及综合运用数学基本关系解决问题的能力.满分12分

（?

）解：

m,f（x）,xf（x）.…………………………………………2分000

（?

）证明：

令,,,,h（x）,g（x）,f（x）,则h（x）,f（x）,f（x）,h（x）,0.00

因为,,,x,x时,h（x）,0递减，所以递增，因此，当；f（x）h（x）0

当,x,x时,h（x）,0x.所以是唯一的极值点，且是极小值点，可知的h（x）h（x）00

最小值为0，因此h（x）,0,即g（x）,f（x）.…………………………6分

（?

）解法一：

，是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.0,b,1a,0

22x，1,ax，b,即x,ax，（1,b）,0对任意成立的充要条件是x,[0,，,）

12a,2（1,b）.

233另一方面，由于满足前述题设中关于函数y,f（x）的条件，利用（II）的结果可知，f（x）,x2

223333a的充要条件是：

过点（0，）与曲线相切的直线的斜率大于，该切线的方程为bax，b,xy,x22

1,2y,（2b）x，b.

1223于是3的充要条件是…………………………10分a,（2b）.ax，b,x2

2323对任意成立的充要条件是x,[0,，,）x，1,ax，b,x2

11综上，不等式,22?

（2b）,a,2（1,b）.

11,22显然，存在a、b使?

式成立的充要条件是：

不等式?

（2b）,2（1,b）.

2,22，2有解、解不等式?

得?

b,.44

因此，?

式即为b的取值范围，?

式即为实数在a与b所满足的关系.…………12分

（?

）解法二：

是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.0,b,1,a,0

22x，1,ax，b,即x,ax，（1,b）,0对任意成立的充要条件是x,[0,，,）

12………………………………………………………………8分a,2（1,b）.

223333令,，于是对任意成立的充要条件是x,[0,，,）（x）,ax，b,xax，b,x22

1,,33,,（x）,a,x,0得x,a.由,（x）,0.

3,3,3当,,时当时，，所以，当时，取最小值.因此,（x）,0;,（x）,0,（x）,（x）,00,x,ax,ax,a

1,,32a,（2b）.,（a）,0成立的充要条件是，即………………10分

2323综上，不等式对任意成立的充要条件是x,[0,，,）x，1,ax，b,x2

11,22?

（2b）,a,2（1,b）.

11,22显然，存在a、b使?

式成立的充要条件是：

不等式?

（2b）,2（1,b）

2,22，2有解、解不等式?

得,b,.44

因此，?

式即为b的取值范围，?

式即为实数在a与b所满足的关系.…………12分