数学新题分类汇编解析几何高考真题+模拟新题.docx
《数学新题分类汇编解析几何高考真题+模拟新题.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《数学新题分类汇编解析几何高考真题+模拟新题.docx(71页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
数学新题分类汇编解析几何高考真题+模拟新题
解析几何(高考真题+模拟新题)
课标理数15.H1[2011·安徽卷]在平面直角坐标系中,如果x与y都是整数,就称点(x,y)为整点,下列命题中正确的是________(写出所有正确命题的编号).
①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点;
②如果k与b都是无理数,则直线y=kx+b不经过任何整点;
③直线l经过无穷多个整点,当且仅当l经过两个不同的整点;
④直线y=kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是:
k与b都是有理数;
⑤存在恰经过一个整点的直线.
课标理数15.H1[2011·安徽卷]①③⑤ 【解析】①正确,比如直线y=x+,不与坐标轴平行,且当x取整数时,y始终是一个无理数,即不经过任何整点;②错,直线y=x-中k与b都是无理数,但直线经过整点(1,0);③正确,当直线经过两个整点时,它经过无数多个整点;④错误,当k=0,b=时,直线y=不通过任何整点;⑤正确,比如直线y=x-只经过一个整点(1,0).
课标文数17.H2,H5[2011·安徽卷]设直线l1:
y=k1x+1,l2:
y=k2x-1,其中实数k1,k2满足k1k2+2=0.
(1)证明l1与l2相交;
(2)证明l1与l2的交点在椭圆2x2+y2=1上.
课标文数17.H2,H5[2011·安徽卷]本题考查直线与直线的位置关系,线线相交的判断与证明,点在曲线上的判断与证明,椭圆方程等基本知识.考查推理论证能力和运算求解能力.
【解答】
(1)反证法:
假设l1与l2不相交,则l1与l2平行,有k1=k2,代入k1k2+2=0,得k+2=0.
此与k1为实数的事实相矛盾,从而k1≠k2,即l1与l2相交.
(2)(方法一)由方程组
解得交点P的坐标(x,y)为
而2x2+y2=22+2
===1.
此即表明交点P(x,y)在椭圆2x2+y2=1上.
(方法二)交点P的坐标(x,y)满足
故知x≠0,从而
代入k1k2+2=0,得·+2=0.
整理后,得2x2+y2=1,
所以交点P在椭圆2x2+y2=1上.
课标文数8.B5,H2[2011·北京卷]已知点A(0,2),B(2,0).若点C在函数y=x2的图象上,则使得△ABC的面积为2的点C的个数为( )
A.4B.3C.2D.1
课标文数8.B5,H2[2011·北京卷]A 【解析】由已知可得|AB|=2,要使S△ABC=2,则点C到直线AB的距离必须为,设C(x,x2),而lAB:
x+y-2=0,所以有=,
所以x2+x-2=±2,
当x2+x-2=2时,有两个不同的C点;
当x2+x-2=-2时,亦有两个不同的C点.
因此满足条件的C点有4个,故应选A.
课标文数14.H4,H2[2011·湖北卷]过点(-1,-2)的直线l被圆x2+y2-2x-2y+1=0截得的弦长为,则直线l的斜率为________.
课标文数14.H4,H2[2011·湖北卷]1或 【解析】由题意,直线与圆要相交,斜率必须存在,设为k,则直线l的方程为y+2=k.又圆的方程为2+2=1,圆心为,半径为1,所以圆心到直线的距离d===,解得k=1或.
课标理数20.H2,H9[2011·课标全国卷]【解答】
(1)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).
所以=(-x,-1-y),=(0,-3-y),=(x,-2).
再由题意可知(+)·=0,
即(-x,-4-2y)·(x,-2)=0,
所以曲线C的方程为y=x2-2.
(2)设P(x0,y0)为曲线C:
y=x2-2上一点,
因为y′=x,所以l的斜率为x0.
因此直线l的方程为y-y0=x0(x-x0),
即x0x-2y+2y0-x=0.
则O点到l的距离d=,又y0=x-2,
所以d==≥2,
当x0=0时取等号,所以O点到l距离的最小值为2.
课标文数12.H2[2011·浙江卷]若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直,则实数m=________.
课标文数12.H2[2011·浙江卷]1 【解析】∵直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0,∴1×2-2×m=0,即m=1.
大纲文数11.H3[2011·全国卷]设两圆C1、C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离|C1C2|=( )
A.4B.4C.8D.8
大纲文数11.H3[2011·全国卷]C 【解析】由题意知两圆的圆心在直线y=x上,设C1(a,a),C2(b,b),可得(a-4)2+(a-1)2=a2,(b-4)2+(b-1)2=b2,即a,b是方程x2-10x+17=0的两根,a+b=10,ab=17,|C1C2|===8,故选C.
课标理数17.H7,H3,H4[2011·福建卷]已知直线l:
y=x+m,m∈R.
(1)若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P,且点P在y轴上,求该圆的方程;
(2)若直线l关于x轴对称的直线为l′,问直线l′与抛物线C:
x2=4y是
否相切?
说明理由.
课标理数17.H7,H3,H4[2011·福建卷]【解答】解法一:
图1-6
(1)依题意,点P的坐标为(0,m).
因为MP⊥l,所以×1=-1,
解得m=2,即点P的坐标为(0,2).
从而圆的半径
r=|MP|==2,
故所求圆的方程为(x-2)2+y2=8.
(2)因为直线l的方程为y=x+m,
所以直线l′的方程为y=-x-m.
由得x2+4x+4m=0.
Δ=42-4×4m=16(1-m).
①当m=1,即Δ=0时,直线l′与抛物线C相切;
②当m≠1,即Δ≠0时,直线l′与抛物线C不相切.
综上,当m=1时,直线l′与抛物线C相切;当m≠1时,直线l′与抛物线C不相切.
解法二:
(1)设所求圆的半径为r,则圆的方程可设为(x-2)2+y2=r2.
依题意,所求圆与直线l:
x-y+m=0相切于点P(0,m),则
解得
所以所求圆的方程为(x-2)2+y2=8.
(2)同解法一.
图1-4
课标文数18.H3,H4,H7[2011·福建卷]如图1-4,直线l:
y=x+b与抛物线C:
x2=4y相切于点A.
(1)求实数b的值;
(2)求以点A为圆心,且与抛物线C的准线相切的圆的方程.
课标文数18.H3,H4,H7[2011·福建卷]【解答】
(1)由得x2-4x-4b=0.(*)
因为直线l与抛物线C相切,
所以Δ=(-4)2-4×(-4b)=0.
解得b=-1.
(2)由
(1)可知b=-1,故方程(*)即为x2-4x+4=0.
解得x=2,代入x2=4y,得y=1,
故点A(2,1).
因为圆A与抛物线C的准线相切,
所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=-1的距离,即r=|1-(-1)|=2.
所以圆A的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.
图1-2
课标理数14.H3[2011·湖北卷]如图1-2,直角坐标系xOy所在的平面为α,直角坐标系x′Oy′(其中y′轴与y轴重合)所在的平面为β,∠xOx′=45°.
(1)已知平面β内有一点P′(2,2),则点P′在平面α内的射影P的坐标为________;
(2)已知平面β内的曲线C′的方程是(x′-)2+2y′2-2=0,则曲线C′在平面α内的射影C的方程是______________.
课标理数14.H3[2011·湖北卷] 2+y2=1 【解析】
(1)过点P′作PP′⊥α,垂足为P,过P作PM⊥y轴于M,连接P′M,则∠P′MP=45°.又MP′=2,所以MP=2cos45°=2.所以点P.
(2)设曲线C′上任意一点为,则该点在平面α内的射影为,故有即代入2+2y′2-2=0中,得2+y2-1=0,即2+y2=1.
课标文数13.H3[2011·辽宁卷]已知圆C经过A(5,1),B(1,3)两点,圆心在x轴上,则C的方程为________.
课标文数13.H3[2011·辽宁卷](x-2)2+y2=10 【解析】设圆心坐标为(x,0),则有=,解得x=2.由两点距离得r==,所以圆的方程为(x-2)2+y2=1
0.
课标文数20.H3,H4[2011·课标全国卷]在平面直角坐标系xOy中,曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上.
(1)求圆C的方程;
(2)若圆C与直线x-y+a=0交于A、B两点,且OA⊥OB,求a的值.
课标文数20.H3,H4[2011·课标全国卷]【解答】
(1)曲线y=x2-6x+1与y轴的交点为(0,1),与x轴的交点为(3+2,0),(3-2,0).
故可设C的圆心为(3,t),则有32+(t-1)2=
(2)2+t2,解得t=1.
则圆C的半径为=3.
所以圆C的方程为(x-3)2+(y-1)2=9.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足方程组
消去y,得到方程
2x2+(2a-8)x+a2-2a+1=0.
由已知可得,判别式Δ=56-16a-4a2>0.从而
x1+x2=4-a,x1x2=.①
由于OA⊥OB,可得x1x2+y1y2=0.
又y1=x1+a,y2=x2+a,所以
2x1x2+a(x1+x2)+a2=0.②
由①,②得a=-1,满足Δ>0,故a=-1.
大纲文数3.H3[2011·四川卷]圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标是( )
A.(2,3)B.(-2,3)
C.(-2,-3)D.(2,-3)
大纲文数3.H3[2011·四川卷]D 【解析】圆的方程可化为(x-2)2+(y+3)2=13,所以圆心坐标是(2,-3),选D.
大纲理数8.H3[2011·重庆卷]在圆x2+y2-2x-6y=0内,过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为( )
A.5B.10
C.15D.20
所以四边形ABCD的面积为S=|AC||BD|=10.故选B.
课标文数4.H4[2011·安徽卷]若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x-4y=0的圆心,则a的值为( )
A.-1B.1
C.3D.-3
课标文数4.H4[2011·安徽卷]B 【解析】圆的方程可化为(x+1)2+(y-2)2=5,因为直线经过圆的圆心(-1,2),所以3×(-1)+2+a=0,得a=1.
课标理数17.H7,H3,H4[2011·福建卷]已知直线l:
y=x+m,m∈R.
(1)若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P,且点P在y轴上,求该圆的方程;
(2)若直线l关于x轴对称的直线为l′,问直线l′与抛物线C:
x2=4y是否相切?
说明理由.
解法二:
(1)设所求圆的半径为r,则圆的方程可设为(x-2)2+y2=r2.
依题意,所求圆与直线l:
x-y+m=0相切于点P(0,m),则
解得
所以所求圆的方程为(x-2)2+y2=8.
(2)同解法一.
图1-4
课标文数18.H3,H4,H7[2011·福建卷]如图1-4,直线l:
y=x+b与抛物线C:
x2=4y相切于点A.
(1)求实数b的值;
(2)求以点A为圆心,且与抛物线C的准线相切的圆的方程.
课标文数18.H3,H4,H7[2011·福建卷]【解答】
(1)由得x2-4x-4b=0.(*)
因为直线l与抛物线C相切,
所以Δ=(-4)2-4×(-4b)=0.
解得b=-1.
(2)由
(1)可知b=-1,故方程(*)即为x2-4x+4=0.
解得x=2,代入x2=4y,得y=1,
故点A(2,1).
因为圆A与抛物线C的准线相切,
所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=-1的距离,即r=|1-(-1)|=2.
所以圆A的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.
课标文数8.H4[2011·广东卷]设圆C与圆x2+(y-3)2=1外切,与直线y=0相切,则C的圆心轨迹为( )
A.抛物线B.双曲线
C.椭圆D.圆
课标文数8.H4[2011·广东卷]A 【解析】设圆心C的坐标C(x,y),由题意知y>0,则圆C的半径为y,由于圆C与已知圆相外切,则由两圆心距等于半径之和,得=1+y,整理得:
x2=8(y-1),所以轨迹为抛物线.
课标文数14.H4,H2[2011·湖北卷]过点(-1,-2)的直线l被圆x2+y2-2x-2y+1=0截得的弦长为,则直线l的斜率为________.
课标文数14.H4,H2[2011·湖北卷]1或 【解析】由题意,直线与圆要相交,斜率必须存在,设为k,则直线l的方程为y+2=k.又圆的方程为2+2=1,圆心为,半径为1,所以圆心到直线的距离d===,解得k=1或.
课标文数15.H4,K3[2011·湖南卷]已知圆C:
x2+y2=12,直线l:
4x+3y=25.
(1)圆C的圆心到直线l的距离为________;
(2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为________.
课标文数15.H4,K3[2011·湖南卷]
(1)5
(2)
【解析】
(1)圆心到直线的距离为:
d==5;
图1-4
(2)当圆C上的点到直线l的距离是2时有两个点为点B与点D,设过这两点的直线方程为4x+3y+c=0,同时可得到的圆心到直线4x+3y+c=0的距离为OC=3,
又圆的半径为r=2,可得∠BOD=60°,由图1-2可知点A在弧上移动,弧长l=×c=,圆周长c,故P(A)==.
课标文数20.H3,H4[2011·课标全国卷]在平面直角坐标系xOy中,曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上.
(1)求圆C的方程;
(2)若圆C与直线x-y+a=0交于A、B两点,且OA⊥OB,求a的值.
课标文数20.H3,H4[2011·课标全国卷]【解答】
(1)曲线y=x2-6x+1与y轴的交点为(0,1),与x轴的交点为(3+2,0),(3-2,0).
故可设C的圆心为(3,t),则有32+(t-1)2=
(2)2+t2,解得t=1.
则圆C的半径为=3.
所以圆C的方程为(x-3)2+(y-1)2=9.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足方程组
消去y,得到方程
2x2+(2a-8)x+a2-2a+1=0.
由已知可得,判别式Δ=56-16a-4a2>0.从而
x1+x2=4-a,x1x2=.①
由于OA⊥OB,可得x1x2+y1y2=0.
又y1=x1+a,y2=x2+a,所以
2x1x2+a(x1+x2)+a2=0.②
由①,②得a=-1,满足Δ>0,故a=-1.
大纲文数13.H4[2011·重庆卷]过原点的直线与圆x2+y2-2x-4y+4=0相交所得的弦长为2,则该直线的方程为________.
大纲文数13.H4[2011·重庆卷]2x-y=0 【解析】将圆x2+y2-2x-4y+4=0配方得(x-1)2+(y-2)2=1,
∴该圆半径为1,圆心M(1,2).
∵直线与圆相交所得弦的长为2,即为该圆的直径,
∴该直线的方程的斜率k==2,
∴该直线的方程为y=2x,即2x-y=0.
课标文数17.H2,H5[2011·安徽卷]设直线l1:
y=k1x+1,l2:
y=k2x-1,其中实数k1,k2满足k1k2+2=0.
(1)证明l1与l2相交;
(2)证明l1与l2的交点在椭圆2x2+y2=1上.
课标文数17.H2,H5[2011·安徽卷]本题考查直线与直线的位置关系,线线相交的判断与证明,点在曲线上的判断与证明,椭圆方程等基本知识.考查推理论证能力和运算求解能力.
【解答】
(1)反证法:
假设l1与l2不相交,则l1与l2平行,有k1=k2,代入k1k2+2=0,得k+2=0.
此与k1为实数的事实相矛盾,从而k1≠k2,即l1与l2相交.
(2)(方法一)由方程组
解得交点P的坐标(x,y)为
而2x2+y2=22+2
===1.
此即表明交点P(x,y)在椭圆2x2+y2=1上.
(方法二)交点P的坐标(x,y)满足
故知x≠0,从而
代入k1k2+2=0,得·+2=0.
整理后,得2x2+y2=1,
所以交点P在椭圆2x2+y2=1上.
课标理数7.H5,H6[2011·福建卷]设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F1,F2.若曲线Γ上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,则曲线Γ的离心率等于( )
A.或B.或2
C.或2D.或
课标理数7.H5,H6[2011·福建卷]A 【解析】设|F1F2|=2c(c>0),由已知|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,得|PF1|=c,|PF2|=c,且|PF1|>|PF2|,
若圆锥曲线Γ为椭圆,则2a=|PF1|+|PF2|=4c,离心率e==;
若圆锥曲线Γ为双曲线,则2a=|PF1|-|PF2|=c,离心率e==,故选A.
课标文数11.H5,H6[2011·福建卷]设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F1,F2,若曲线Γ上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,则曲线Γ的离心率等于( )
A.或B.或2
C.或2D.或
课标文数11.H5,H6[2011·福建卷]A 【解析】设|F1F2|=2c(c>0),由已知|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,得
|PF1|=c,|PF2|=c,且|PF1|>|PF2|,
若圆锥曲线Γ为椭圆,则2a=|PF1|+|PF2|=4c,离心率e==;
若圆锥曲线Γ为双曲线,则2a=|PF1|-|PF2|=c,离心率e==,故选A.
课标理数21.H5,H7,H8[2011·湖南卷]如图1-9,椭圆C1:
+=1(a>b>0)的离心率为,x轴被曲线C2:
y=x2-b截得的线段长等于C1的长半轴长.
(1)求C1,C2的方程;
(2)设C2与y轴的交点为M,过坐标原点O的直线l与C2相交于点A,B,直线MA,MB分别与C1相交于点D,E.
①证明:
MD⊥ME;
②记△MAB,△MDE的面积分别为S1,S2.问:
是否存在直线l,使得=?
请说明理由.
图1-10
课标理数21.H5,H7,H8[2011·湖南卷]【解答】
(1)由题意知,e==,从而a=2b.又2=a,解得a=2,b=1.
故C1,C2的方程分别为+y2=1,y=x2-1.
(2)①由题意知,直线l的斜率存在,设为k,则直线l的方程为y=kx.
由得x2-kx-1=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1,x2是上述方程的两个实根,
于是x1+x2=k,x1x2=-1.
又点M的坐标为(0,-1),所以
kMA·kMB=·=
=
==-1.
故MA⊥MB,即MD⊥ME.
②设直线MA的斜率为k1,则直线MA的方程为
y=k1x-1,由解得
或
则点A的坐标为(k1,k-1).
又直线MB的斜率为-,同理可得点B的坐标为.
于是S1=|MA|·|MB|=·|k1|··=.
由得(1+4k)x2-8k1x=0.
解得或
则点D的坐标为.
又直线ME的斜率为-,同理可得点E的坐标为.
于是S2=|MD|·|ME|=.
因此=.
由题意知,=,
解得k=4,或k=.
又由点A,B的坐标可知,k==k1-,
所以k=±.
故满足条件的直线l存在,且有两条,其方程分别为y=x和y=-x.
课标理数14.H5[2011·江西卷]若椭圆+=1的焦点在x轴上,过点作圆x2+y2=1的切线,切点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是________.
课标理数14.H5[2011·江西卷]【答案】+=1
【解析】由题可知过点与圆x2+y2=1的圆心的直线方程为y=x,由垂径定理可得kAB=-2.
显然过点的一条切线为直线x=1,此时切点记为A(1,0),即为椭圆的右焦点,故c=1.
由点斜式可得,直线AB的方程为y=-2(x-1),
即AB:
2x+y-2=0.
令x=0得上顶点为(0,2),∴b=2,∴a2=b2+c2=5,故得所求椭圆方程为+=1.
课标理数14.H5[2011·课标全国卷]在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为.过F1的直线l交C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么C的方程为________________.
课标理数14.H5[2011·课标全国卷]+=1 【解析】设椭圆方程为+=1(a>b>0).
因为离心率为,所以=,
解得=,即a2=2b2.
图1-7
又△ABF2的周长为++=+++=(+)+(+)=2a+2a=4a,,所以4a=16,a=4,所以b=2,
所以椭圆方程为+=1.
课标文数4.H5[2011·课标全国卷]椭圆+=1的离心率为( )
A.B.C.D.
课标文数4.H5[2011·课标全国卷]D 【解析】由题意a=4,c2=8,∴c=2,所以离心率为e===.
课标理数17.H5,H8[2011·陕西卷]
图1-8
如图1-8,设P是圆x2+y2=25上的动点,点D是P在x轴上的投影,M为PD上一点,且|MD|=|PD|.
(1)当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程;
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度.
课标理数17.H5,H8[2011·陕西卷]【解答】
(1)设M的坐标为(x,y),P的坐标为(xP,yP),
由已知得
∵P在圆上,∴x2+2=25,
即C的方程为+=1.
(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y=(x-3),
设直线与C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),
将直线方程y=(x-3)代入C的方程,得
+=1,即x2-3x-8=0.
∴x1=,x2=.
∴线段AB的长度为
|AB|====.
课标文数17.H5[2011·陕西卷]设椭圆C:
+=1(a>b>0)过点(0,4),离心率为.
(1)求C的方程;
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标.
课标文数17.H5[2011·陕西卷]【解答】
(1)将(0,4)代入椭圆C的方程得=1,∴b=4.
又e==得=,即1-=,∴a=5,
∴C的方程为+=1.
(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y=(x-3),
设直线与C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),
将直线方程y=(x-3)代入C的方程,得
+=1,
即x2-3x-8=0.
解得x1=,x2=,
∴AB的中点坐标==,
==(x1+x2-6)=-.
即中点为.
课标理数17.H5[2011·浙江卷]设F1,F2分别为椭圆+y2=1的左,右焦点,点A,B在椭圆上.若=5,则点A的坐标是________.
课标理数17.H5[2011·浙江卷](0,±1)
【解析】设直线F1A的反向延长线与椭圆交于点B′,又∵=5,由椭圆的对称性可得=5,设A,B′,
又∵|F1A|=,|F1B′|=,
∴解之得x1=0,
∴点A的坐标为.
课标文数3.H6[2011·安徽卷]双曲线2x2-y2=8的实轴长是( )
A.2B.2
C.4D.4
课标文数3.H6[2011·安徽卷]C 【解析】双曲线