基于主元分析的传感器故障诊断与重构方法剖析.ppt

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2.1引言现代化工过程通常都装有大量的测量传感器，如温度、流量和压力传感器等。

一些测量传感器会用于闭环控制，而另外一些传感器只用于过程监测。

在正常条件下，大多数传感器得到的测量值是高度相关的。

因此，这就为传感器的故障诊断提供了宝贵的解析冗余。

这些测量值的相关性主要源于支配过程运行的物理与化学原理，如：

质量与能量平衡等。

第2章基于主元分析的传感器故障诊断与重构方法,单变量和多变量的统计过程控制技术可用于检测如下的传感器异常：

（1）异常测量值这种情况主要是由于传感器的故障引起的。

2.1引言,

（2）多个传感器偏离正常的相关条件在正常条件下，过程的测量值通常表现出较强的相关性。

这些测量相关性为我们提供了必要的冗余，可用于故障传感器的检测、辨识与重构。

这可以通过比较过程的测量值与基于标称模型的估计值之间的差别来实现。

可以采用统计方法来建立过程的标称模型，如；主元分析方法（principlecomponentanalysisPCA）以及部分最小二乘（partialleastsquaresPLS）算法等。

2.1引言,（3）被监测过程的瞬态变动所不期望的测量瞬态变动，例如：

振荡、或者在批处理过程中的不寻常的趋向性，是由于非正常的操作条件引起的。

检测这类异常通常采用的是动态统计模型，或卡尔曼滤波器。

出于安全方面的原因，大多数化工过程的反应都比较缓慢。

这类瞬态变动可以看成是伪稳态。

因而可近似采用稳态的相关分析方法来进行处理。

采用一些滤波技术也可以进一步减弱瞬态变动的影响。

2.1引言,采用主元分析进行过程监测与故障检测是近年来才发展起来的。

由于数据的相关性，一些主要的分量就可以充分描述全部数据的方差。

基于主元分析可以区分如下（4）和（5）两类异常条件。

（4）传感器相关故障在这种情况下，PCA模型被破坏增加。

残余向量的欧氏范数将会显著增加。

（5）变动过大用于描述操作变化的变量超过了正常的范围。

某一故障传感器通常会破坏与其他传感器的正常的相关性。

当异常条件被检测到以后，此特性可用于故障传感器的辨识。

2.1引言,本章将致力于探讨基于测量相关性来辨识故障传感器，以及故障传感器的重构问题。

我们假定，同时只有一个传感器发生故障。

因此，剩余的传感器可以用于故障传感器的重构。

这样就可以一个接一个地对所有的传感器进行校验。

本章在线性PCA模型的范畴内，将从物理意义的角度，对传感器故障的检测、辨识与重构问题进行讨论与分析。

本章还将进一步探讨不同的传感器故障在残差序列中的传播问题。

本章主要内容,基于对传感器故障最敏感的残差序列，本章还提出了一个传感器“有效度”（sensorvalidityindexSVI）指标，用于传感器故障的辨识。

此有效度指标可用于区分异常操作条件与单个传感器的故障。

此SVI指标在线实现时，还需附加一个滤波器，以减少误报。

为此，本章还提出一个SVI的指数加权移动平均（exponentiallyweightedmovingaverageEWMA）表达式，用于滤掉瞬态变动与噪声的影响，并且辨识出不同类型的传感器故障。

本章主要内容,本章只考虑四种类型的传感器故障，即：

偏差、彻底失效、漂移、精度下降。

图22给出了这四种故障的示意图。

本章主要内容,2.2.1主元分析（PCA）主元分析（PCA）以及部分最小二乘（PLS）算法都是多变量统计方法，可用于对含有噪声的和高度相关的测量数据进行分析。

采用的是把高维信息投影到低维子空间，并保留主要过程信息的方法。

PCA主要是用于描述单个数据矩阵中的数据的变动情况。

PCA首先计算出一个向量称作第1主元（PC1），用于描述数据最大的变动方向。

第2主元（PC2）与第1主元正交，描述了剩余变动中的最大方向。

2.2基于主元分析的故障检测,2.2.1主元分析（PCA）一般地说，利用主元分析得到的主元和原始变量之间有如下基本关系：

（1）每个主元都是原始变量的线性组合。

（2）主元的数目小于原始变量的数目。

（3）主元保留了原始变量绝大多数信息。

（4）各主元之间互不相关。

2.2基于主元分析的故障检测,2.2.1主元分析（PCA）下面从几何意义方面说明主元分析方法的基本思想。

以二维空间为例，假设有N个样品，每个样品有2个变量x1，x2，他们大致分布在一个椭圆内，如图,2.2基于主元分析的故障检测,2.2.1主元分析（PCA）由图可以看出这N个样品无论沿x1轴方向还是沿x2轴方向均有较大的离散性，其离散程度可以分别用变量x1的方差和x2的方差定量的表示。

显然，在坐标系X10X2中，N个点的坐标x1和x2呈现某种相关性。

下面，对此坐标系进行旋转，旋转角度为。

旋转后的坐标系为Y10Y2，坐标旋转公式如下：

2.2基于主元分析的故障检测,2.2.1主元分析（PCA）坐标轴y1对应着椭圆的长轴，坐标轴y2对应着椭圆的短轴，在旋转后的坐标系中，y1和y2彼此之间包含的信息不重叠，且N个样本点在y1轴上的离散程度最大，方差最大，变量y1代表的样本信息最多。

将新变量y1定义为第一主元，y1包含了系统的大部分信息；而将y2定义为第二主元，y2包含的信息较少，在某种程度上，可以抛弃，仅用y1来描述系统。

这样，就实现了用较少的变量代表系统绝大部分信息的目的。

2.2基于主元分析的故障检测,2.2.1主元分析（PCA）类似的，由二维空间推广到m维空间。

主元分析的过程就是坐标系旋转的过程，变换前后，系统的总方差不变，但是方差进行了重新分布。

在新坐标系中，第一坐标轴对应着方差最大的方向，第一坐标轴表示的是第一主元变量，第二坐标轴与第一坐标轴正交，并对应着方差第二大的方向，第二坐标轴表示第二主元变量，依次类推。

若舍弃少量信息，用主元y1、y2，yl（lm）就能非常好的反映系统的相关性，而且，系统向量由m维降到l维。

这就是主元分析的两大功能：

提取变量之间的相关性和降低测量向量的维数。

2.2基于主元分析的故障检测,2.2.1主元分析（PCA）设对某一系统的研究涉及m个变量，分别用x1，x2，xm表示，这m个变量构成的m维随机向量为X=（x1，x2，xm）。

记其随机向量X的均值和协方差分别为：

2.2基于主元分析的故障检测,根据前面的论述，主元分析法就是要构造X的线性组合Y：

2.2.1主元分析（PCA）,2.2基于主元分析的故障检测,Y=y1,y2,ym也是m维的向量，L=l1,l2,lm为变换矩阵。

据随机变量的变换性质，显然有：

2.2.1主元分析（PCA）,2.2基于主元分析的故障检测,如果满足下列条件：

（1）y1、y2、ym互不相关，包含的信息互不重叠，即：

（2）y1、y2、ym对应的方差依次减小，即,2.2.1主元分析（PCA）,2.2基于主元分析的故障检测,（3）为了避免var（yi）任意增大，对li加以限制，使得,因此，主元分析法就是寻求l，使得变换满足以上三个条件。

设的特征值为11m，p1，p2，pm为对应的标准正交特征向量，根据矩阵分解定理可知：

2.2.1主元分析（PCA）,2.2基于主元分析的故障检测,式中P=（p1，p2，pm）为对应的标准正交矩阵，当li=pi时满足上述

（1）、

（2）、（3）的条件。

2.2.1主元分析（PCA）,2.2基于主元分析的故障检测,所以，第i个主元yi：

用矩阵的形式表示为：

因为P是单位正交矩阵，所以有,2.2.1主元分析（PCA）,2.2基于主元分析的故障检测,如果取前l个作为主元，并规定：

通常，为了避免变量的不同量纲的影响，需首先对数据进行标准化处理，即将各个变量转化为均值为0，方差为1的数据，标准化后的数据矩阵为其中，1n是所有元素都为1的n行列向量，u=u1,u2umT，分别为数据的均值向量和方差矩阵。

此时样本的相关系数矩阵（即协方差矩阵）的估计值为。

2.2基于主元分析的故障检测,从主元定义中可以看出，主元处理的数据压缩法其实是数据集X的协方差阵的谱分解过程。

设11m0为的顺序排列的特征值，采样PCA方法对标准化后的数据矩阵可进行如下分解。

2.2基于主元分析的故障检测,通常，一个标称的nm维的数据矩阵X可以分解为：

2.2.1其中，表示X的模型值，E表示建模误差。

和E可以表示成如下形式：

2.2基于主元分析的故障检测,2.2基于主元分析的故障检测,PCA模型的原始变量空间被划分为两个正交互补的子空间，其中由特征向量所构成的子空间为主元子空间，其正交补空间为残差子空间。

2.2.4,为样本矩阵在主元子空间的投影，代表已建模的部分；E为样本矩阵在残差子空间的投影，代表未建模的部分。

主元子空间衡量的是正常数据的变化，残差子空间衡量的是非正常数据比如噪声的扰动变化。

2.2基于主元分析的故障检测,2.2.3,2.2.2,其中，lm为主元的个数；T和P分别表示得分（score）和负载（loading）矩阵。

显然有：

T=t1t2tl,P=p1p2pl,Te=tl+1tl+2tm,Pe=pl+1pl+2pm。

p1，p2pl为的前l个正交特征向量，Pe的列向量则分别是剩下的m-l个特征向量。

T各列为主元变量，主元的协方差阵为,2.2.1主元分析（PCA）,2.2基于主元分析的故障检测,主元个数的确定方法:

目前在主元个数的选择上，有两种比较普遍的方法，一种使主元回归检验法，一种是主元贡献率累积和百分比法（CPV）。

下面分别介绍这两种方法。

（1）主元回归检验法主元回归法的思想是使得主元模型中的误差的平方和最小。

模型形式可以用下式表达：

2.2.1主元分析（PCA）,2.2基于主元分析的故障检测,其中Y是一个n1的向量，X为nm的数据阵，为m1的向量，E为n1的向量,代表模型误差。

当寻求最佳模型参数时，其目标是使模型误差的平方和最小，即使得E中的各个元素的平方和为最小。

因此，可以把最佳模型参数的过程表达为下面的优化问题：

设,2.2.1主元分析（PCA）,2.2基于主元分析的故障检测,当目标函数J达到最小时，J对的偏导数应该为0。

将X=TlPlT带入，则可以通过调节主元个数l来优化参数使得目标函数最小，从而使得模型值最佳，此时的l就是最佳主元个数。

2.2.1主元分析（PCA）,2.2基于主元分析的故障检测,

（2）主元贡献率累积和百分比法（CPV）,在求取数据样本主元时，可以发现数据的降维过程也就是使数据在其协方差阵对应的特征向量上变动的过程。

如何选择合适的主元个数其实就是进行数据降维时的一个“量”和“度”的问题，“量”是指如何计算每一个主元在整个样本中所占的比重；“度”是指当量积累到多少时可以认为这些主元已经能概括出原有变量所提供的信息。

由此引出了一个方差贡献率的概念。

2.2.1主元分析（PCA）,2.2基于主元分析的故障检测,为第i个主元的方差贡献率，其中i为第i个主元的方差，在实际计算时等价的可以取数据样本的协方程阵的特征值i来代替计算。

称为前l个主元的累计方差贡献率。

因此降维后的主元个数l的大小就可以通过累计方差贡献率来确定。

一般情况下取l使得累计贡献率达到85以上即可。

2.2基于主元分析的故障检测,主元分析法的建模过程如下:

1.采集正常工况下的观测数据集X=（xij）nm其中包含m个观测变量，每个变量有n个观测值。

2.将矩阵X进行标准化，在实际的工业过程中，不同的变量可能具有不同的量纲，为了消除不同量纲之间的相互影响，在进行主元分析之前要对数据进行标准化处理，标准化后的数据矩阵为,其中，1n是所有元素都为1的n行列向量，u=u1,u2um，分别为数据的均值向量和方差矩阵。

2.2基于主元分析的故障检测,3.根据采集的样本数据估计标准化后的数据矩阵X的协方差矩阵:

4.求协方差矩阵的m个特征值11m，以及所对应的单位特征向量pl，p2，pm。

有,5.确定主元的个数,6.求主元得分矩阵,则可得到主