《计数原理》单元测试题.docx
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《计数原理》单元测试题
《计数原理》单元测试题
《计数原理》单元测试题
一、选择题
1．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法共有（）
A．10种B．20种C．25种D．32种
2．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（）
A．36种B．48种C．96种D．192种
3.记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ）
A．1440种B．960种C．720种D．480种
4.某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（ ）
A．
个B．
个C．
个D．
个
5．（x－
y）10的展开式中x6y4项的系数是（）
A.840B.－840C.210D.－210
6.由数字0，1，2，3，4，5可以组成无重复数字且奇偶数字相间的六位数的个数有（）
A.72 B.60 C.48 D.52
7.用0，1，2，3，4组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数字12340应是第（ ）个数.
A.6 B.9 C.10 D.8
8.AB和CD为平面内两条相交直线，AB上有m个点，CD上有n个点，且两直线上各有一个与交点重合，则以这m+n-1个点为顶点的三角形的个数是（）
A.
B.
C.
D.
9.设
则
的值为（）
A.0 B.-1 C.1 D.
18．平面内有12个点，其中有4点共线，此外再无任何3点共线，以这些点为顶点可得到多少个不同的三角形？
19． 六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？
（l）甲不站两端；
（2）甲、乙必须相邻；
（3）甲、乙不相邻；
（4）甲、乙之间间隔两人；
（5）甲、乙站在两端；
（6）甲不站左端，乙不站右端．
20．把1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排列成一个数列.
（1）43251是这个数列的第几项？
（2）这个数列的第96项是多少？
（3）求所有五位数的各位上的数字之和
（4）求这个数列的各项和.
21.在
的展开式中，如果第4r项和第r+2项的二项式系数相等。
（1）求r的值；
（2）写出展开式中的第4r项和第r+2项。
22.求证：
能被25整除。
第一章计数原理单元测试题参考答
一、选择题：
（每题5分，共60分）
1、D 2、C 解析．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有
种，选C
3、B解析：
5名志愿者先排成一排，有
种方法，2位老人作一组插入其中，且两位老人有左右顺序，共有
=960种不同的排法，选B
4、A 解析：
某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有
个，选A
5、A6、B解析:
只考虑奇偶相间,则有
种不同的排法,其中0在首位的有
种不符合题意,所以共有
种.
7、C 解析:
比12340小的分三类:
第一类是千位比2小为0,有
个;第二类是千位为2,百位比3小为0,有
个;第三类是十位比4小为0,有1个.共有6+2+1=9个,所以12340是第10个数.
8、D 解析:
在一条线上取2个点时,另一个点一定在另一条直线上,且不能是交点.
9、C10、B11、C
12、A解析:
先取出一双有
种取法,再从剩下的4双鞋中取出2双,而后从每双中各取一只,有
种不同的取法,共有
种不同的取法.
二、填空题（每小题4分，共16分）
13、1260 解析：
由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有
14、24 解析：
可以分情况讨论：
①若末位数字为0，则1，2，为一组，且可以交换位置，3，4，各为1个数字，共可以组成
个五位数；②若末位数字为2，则1与它相邻，其余3个数字排列，且0不是首位数字，则有
个五位数；③若末位数字为4，则1，2，为一组，且可以交换位置，3，0，各为1个数字，且0不是首位数字，则有
=8个五位数，所以全部合理的五位数共有24个
15、7 解析：
若（2x3+
）n的展开式中含有常数项，
为常数项，即
=0，当n=7，r=6时成立，最小的正整数n等于7.
16、36种解析．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，先从其余3人中选出1人担任文娱委员，再从4人中选2人担任学习委员和体育委员，不同的选法共有
种
三、解答题
17.解：
（1）即从7名学生中选出三名代表，共有选法
种；
（2）至少有一名女生的不同选法共有
种；
（3）男、女生都要有的不同的选法共有
种。
18.解：
把从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准。
第一类：
共线的4点中有两点为三角形的顶点，共有：
（个）；
第二类：
共线的4点中有一点为三角形的顶点，共有
（个）；
第三类：
共线的4点中没有点作为三角形的顶点，共有：
（个）。
由分类计数原理知，共有三角形：
（个）。
答：
可得到216个不同的三角形。
19.解析：
（l）方法一：
要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有
种站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列有
种站法，根据分步乘法计数原理共有站法
480（种）
方法二：
由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选2个人站，有
种站法，然后中间4人有
种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法
480（种）
方法三：
若对甲没有限制条件共有
种站法，甲在两端共有
种站法，从总数中减去这两种情况的排列数，即得所求的站法数，共有
480（种）
（2）方法一：
先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，有
种站法，再把甲、乙进行全排列，有
种站法，根据分步乘法计数原理，共有
240（种）站法．
方法二：
先把甲、乙以外的4个人作全排列，有
种站法，再在5个空档中选出一个供甲、乙放入，有
种方法，最后让甲、乙全排列，有
种方法，共有
240（种）
（3）因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”，第一步先让甲、乙以外的4个人站队，有
种；第二步再将甲、乙排在4人形成的5个空档（含两端）中，有
种，故共有站法为
=480（种）.
也可用“间接法”，6个人全排列有
种站法，由
（2）知甲、乙相邻有
240种站法，所以不相邻的站法有
－
720－240＝480（种）．
（4）方法一：
先将甲、乙以外的4个人作全排列，有
种，然后将甲、乙按条件插入站队，有
种，故共有
种站法．
方法二：
先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上，有
种，然后把甲、乙及中间2人看作一个“大”元素与余下2人作全排列有
种方法，最后对甲、乙进行排列，有
种方法，故共有
144种站法．
（5）方法一：
首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有
种，再让其他4人在中间位置作全排列，有
种，根据分步乘法计数原理，共有
种站法．
方法二：
首先考虑两个特殊位置，甲、乙去站有
种站法，然后考虑中间4个位置，由剩下的4人去站，有
种站法，由分步乘法计数原理共有
种站法．
（6）方法一：
甲在左端的站法有
种，乙在右端的站法有
种，且甲在左端而乙在右端的站法有
种，共有
种站法．
方法二：
以元素甲分类可分为两类：
①甲站右端有
种，②甲在中间4个位置之一，而乙不在右端有
种，故共有
=504种站法．
20.解：
⑴先考虑大于43251的数，分为以下三类
第一类：
以5打头的有：
=24
第二类：
以45打头的有：
=6
第三类：
以435打头的有：
=2
故不大于43251的五位数有：
（个）
即43251是第88项.
⑵数列共有A=120项，96项以后还有120-96=24项，
即比96项所表示的五位数大的五位数有24个，
所以小于以5打头的五位数中最大的一个就是该数列的第96项.即为45321.
（3）因为1，2，3，4，5各在万位上时都有
个五位数，所以万位上各个数字的和为：
（1+2+3+4+5）·
同理它们在千位、百位、十位、个位上也都有个
五位数，所有五位数的各位上的数字之和5·（1+2+3+4+5）·
=1800
（4）因为1，2，3，4，5各在万位上时都有
个五位数，所以万位上数字的和为：
（1+2+3+4+5）·
·10000
同理它们在千位、百位、十位、个位上也都有
个五位数，所以这个数列各项和为：
（1+2+3+4+5）·
·（1+10+100+1000+10000）
21.解：
（1）展开式第4r项的二项式系数为
，第r+2项的二项式系数为
，根据二项式系数的性质，当且仅当
或
时它们的二项式系数相等，解得
（舍），
。
（2）当r=4时第4r项是；
第r+2项是
。
22.证明:
因为
显然
能被25整除,25n能被25整除,
所以
能被25整除
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