弹性力学试题及标准答案样本.docx
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弹性力学试题及标准答案样本
弹性力学与有限元分析复习题及其答案
一・填空题
k弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力.形变和位移。
2、在弹性力学中规定，线应变以雌时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。
3、在弹性力学中规定，切应变以育角变小时为正，变左时为负，与切应力的正负号规定相适应。
4、物体受外力以后，其内部将发生内力,它的集度称为应力。
与物体的形变和材料强度直接有关的，杲应力在其作用截面的法线方向和切线方宜的分量，也棘杲正应力和切应力。
应力及其分量的量纲是
5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性.均匀性、各向同性。
6、平面冋题分为平面应力冋题和平面应变冋题°
7、己知一点处的应力分量6=100MPa,6=50MPa,心.=10何MPa,则主应力（7,=150MPa,8、己知一点处的应力分量，6=200MPa,crv=0MPa,乙广-400MPa,则主应力6=512MPa,6—312MPa,a.=-37°57zo
9、已知一点处的应力分量，o-r=-2000MPa,10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条
件，分别建立三套方程。
11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为壬衡微分方程。
12、边界条件表示边界上位移与约束,或应力与面力之间的关系式。
分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。
13、按应力求解平面冋题时常采用逆解法和半逆解法。
14、有限单元法首先将连续体变换成为融化结狗，然后再用结构力学位移法讲行求解。
其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。
15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：
—部分杲由本单元的形变引起的，异一部分是由于其它单元发生了形变而连带引起的。
16、每个单元的应变一般总是包含着两部分：
一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，杲各点不相同的，即所谓变量应变;号一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。
17、为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变,还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。
18、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数,为了使得相邻单元的位移保持连续，就不但要使它们在公共结点外具有相同的位移吋,也能在整个公共边界上具有相同的位移。
19、在有限单元法中，单元的形函数M在i结点在其它结点及£M=lo
20、为了提高有限单元法分析的精度，一般能够采用两种方法：
—是将单元的尺寸减小,以便较好地反映位移和应力变化情况；二杲采用句含
更高次项的位移模式,使位移和应力的精度提高。
2.判断题（请在正确命题后的括号内打”丿”，在错误命题后的括号内打”X”）
1、连续性假定杲指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。
（丿）
5、如果某一问题中，只存在平面应力分量crv,Txy,且它们不沿z方向变化，仅为兀,y的函数，此冋题是平廂应力问题。
（丿）
6、如果某一问题中，£•.=/.,=/^.=0,只存在平面应变分量①，£、.,rxy,且它们不沿Z方向变化，仅为X,）'，的函数，此问题是平廂应变问题。
（丿）
9、当物体的形变分量完全确定时,位移分量却不能完全确定。
（丿）
10、当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定。
（丿）
K在有限单元法中，结点力是指结点对单元的作用力。
（丿）
15、在平廂三结点三角形单元的公共边界上应变和应力均有突变。
（丿）
3.分析计算题
K试写出无体力情况下平廁问题的应力分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹「性体中存在。
（1）=Ax+By,a,=Cx+Dy,Txv=Ex+Fy；
（2）.=Cxy；
其中,4,B,C,D,E,F为常数。
解：
应力分量存在的必要条件杲必须满足下列条件：
（1）在区域内的平衡
条件。
（1）此组应力分量满足相容方程。
为了满足平衡微分方程，必须D=E。
另外还应满足应力边界条件。
（2）为了满足相容方程，其系数必须满足A+B=O;为了满足平衡微分方程，其系数必须满足A=B=C/2。
上两式是矛唐的，因此，此组应力分量不可能存在。
2、己知应力分量（r=-Qxy~+Cxx:
\ay=-^C2xyr,rxy=^C2yy-Cyx2y,体力不计,Q为常数。
试利用平衡微分方程求系数Cl,C2,C3。
解：
将所给应力分量代入平衡微分方程
-Qy2+3C]/-3C2y2-C,x2=O
-3C2xy-2Cvvy=0
（3C-C3>2-te+3C2）y2=O
（3C2+2C5）xy=O
由X,y的任意性,得
3C厂q=o
3C2+2C3=0
由此解得，g=¥，。
2=-¥，g=¥
o32
3.已知应力分量bfb、=—q,r,v=0,判断该应力分量是否满足平衡微
分方程和相容方程。
解：
将已知应力分量bfbff=0,代入平衡微分方程
dx
竺
dy
可知，已知应力分量m，…，0=0—般不满足平衡微分方程，只有
体力忽略不计时才满足。
按应力求解平直应力问题的相容方程：
筹©",）+鲁©"*2（1+”）篇
将已知应力分量6=-q,b、.=-g,代入上式，可知满足相容方程。
按应力求解平廂应变问题的相容方程：
V、夕/V2d~Txy
豕b厂口碍1舐26_百6）_]_”喻
将已知应力分量6=-g,b、.=-g,f=0代入上式，可知满足相容方程。
4、试写出平面冋题的应变分量存在的必要条件，并考虑下列平⑥冋题的应变分量是否可能存在。
（1）£x=Axy,£>，=〃）'，/Xy=c-Dv2;
（2）£x=Ay2,sy=Bx2y,/x>=Cxy；
资料内容仅供您学习参考，如有不X之处，请联系改正或者删除。
（3）£x=0,巧.=0,yxy=Cxy；
其中,4,B,C,D为常数。
解：
应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即
勿2dx2dxdy
将以上应变分量代入上廂的形变协调方程，可知：
（1）相容。
（2）2A+2B.v=C（1分）;这组应力分量若存在，则须满足:
B=0,2A=CO
（3）0=C;这组应力分量若存在,则须满足：
C=0,则宁0,叨0,/x.v=°（1分）O
5、证明应力函数严竹卫能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，/曲））。
J/r
>小
1〜
解：
将应力函数严"代入相容方程
学+2*+学=0
dx4dx~dyrdyA
可知，所给应力函数严好2能满足相容方程。
由于不计体力，对应的应力分量为
件，上下左右四个边上的面力分别为:
6、证明应力函数处①能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，曲0）。
解：
将应力函数輕“巧代入相容方程
学+2*+学=0dxAdx~dyrdyA
可知，所给应力函数鬥心能满足相容方程。
由于不计体力，对应的应力分量为
件，上下左右四个边上的面力分别为：
上边，y=~7，/=0,/7/=-1,A=-（rxv）日，fv=-（av）/,=0；
■v=-—v=~—
厶22
下边,y=|,2=0,m=l,fx=（r）„=-a,人=（bv）A=0；
7•y=_•丿y=—
乙-22
左边，X=_\/=-l,7/7=0,人=_（bj_/=o,/v=-（rxv）t=a\
2'v=_2
右边,x=!
-,/=1,7W=O,A=（bJ/=0,fy=（r）t=-ao
2-^2"
可见，在左右两边分别受有向下和向上的均布直力a,而在上下两边分别受有向右和向左的均布廁力為因此，应力函数鬥®'能解决矩形板受均布剪力的冋题。
试求应力分量。
解：
根据结构的特点和受力情况，能够假定纵向纤维
互不挤压，即设6=0。
由此可知
将上式代入应力函数所应满足的相容方程则可得
厶4〃十
这是y的线性方程，但相容方程要求它有无数多的解（全柱内的y值都应
该满足它），可见它的系数和自由项都应该等于零，即
这两个方程要求
/j（x）=Ar3+Bx2+Cx+I,f2（x）=Zh3+Ex2+Jx+K
代入应力函数表示式，并略去对应力分量无影响的一次项和常数项后,便得
0=y（Ay'+Bx2+Cx）+Dx'+Ex2
对应应力分量为
V莎$
=^-^=v（6Ax+2B）+6Dx+2E-pgydx^'
『議-WSY
以上常数能够根据边界条件确定。
左边，x=o,—“=o,沿y方向无面力，因此有
一g）.q）=C=O
右边,x=b,/=1,m=0,沿y方向的面力为彳,因此有
（TQx=b=-3A什一2Bb=q
上边，y=o,/=o,,H=-1,没有水平面力，这就要求心在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即
将。
的表示式代入并考虑到C=o,则有
£（-3Ar2-2Bx）dx=-Ax3-Bx?
R=—A/Z—劭2=0
而）‘、』0厶=0自然满足。
又由于在这部分边界上没有垂直面力，这就要
求5•在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即
［（6）v.odx=O,［（6）zxdx=O
将6•的表示式代入，则有
£（6Dx+2E）Ja=3Da-2+2E.r|:
=3Db2+2Eb=0
j\6Dx+2E）xdx=2Dx3+Ex2\^=2Db3+Eh2=0
虽然上述结果并不严格满足上端庖处（）=0）的边界条件，但按照圣维南原理，在稍远离）=0处这一结果应是适用的。
8、证明：
如果体力分量虽然不杲常量，但却是有势的力，即体力分量能
够表示为f~,A=--,其中V是势函数，则应力分量亦可用应力oxoy
函数表示为，k龚+V,k学+V,龚，试导出相应的相容方
dyOrdxdy
程。
证明：
在体力为有势力的情况下，按应力求解应力边界问题时，应力分量
6,f应当满足平衡微分方程
%
oV门—n
dx
6
V
dx
6b,
%
s
dy
卜dx
dy
（1分）
还应满足相容方程
并在边界上满足应力边界条件（1分）o对于多连体，有时还必须考虑位移单值条件。
首先考察平衡微分方程。
将其改写为
这是一个齐次微分方程组。
为了求得通解，将其中第一个方程改写为
根据微分方程理论，一定存在某一函数A（x,y），使得
同样，将第二个方程改写为
可见也一定存在某一函数B（兀j），使得
由此得
dxdy
因而又一定存在某一函数讽•“），使得
心，B西
dydx
代入以上各式，得应力分量
b仝+V,咕斗甘邑
'勿2>&2
为了使上述应力分量能同量满足相容方程，应力函数eg〉，）必须满足
—定的方程，将上述应力分量代入平面应力冋题的相容方程，得
简写为
将上述应力分量代入平面应变冋题的相容方程，得
简写为
9、如图所示三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为°,试用纯三次的应力函数求解。
解：
纯三次的应力函数为
（p=ax'+bx2y+cxy2+dy'
相应的应力分量表示式为
这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。
现在来考察，如果适当选择各个系数，是否能满足应力边界条件。
上边，尸0,/=0,也=-1,没有水平面力，因此有
对上端面的任意兀值都应成立，可见
b=0
同时，该边界上没有竖直⑥力，因此有
一9儿=6“%=0
对上端面的任意X值都应成立，可见
因此，应力分量能够简化为
ax=2cx+6dy,6・=-恣儿rx=-2cy
（/cr+/wrvr）=0
（〃Q、+/rJ=0
\>x>^v=.vtana
由第一个方程，得
~（2cv+6rZvtan对斜廂的任意X值都应成立，这就要求-4c~6Jtan2cxXanasina-p^xtanacosa=2cxtM\asii\a-pgxsina=0
对斜面的任意X值都应成立，这就要求
由此解得
2ctana-朋=0（1分）
c=|/^cota（1分）,〃=一瓠cot，a
从而应力分量为
a=pgxcota-lpgycQVa,6=-pg»%.=-怒ycota
设三角形悬臂梁的长为/,高为h,则⑺吨斗。
根据力的平衡，固定端对梁的约束反力沿x方向的分量为0,沿y方向的分量为-^pgiho因此，所求S在这部分边界上合成的主矢应为零，「应当合成为反力冷MO
J（丁）t/y=J（/c^/cot［（G-）-Jy=^（rPSycot6Z\ly^~pgh2cota=-^pglh
可见，所求应力分量满足梁固定端的边界条件。
10、设有楔形体如图所示，左面铅直，右廂与铅直面成角S下端作为无限长，承受重力及液体压力，楔形体的密度为Q,液体的密度为血，试求应力分量。
解：
采用半逆解法。
首先应用量纲分析方法来假设应力分量的函数形式。
取坐标轴如图所示。
在楔形体的任意一点，每一个应力分量都将由两部分组成：
一部分由重力引起，应当与加成正比（g是重力加速度）；另一部分由液体压力引起，应当与成正比。
另外，每一部分还与y有关。
由于应力的量纲是
资料内容仅供您学习参考，如有不X之处，请联系改正或者删除。
L*MT'2,pg和“g的量纲是L'2MT'2,&杲量纲一的
量，而x和y的量纲是L,因此，如果应力分量具有多项式的解答，那么它们的表示式只可能是ggx,切gy,CT,%2gy四项的组合，而其中的AB,C,£＞是量纲一的量，只与q有关。
这就是说，各应力分量的表示式只可能是x和y的纯一次式。
其次，由应力函数与应力分量的关系式可知，应力函数比应力分量的长度量纲高二次，应该是x和y纯三次式，因此，假设
（p=ax3+bx2y+cxy2
相应的应力分量表示式为
6詈如咕罟-血6俶+2陌。
跖”-器一加-2巧
这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。
现在来考察，如果适当选择各个系数，是否能满足应力边界条件。
左0,A=o,/=-1,777=0,作用有水平廁力Cgy,因此有
一（6山=-6〃尸pgy
对左面的任意y值都应成立，可见
pig
6
同时，该边界上没有竖直面力，因此有
-（rtv）.v-o=2cy=0
对左面的任意y值都应成立，可见因此，应力分量能够简化为
6=-Q2g）'，b、=6o¥+”y-ogy,rxv=-2bx
斜面，A-ytan=cos—+a|=-sina、没有面力，因此有
0bv+〃2Z\・J=0
\xyx^xsylana
（〃Q、.+/rJ=0
由第一个方程，得
-Qigycosa+2bytunasina=0
对斜廂的任意y值都应成立，这就要求
-/92gcosa+2/?
tan«sin由第二个方程，得
-（6©tana+2/?
y-0gy）sina-2bytcmacosa=（-6dtanasincr-4Z?
sina+p}gsina）y=0
对斜面的任意X值都应成立，这就要求
-6dtana-4/?
+/?
]g=0
由此解得
从而应力分量为
bx=-p?
gy，bv=（/7|gcoa—2QjgcoFak+（P!
gcorQ—Q|g）y,rxy=-p2gxcova
第二种状态可瑕为弹性体受均旬压力p的状态（图3-1⑹）,应力分量为6=67=
心=拦丄6十6•十6）=-上二"0，任何方向的正应变都是e="P，力EE、EE
尸作用点之间的距离为z,在第二种状态下这段距离的缩短为第二种状态边界
E
上面力为t2-=-p（nvn.,n.'）,冬）为边畀法向方向，根振功的互等定理，有
—P耳丛，也就是说体积缩小"守几
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