与角度有关的计算的讲义.docx

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与角度有关的计算的讲义

与角度有关的计算

一：

角的概念以及度分秒的换算

1．有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点就是角的顶点，这两条射线是角的两条边。

角通常用三个字母及符号“∠”来表示，在不引起混淆的情况下，角还可以用它的顶点字母来表示．

2．用量角器测量角度时一定要做到两对齐：

量角器的中心和角的顶点对齐、量角器的0刻度线和角的一条边对齐．

3．角的常用度量单位是度、分、秒．

1°的为1分，记作1′，即1°=60′．

1′的为1秒，记作1″，即1′=60″．

例题：

1.下列四个图中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的是（　　）

A.

B.

C.

D.

练习：

1．能用∠α、∠AOB、∠O三种方式表示同一个角的图形是（　　）

A．

B．

C．

D．

2．在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西54°的方向，同时轮船B在南偏东15°的方向，那么∠AOB的大小为（　　）

A．69°B．111°C．141°D．159°

3．如图，在一次活动中，位于A处的1班准备前往相距5km的B处与2班会合，那么用方向和距离描述2班相对于1班的位置是（　　）

A．南偏西50°，5kmB．南偏西40°，5km

C．北偏东40°，5kmD．北偏东50°，5km

4．54.27°可化为（　　）

A．54°16′26″B．54°28′C．54°16′15″D．54°16′12″

5．下列计算错误的是（　　）

A．0.25°=900″B．125.45°=12545′C．1000″=（

）°D．1.5°=90′

二：

角平分线的定义

1.从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

2.尺规作图，作∠AOB的平分线的方法：

（1）以点O为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角AOB两边于点M，N。

（2）分别以点M，N为圆心，以大于1/2MN的长度为半径画弧，两弧交于点P。

（3）作射线OP。

例题：

1.已知∠AOB=20°，∠AOC=4∠AOB，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，则∠MOD的度数是________

练习：

1．已知：

如图，∠AOB=

∠AOC，∠COD=∠AOD=120°，求：

∠COB的度数．

2．如图，已知∠AOC=∠BOD=70°，∠BOC=31°，求∠AOD的度数．

3．如图，已知OE是∠AOC的角平分线，OD是∠BOC的角平分线．

（1）若∠AOC=120°，∠BOC=30°，求∠DOE的度数；

（2）若∠AOB=90°，∠BOC=α，求∠DOE的度数．

4．如图，点O是直线AB上一点，OC平分∠AOD，∠AOE=

∠DOE．

（1）若∠AOC=35°，求∠BOD的度数；

（2）若∠COE=80°，求∠BOD的度数．

三：

余角和补角

1.如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角.∠A+∠C=90°,∠A=90°-∠C,∠A与∠C互余；

余角的性质：

同角的余角相等。

比如：

∠A+∠B=90°,∠A+∠C=90°,则：

∠C=∠B。

等角的余角相等。

比如：

∠A+∠B=90°,∠D+∠C=90°,∠A=∠D则：

∠C=∠B。

2.如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角

∠A+∠C=180°,∠A=180°-∠C,∠A与∠C互补；

补角的性质：

同角的补角相等。

比如：

∠A+∠B=180°,∠A+∠C=180°,则：

∠C=∠B。

等角的补角相等。

比如：

∠A+∠B=180°,∠D+∠C=180°,∠A=∠D，则：

∠C=∠B。

例题：

1.如图，点A、B、O在同一条直线上，∠COE和∠BOE互余，射线OF和OD分别平分∠COE和∠BOE，则∠AOF+∠BOD与∠DOF的关系是__________

练习：

1．如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列方式中∠α与∠β互余的是（　　）

A．图①B．图②C．图③D．图④

2．如图1，已知∠MON=140°，∠AOC与∠BOC互余，OC平分∠MOB，

（1）在图1中，若∠AOC=40°，则∠BOC=　　°，∠NOB=　　°．

（2）在图1中，设∠AOC=α，∠NOB=β，请探究α与β之间的数量关系（必须写出推理的主要过程，但每一步后面不必写出理由）；

（3）在已知条件不变的前提下，当∠AOB绕着点O顺时针转动到如图2的位置，此时α与β之间的数量关系是否还成立？

若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出此时α与β之间的数量关系．

3．如图，O，D，E三点在同一直线上，∠AOB=90°．

（1）图中∠AOD的补角是，∠AOC的余角是；

（2）如果OB平分∠COE，∠AOC=35°，请计算出∠BOD的度数．

4．已知：

∠AOB的补角等于它的余角的6倍．

（1）求∠AOB的度数；

（2）如图，OD平分∠BOC，∠AOC=2∠BOD，求∠AOD的度数．

5．如图，已知∠AOB=90°，∠COD=90°，OE为∠BOD的平分线，∠BOE=17°18′，求∠AOC的度数．

四：

对顶角和邻补角

1.如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角。

对顶角的性质：

对顶角相等。

2.两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角。

邻补角的性质：

（1）一个角与它的邻补角的和等于180°；

（2）如果两个角互为邻补角，那么它们的角平分线互相垂直。

例题：

1.如图所示，直线AB交CD于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∠AOD：

∠BOE=4：

1，则∠AOF=______

练习：

1．已知，直线AB和直线CD交于点O，∠BOD是它的邻补角的3倍，则直线AB与直线CD的夹角是度．

2．

（1）两条直线相交于一点有2组不同的对顶角；

（2）三条直线相交于一点有6组不同的对顶角；

（3）四条直线相交于一点有12组不同的对顶角；

（4）n条直线相交于同一点有_____组不同对顶角．（如图所示）

3．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD．

①若∠AOC=68°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数；

②若OF平分∠COE，∠BOF=15°，若设∠AOE=x°，求∠EOF的度数．

综合练习：

1.如图，直线a、b相交于点O，将量角器的中心与点O重合，发现表示60°的点在直线a上，表示138°的点在直线b上，则∠1=_______°．

2.如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD=140°，∠COE=20°，则∠BOE=　________°．

3.一个角的补角为158°12′，那么这个角的余角等于__________．

4.如图，∠AOB=90°，OC平分∠AOB，OE平分∠AOD，若∠EOC=60°，则∠BOD=__________．

5.一个角的补角加上14°，等于这个角的余角的5倍，这个角的度数是　________．

6如图，直线AB、CD相交于点O，∠BOF=∠DOE=90°，∠DOF=58°，则∠BOE=________，∠AOC=________．

7.计算：

（1）48°39′+67°31′﹣21°17′；

（2）23°53′×3﹣107°43′÷5．

8.如图，已知OE是∠AOC的角平分线，OD是∠BOC的角平分线．

（1）若∠AOC=120°，∠BOC=30°，求∠DOE的度数；

（2）若∠AOB=90°，∠BOC=α，求∠DOE的度数．

9.如图，直线AB上有一点O，射线OD在直线AB上方且不与OA、OB重合，OC平分∠AOD，OE平分∠BOD

（1）当∠AOD=70°时，∠DOE=_______°；

（2）当∠AOD=100°时，求：

∠DOE、∠COE的度数；

（3）直接写出，当∠AOD=x°时，∠COD与∠DOE之间满足的关系．