弹性力学试题及标准答案样本.docx

1、弹性力学试题及标准答案样本弹性力学与有限元分析复习题及其答案一填空题k弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因 而发生的应力.形变和位移。2、 在弹性力学中规定，线应变以雌时为正，缩短时为负，与正应力的 正负号规定相适应。3、 在弹性力学中规定，切应变以育角变小时为正，变左时为负，与切应 力的正负号规定相适应。4、 物体受外力以后，其内部将发生内力,它的集度称为应力。与物体的 形变和材料强度直接有关的，杲应力在其作用截面的法线方向和切线 方宜的分量，也棘杲正应力和切应力。应力及其分量的量纲是5、 弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性.均匀性、各向同性。6、 平面冋题分为平面应

2、力冋题和平面应变冋题7、 己知一点处的应力分量6=100 MPa, 6=50 MPa,心.=10何MPa,则主 应力（7,= 150MPa, r,=0MPa, a= 35e16ro8、 己知一点处的应力分量，6=200 MPa, crv=0MPa,乙广-400 MPa,则主 应力6 = 512 MPa, 6312 MPa, a.=-37 57 z o9、 已知一点处的应力分量，o-r=-2000 MPa, rv=iooo MPa, rtv=-400 MPa, 则主应力6=1052 MPa, 62052 MPa, .=-82 32 z o10、 在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学

3、三方面条件，分别建立三套方程。11、 表示应力分量与体力分量之间关系的方程为壬衡微分方程。12、 边界条件表示边界上位移与约束,或应力与面力之间的关系式。分 为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。13、 按应力求解平面冋题时常采用逆解法和半逆解法。14、 有限单元法首先将连续体变换成为融化结狗，然后再用结构力学 位移法讲行求解。其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。15、 每个单元的位移一般总是包含着两部分：部分杲由本单元的形变 引起的，异一部分是由于其它单元发生了形变而连带引起的。16、 每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点 的位置坐标有关的，杲各点不相同的，即

4、所谓变量应变;号一部分是 与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。17、 为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的 刚体位移和常量应变,还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。18、 为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单 值连续函数,为了使得相邻单元的位移保持连续，就不但要使它们在 公共结点外具有相同的位移吋,也能在整个公共边界上具有相同的位 移。19、 在有限单元法中，单元的形函数M在i结点在其它结点 及 M=lo20、 为了提高有限单元法分析的精度，一般能够采用两种方法：是将单 元的尺寸减小,以便较好地反映位移和应力变化情况；二杲采用句含更高次

5、项的位移模式,使位移和应力的精度提高。2.判断题（请在正确命题后的括号内打”丿”，在错误命题后的括号 内打” X ” ）1、连续性假定杲指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不 留下任何空隙。（丿）5、 如果某一问题中，只存在平面应力分量crv, Txy,且它 们不沿z方向变化，仅为兀,y的函数，此冋题是平廂应力问题。（丿）6、 如果某一问题中，.=/., =/.=0,只存在平面应变分量，、., rxy,且它 们不沿Z方向变化，仅为X,），的函数，此问题是平廂应变问题。（丿）9、 当物体的形变分量完全确定时,位移分量却不能完全确定。（丿）10、 当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完

6、全确定。（丿）K 在有限单元法中，结点力是指结点对单元的作用力。（丿）15、在平廂三结点三角形单元的公共边界上应变和应力均有突变。（丿）3.分析计算题K试写出无体力情况下平廁问题的应力分量存在的必要条件，并考虑下 列平面问题的应力分量是否可能在弹性体中存在。（1） =Ax+By, a, =Cx+Dy , Txv=Ex+Fy ；（2） .=Cxy ；其中,4,B, C,D,E,F为常数。解：应力分量存在的必要条件杲必须满足下列条件：（1）在区域内的平衡条件。(1)此组应力分量满足相容方程。为了满足平衡微分方程，必须 D=E。另外还应满足应力边界条件。(2)为了满足相容方程，其系数必须满足A+B=

7、O;为了满足平衡微分 方程，其系数必须满足A=B=C/2。上两式是矛唐的，因此，此组应力分量 不可能存在。2、己知应力分量(r =-Qxy+Cxx: ay=-C2xyr , rxy=C2yy-Cyx2y,体力不计, Q为常数。试利用平衡微分方程求系数Cl, C2, C3。解：将所给应力分量代入平衡微分方程-Qy2 +3C / -3C2 y2-C,x2=O-3C2 xy-2Cvvy=0(3C-C32-te+3C2)y2=O(3C2+2C5)xy=O由X, y的任意性,得3C 厂 q=o，=)，/Xy=c-Dv2;(2)x=Ay2, sy=Bx2y, /x =Cxy ；资料内容仅供您学习参考，如有

8、不X之处，请联系改正或者删除。(3)x=0,巧.=0, yxy=Cxy ；其中,4,B, C,D为常数。解：应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即勿 2 dx2 dxdy将以上应变分量代入上廂的形变协调方程，可知：(1)相容。(2)2A+2B.v=C( 1分);这组应力分量若存在，则须满足:B=0, 2A=CO(3)0=C;这组应力分量若存在,则须满足：C=0,则宁0,叨0, /x.v=( 1 分)O5、证明应力函数严竹卫能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和 坐标系中能解决什么问题(体力不计，/曲)。J /r 小1 解：将应力函数严代入相容方程学+2*+学=0dx4 dxdyr d

9、yA可知，所给应力函数严好2能满足相容方程。由于不计体力，对应的应力分量为件，上下左右四个边上的面力分别为:6、证明应力函数处能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和 坐标系中能解决什么问题（体力不计，曲0）。解：将应力函数輕“巧代入相容方程学+2*+学=0 dxA dxdyr dyA可知，所给应力函数鬥心能满足相容方程。由于不计体力，对应的应力分量为件，上下左右四个边上的面力分别为：上边，y=7，/=0, /7/=-1, A=-(rxv) 日，fv=-(av) /,=0； v=- v=厶 2 2下边,y=|, 2=0, m=l, fx=(r ) =-a,人=(bv) A=0；7 y=_ 丿

10、 y=乙 -2 2左边，X=_ /=-l, 7/7=0,人=_(bj_/=o, /v=-(rxv) t=a2 v=_2右边,x=!-, /=1, 7W=O, A=(bJ /=0, fy=(r ) t=-ao2 -2 可见，在左右两边分别受有向下和向上的均布直力a,而在上下两边 分别受有向右和向左的均布廁力為因此，应力函数鬥能解决矩形板 受均布剪力的冋题。试求应力分量。解：根据结构的特点和受力情况，能够假定纵向纤维互不挤压，即设6=0。由此可知将上式代入应力函数所应满足的相容方程则可得厶4 十这是y的线性方程，但相容方程要求它有无数多的解(全柱内的y值都应该满足它)，可见它的系数和自由项都应该等

11、于零，即这两个方程要求/j (x)=Ar3 +Bx2 +Cx+I, f2 (x)=Zh3 +Ex2 +Jx+K代入应力函数表示式，并略去对应力分量无影响的一次项和常数项后, 便得0=y (Ay +Bx2 +Cx)+Dx +Ex2对应应力分量为V莎$=-= v (6 Ax+2 B )+6 Dx+2 E-pgy dx 議-WSY以上常数能够根据边界条件确定。左边，x=o, “=o,沿y方向无面力，因此有一 g ).q)=C=O右边,x=b, /=1, m=0,沿y方向的面力为彳,因此有(TQ x=b=-3A 什一2Bb=q上边，y=o, /=o, ,H=-1,没有水平面力，这就要求心在这部分边界上

12、 合成的主矢量和主矩均为零，即将。的表示式代入 并考虑到C=o,则有(-3Ar 2-2Bx)dx=-Ax 3-Bx ? R =A/Z 劭2 =0而)、0厶=0自然满足。又由于在这部分边界上没有垂直面力，这就要求5在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即（6） v.o dx=O, （6 ） z xdx=O将6的表示式代入，则有(6Dx+2E)Ja=3Da- 2 +2E.r|: =3Db2 +2Eb=0j6Dx+2E)xdx=2Dx 3+Ex2=2Db3 +Eh2 =0虽然上述结果并不严格满足上端庖处（）=0）的边界条件，但按照圣维南 原理，在稍远离）=0处这一结果应是适用的。8、证明：如果体力

13、分量虽然不杲常量，但却是有势的力，即体力分量能够表示为f , A=-,其中V是势函数，则应力分量亦可用应力 ox oy函数表示为，k龚+V, k学+V, 龚，试导出相应的相容方dy Or dxdy程。证明：在体力为有势力的情况下，按应力求解应力边界问题时，应力分量6,f应当满足平衡微分方程%oV门 ndx6Vdx6b,%sdy卜dxdy(1分)还应满足相容方程并在边界上满足应力边界条件（1分）o对于多连体，有时还必须考虑位移 单值条件。首先考察平衡微分方程。将其改写为这是一个齐次微分方程组。为了求得通解，将其中第一个方程改写为根据微分方程理论，一定存在某一函数A（x,y），使得同样，将第二个方

14、程改写为可见也一定存在某一函数B（兀j），使得由此得dx dy因而又一定存在某一函数讽“），使得心，B西dy dx代入以上各式，得应力分量b仝+V,咕斗甘邑勿 2 &2为了使上述应力分量能同量满足相容方程，应力函数eg，）必须满足定的方程，将上述应力分量代入平面应力冋题的相容方程，得简写为将上述应力分量代入平面应变冋题的相容方程，得简写为9、如图所示三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为,试用纯三次 的应力函数求解。解：纯三次的应力函数为(p=ax +bx2 y+cxy2 +dy相应的应力分量表示式为这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。现在来考察，如果适当 选择各个系数，是否能满足应力

15、边界条件。上边，尸0, /=0,也=-1,没有水平面力，因此有对上端面的任意兀值都应成立，可见b=0同时，该边界上没有竖直力，因此有一9 儿=6“%=0对上端面的任意X值都应成立，可见因此，应力分量能够简化为ax=2cx+6dy , 6=-恣儿 rx=-2cy(/cr+/wrvr) =0(Q、+/r J =0 x v=.vtana由第一个方程，得(2cv+6rZvtanz )s in a-2cxXanacosa=-4cxs in a-6xtanas in a=O对斜廂的任意X值都应成立，这就要求 -4c6Jtanz=0 由第二个方程，得2cxXanasina-pxtanacosa=2cxtMa

16、siia-pgxsina=0对斜面的任意X值都应成立，这就要求由此解得2ctana-朋=0（ 1 分）c=|/cota （ 1 分）,=一瓠cot，a从而应力分量为a =pgxcota-lpgycQVa , 6=-pg %.=-怒ycota设三角形悬臂梁的长为/,高为h,则吨斗。根据力的平衡，固定端 对梁的约束反力沿x方向的分量为0,沿y方向的分量为-pgiho因此，所 求S在这部分边界上合成的主矢应为零，应当合成为反力冷MOJ （丁）t/y=J （/c/cotz-2pycota.iy=pglhcota-pgh2cot2a=0（G-） - Jy=（rPSyc ot6Z lypgh2 c ota

17、=-pglh可见，所求应力分量满足梁固定端的边界条件。10、设有楔形体如图所示，左面铅直，右廂与铅直面成角S下端作为无 限长，承受重力及液体压力，楔形体的密度为Q,液体的密度为血，试 求应力分量。解：采用半逆解法。首先应用量纲分析方法来 假设应力分量的函数形式。取坐标轴如图所 示。在楔形体的任意一点，每一个应力分量都 将由两部分组成：一部分由重力引起，应当与 加成正比（g是重力加速度）；另一部分由液 体压力引起，应当与成正比。另外，每一部 分还与y有关。由于应力的量纲是资料内容仅供您学习参考，如有不X之处，请联系改正或者删除。L *MT2, pg和“g的量纲是L2MT2, &杲量 纲一的量，而

18、x和y的量纲是L,因此，如果应力分量具有多项式的解答，那么它 们的表示式只可能是ggx,切gy, CT, %2gy四项的组合，而其中的 AB,C,是量纲一的量，只与q有关。这就是说，各应力分量的表示式只 可能是x和y的纯一次式。其次，由应力函数与应力分量的关系式可知，应力函数比应力分量 的长度量纲高二次，应该是x和y纯三次式，因此，假设(p=ax3 +bx2 y+cxy2相应的应力分量表示式为6詈如咕罟-血6俶+2陌。跖”-器一加-2巧这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。现在来考察，如果适当 选择各个系数，是否能满足应力边界条件。左0, A=o, /=-1, 777=0,作用有水平廁力

19、Cgy ,因此有一 (6山=-6尸 pgy对左面的任意y值都应成立，可见pig6同时，该边界上没有竖直面力，因此有-(rtv).v-o=2cy=0对左面的任意y值都应成立，可见 因此，应力分量能够简化为6=-Q2g)，b、=6o+”y-ogy, rxv=-2bx斜面， A-ytanz, l=cosa，?=cos +a |=-sina、 没有面力，因此有0bv+2ZJ =0 x yx xsylana(Q、.+/rJ =0由第一个方程，得-Qi gycosa+2by tunas in a=0对斜廂的任意y值都应成立，这就要求-/92gcosa+2/?tansinz=0由第二个方程，得-(6 tan

20、a+2/?y-0 gy )s ina-2by t cmacosa=(-6dtanas incr-4Z?s in a+p gs ina )y=0对斜面的任意X值都应成立，这就要求-6dtana-4/?+/? g=0由此解得从而应力分量为bx=-p?gy，bv=(/7|gcoa2QjgcoFak+(P!gcorQQ|g)y, rxy=-p2gxcova第二种状态可瑕为弹性体受均旬压力p的状态(图3-1),应力分量为6 = 6 7 =心=拦丄6十6十6)=-上二0，任何方向的正应变都是e = P，力 E E 、 E E尸作用点之间的距离为z,在第二种状态下这段距离的缩短为 第二种状态边界E上面力为t 2- =-p(nvn.,n.), 冬)为边畀法向方向，根振功的互等定理，有P耳丛，也就是说体积缩小守几