怎样解题.docx
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怎样解题
怎样解题
第一部分：
关于波利亚
乔治·波利亚（GeorgePolya，1887-1985）美籍匈牙利数学家。
先后在布达佩斯、维也纳、哥廷根，巴黎等地攻读法律、语言、数学、物理和哲学，获布达佩斯大学哲学博士学位，是法国巴黎科学院、美国全国科学院和匈牙利科学院的院士。
波利亚毕生从事数学研究和数学教学工作，他一生发表了200多篇论文和许多专著，他在数学的广阔领域内有精深的造诣，许多数学分支上都做出了开创性的贡献，留下了许多以他的名字命名的术语和定理。
波利亚热心数学教育，十分重视培养学生思考问题和分析问题的能力，他认为中学数学教育的根本宗旨是"教会年轻人思考"。
"学习数学的主要目的在于解题。
""解题是一种本领，是只能靠模仿和实践才能学到的本领。
"解题关键在于找到合适的解题思路，认为"学习任何知识的最佳途径是由学生自己去发现，因为这种发现，理解最深，也最容易掌握其中的规律、性质和联系。
直接从老师或书本那儿被动的不假思索的接受过来的知识，可能很快忘掉，难于成为自己的东西。
"
波利亚说：
"掌握数学意味着什么？
这就是说善于解题，不仅善于解一些标准的题，而且善于解一些要求独立思考，思路合理，见解独到和有发现创造的题。
"他认为中学数学教学的首要任务就是"加强解题的训练"，"解题"作为培养学生的数学才能和教会他们思考的一种手段和途径。
这种思想得到了国际数学教育界的一致赞同，国际数学管理者委员会把解题能力列为十项基本技能的首位，美国数学教师联合会理事会把解题提到了"学校数学的核心"这一高度。
"学习难，学习数学更难"，许多人对数学望而生畏，大有谈虎色变的趋势。
大家都有这样的经历：
一道题，自己总也想不出解法，而别人却轻而易举地给出了一个绝妙的解法，这时你最希望知道的是"你是怎么想出这个解法的？
为什么我没有想到呢？
"作为数学教授的波利亚为了改变数学在公众心目中的形象，致力于解题的研究，为了回答"一个好的解法是如何想出来的"这个令人困惑的问题，他很早就开始探索数学中的发明创造，利用在大学任教的机会，通过与学生的交流和对学生的细致观察，认真研究了人们解题的过程，通过和一批数学大家的交流，花了整整三十年的时间，直到1944年才发展为名著《怎样解题》一书。
该书出版后，被译成多种文字，直到今天，该书仍被各国数学教育界奉为经典，波利亚的启发式教学和数学解题方法成为数学教育的一面旗帜，在全世界广为流传。
波利亚指出：
解题的价值不是答案的本身，而在于弄清"是怎样想到这个解法的？
"、"是什么促使你这样想，这样做的？
"这就是说，解题过程还是一个思维过程，是一个把知识与问题联系起来思考、分析、探索的过程。
波利亚认为"对你自己提出问题是解决问题的开始"，"当你有目的地向自己提出问题时，它就变成你自己的问题了"，"怎样解题表"是《怎样解题》一书的精华。
波利亚的"怎样解题表"将解题过程分成了四个步骤，只要解题时按这四个步骤去做，必能成功。
如果能在平时的解题中不断实践和体会该表，必能很快就会发出和波利亚一样的感叹：
"学数学是一种乐趣！
"
第二部分：
关于《怎样解题》表
"怎样解题"表
第一，你必须弄清问题。
弄清问题
未知数是什么？
已知数据（指已知数、已知图形和已知事项等的统称）是什么？
条件是什么？
满足条件是否可能？
要确定未知数，条件是否充分？
或者它是否不充分？
或者是多余的？
或者是矛盾的？
画张图。
引入适当的符号。
把条件的各个部分分开。
你能否把它们写下来？
第二，找出已知数与求知数之间的联系。
如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题。
你应该最终得出一个求解的计划。
拟定计划
你以前见过它吗？
你是否见过相同的问题而形式稍有不同？
你是否知道与此有关的问题？
你是否知道一个可能用得上的定理？
看着未知数！
试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。
这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题，你能应用它吗？
你能不能利用它？
你能利用它的结果吗？
为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？
你能不能重新叙述这个问题？
你能不能用不同的方法重新叙述它？
回到定义去。
如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题。
你能不能想出一个更容易着手的有关问题？
一个更普遍的问题？
一个更特殊的问题？
一个类比的问题？
你能否解决这个问题的一部分？
仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知能确定到什么程度？
它会怎样变化？
你能不能从已知数据导出某些有用的东西？
你能不能想出适合于确定未知数的其它数据？
如果需要的话，你能不能改变未知数和数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近？
你是否利用了所有的已知数据？
你是否利用了整个条件？
你是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念？
第三，实行你的计划。
实现计划
实现你的求解计划，检验每一步骤。
你能否清楚地看出这一步是正确的？
你能否证明这一步是正确的？
第四，验算所得到的解。
回顾反思
你能否检验这个论证？
你能否用别的方法导出这个结果？
你能否一下子看出它来？
你能不能把这结果或方法用于其它的问题？
《怎样解题》表是波利亚在分解解题的思维过程得到的，看似很平常的解题步骤或方法，其实却已包含几代人的智慧结晶和经验总结。
在这张包括"弄清问题"、"拟定计划"、"实现计划"和"回顾反思"四大步骤的解题全过程的解题表中，对第二步即"拟定计划"的分析是最为引人入胜的。
他把寻找并发现解法的思维过程分解为五条建议和二十三个具有启发性的问题，它们就好比是寻找和发现解法的思维过程进行分解，使我们对解题的思维过程看得见，摸得着，易于操作。
波利亚推崇探索法，他认为现代探索法力求了解解题过程，特别是解题过程中典型有用的智力活动。
他说《怎样解题》这本书就是实现这种计划的初步尝试，"怎样解题表"实质上就是试图诱发灵感的"智力活动表"。
波利亚的《怎样解题》表的精髓是启发你去联想。
联想什么？
怎样联想？
让我们看一看他在表中所提出的建议和启发性问题吧。
"你以前见过它吗？
你是否见过相同的问题而形式稍有不同？
你是否知道与此有关的问题？
你是否知道一个可能用得上的定理？
……"波利亚说他在写这些东西时，脑子里重现了他过去在研究数学时解决问题的过程，实际上是他解决和研究问题时的思维过程的总结。
这正是数学家在研究数学，特别是研究解题方法时的优势所在，绝非"纸上谈兵"。
回过头来想一想，我们会发现自己在解决问题时的确或多或少地经历了这样一个过程。
我们在解题时，为了找到解法，实际上也思考过表中的某些问题，只不过不自觉，没有意识到这些问题罢了。
在解决实际问题时，我们可能又忽略许多解决问题的方法和细节。
因此我们需要控制自己的思路，用顽强的意志不断地模仿解决问题的步骤和方法，争取达到灵活运用和创造性地解决问题的程度。
按波利亚提出的这些问题和建议去寻找解法，在解题的过程中，必将使自己的思维受到良好的训练，久而久之，不仅提高了解题能力，而且养成了有益的思维习惯。
第三部分：
关于《怎样解题》一书
第一篇：
在教室中
目的
1．帮助学生
教师最重要的任务之一是帮助他的学生。
这个任务并不很容易，它需要时间、实践、奉献和正确的原则。
学生应当获得尽可能多的独立工作的经验。
但是如果让他独自面对问题而得不到任何帮助或者帮助得不够。
那么他很可能没有进步。
但若教师对他帮助过多，那么学生却又无事可干，教师对学生的帮助应当不多不少，恰使学生有一个合理的工作量。
2．问题、建议、思维活动
在打算对学生进行有效、不显眼而又自然的帮助时，教师不免一而再，再而三地提出一些相同的问题，指出一些相同的步骤。
这样，在大量的问题中，我们总是问：
未知数是什么？
我们可以变换提法，以各种不同的方式提问同一个问题：
求什么？
你想找到什么？
你假定求的是什么？
这类问题的目的是把学生的注意力集中到未知数上。
有时，我们用一条建议：
看着未知数，来更为自然地达到同一效果。
问题与建议都以同一效果为目的：
即企图引起同样的思维活动。
3．普遍性
表中所提问题与建议的重要特点之一是普遍性，例如：
未知数是什么？
已知数是什么？
条件是什么？
这些问题都是普遍适用的，对于所有各类问题，我们提出这些问题都会取得良好效果。
它们的用途不限于任何题目。
我们的问题可以是代数的或几何的，数学的或非数学的，理论的或实际的，一个严肃的问题或仅仅是个谜语。
这没什么差别，上述问题都是有意义的，而且有助于我们解题。
4．常识
我们这张表中的问题与建议是具有普遍性的，但是除去其普遍性以外，它们也是自然的、简单的、显而易见的并且来自于普通常识。
例如这条建议：
看着未知数！
试想出一个具有相同未知数或类似未知数的熟悉的问题。
这条建议不管怎样总是劝告你去做你想做的事，而对于你认真要解决的问题并未提出具体的劝告。
你是不是肚子饿了？
如果你希望搞点吃的，你就会想起你所熟悉的搞到食物的一些办法。
你是不是有一个几何作图题？
如果你想作一个三角形，你也会想起你所熟悉的一些作三角形的办法。
你是否有一个任意的问题？
你若希望找出某个未知数，你就会想起找出这样一个未知数或你所熟悉的类似未知数的一些办法。
如果你这样做了，那你的路子也是对头的；这个建议是个好建议，它向你提出一个常能成功的程序。
我们表中的所有问题与建议都是自然的、简单的、显而易见的，而且只不过是普通常识；但是这张表把常识概括地加以叙述。
这张表所提出的处理办法对于那些认真对待其问题并有某些常识的人来说是很自然的。
然而按正确道路行动的人往往不注意用明确的语言来表达其行动，而且他可能根本不会这样做；我们这张表却尝试去表达这些。
5．教师与学生，模仿与实践
当教师向学生提出表中的问题或建议时，他可能有两个目的：
第一，帮助学生解决手头的问题；第二，培养学生将来能够独立解题的能力。
经验证明，适当使用我们表中的问题与建议，常能对学生有所裨益。
此表有两个特点：
常识性与普遍性。
由于此表来源于普通常识，所以显得很自然，学生自己也会提出这类问题。
由于此表具有普遍性，所以它们对学生的帮助并非强加于人；它们只不过指出了一般的方向，而留给学生去做的还很多。
上述两个目的是密切相关的。
如果学生在解决手边的问题中获得成功，他就提高了一些解题的能力。
这时，我们不应该忘记我们所提问题具有普遍性而且可适用于许多情况。
如果同一个问题反复地对学生有所帮助，那么他就会注意到这个问题，于是在类似的情况下，他自己就会提出这个问题。
通过反复地提出这个问题，他总会有一次成功地诱导出正确的念头。
通过这样一次成功，他便发现了利用这个问题的正确途径，于是，他真正地领会了它。
学生可能对我们表中的一些问题领会得很好，以致他最终能够在恰当的时刻向自己提出正确的问题，并进行相应的自然而活跃的思维活动。
这样，学生就无疑从我们的表中得到了尽可能多的收获。
为了得到尽可能好的结果，教师可以做些什么事呢？
解题，譬如，就好象游泳一样，是一种实际技能。
当你学习游泳时，你模仿其他人的手足动作使头部保持在水面上并最后通过实践（实地练习游泳）来学会游泳。
当试图解题时，你也必须观察并模仿其它人在解题时的所作所为，并且最后通过实践来学会解题。
希望提高学生解题能力的教师，必须培养学生的兴趣，然后给他们提供大量的机会去模仿与实践。
如果教师想要在他的学生中发展相应于我们表中的问题与建议的思维活动，那么他就应该尽可能地经常而自然地向学生提出这些问题和建议。
此外，当教师在全班面前解题时，他应当使其思路更吸引人一些，并且应当向自己提出那些在帮助学生时所使用的相同问题。
由于这样的指导，学生将终于找到使用表中这些问题与建议的正确方法，并且这样做以后，他将学到比任何具体数学知识更为重要的东西。
主要部分，主要问题
6．四个阶段
在求解过程中，我们很可能再三地改变我们的观点，或者改变考虑问题的途径。
我们应该不断地变更我们的出发点。
当我们开始着手解题时，我们对问题的概念可能很不完整；当我们有些进展以后，我们的看法就不同了；而当我们几乎已经得到解答的时候，看法就会更不相同。
为了把我们表中的问题与建议进行适当分组，我们把工作分为四个阶段。
首先，我们必须了解问题；我们必须清楚地看到要求的是什么？
其次，我们必须了解各个项之间有怎样的联系？
未知数和数据之间有什么关系？
为了得到解题的思路，应该制定一个计划。
第三，执行我们的计划。
第四，我们回顾所完成的解答，对它进行检查和讨论。
上述每一阶段都有其重要性。
可能会有这样的情况：
一个学生想出了一个异常好的念头，于是跳过所有的预备步骤，解答就脱口而出了。
如此幸运的念头当然是求之不得的，但是也可能发生很不如愿和很不走运的事：
即，学生通过上述四阶段中的任何一个阶段都没有想出好念头。
最糟糕的情况是：
学生并没有理解问题就进行演算或作图。
一般说来，在尚未看到主要联系或者尚未作出某种计划的情况下，去处理细节是毫无用处的。
如果学生在实行其计划的过程中检查每一个步骤，就可以避免许多错误。
如果学生不去重新检查或重新考虑已完成的解答，则可能失去某些最好的效果。
7、弄清问题
回答一个你尚未弄清的问题是愚蠢的。
去做一件你不愿干的事是可悲的。
在校内外，这种愚蠢和可悲的事情却经常发生，但教师应力求防止在他的班级里发生这样的事。
学生应当弄清问题，然而他不仅应当弄清它，而且还渴望解出它。
如果学生对问题没弄清或不感兴趣，这并不是他的过错，问题应当精选，所选的题目不太难但也不要太容易，应顺乎自然而且趣味盎然，并且有时在叙述方式上也应当自然而有趣。
首先，必须了解问题的文字叙述。
教师在某种程度上可以检查这一点，他可以要求学生重新叙述这题目，而学生应能流利地重新叙述这个问题。
学生还应当能够指出问题的主要部分，即未知数，已知数据，条件。
所以老师提问时，不要错过这样的问题：
未知数是什么？
已知数据是什么？
条件是什么？
学生应该仔细地、重复地并且从各个方面来考虑问题的主要部分。
如果问题和某一图形有关，那末他应该画张图并在上面标出未知数与已知数据。
如果对这些对象需要给以名称，他应该引入适当的符号。
适当地注意选择符号，他就会被迫考虑这些必须选择符号的对象。
在此预备阶段中，假定我们并不期望有一个明确的回答，而只不过想有一个临时性的回答或一个猜测，那么另外还有一个问题可能是有用的，即：
满足条件是否可能呢？
8、例子
让我们说明上节中的某几点内容。
我们选下列简单问题：
已知长方体的长、宽、高，求其对角线长度。
9．拟定计划
当我们知道，或至少大体上知道，为了求解未知数，必须完成哪些计算、要作哪些图的时候，我们就有了一个计划。
从弄清问题到想出一个计划，其过程可能是漫长而曲折的。
事实上，求解一个问题的主要成绩是构想出一个解题计划的思路。
这个思路可能是逐渐形成的。
或者，在明显失败的尝试和一度犹豫不决之后，突然闪出了一个"好念头"。
老师为学生所能做的最大的好事是通过比较自然的帮助，促使他自己想出一个好念头。
我们下面就要讨论的问题与建议正是要诱发这样一种好念头。
为了弄清学生的心理活动，老师应当回想他自己的经验，回顾他自己在解题时碰到的困难与取得成功的经验。
我们当然知道，如果我们对该论题知识贫乏，是不容易产生好念头的。
如果我们完全没有知识，则根本不可能产生好念头。
一个好念头的基础是过去的经验和已有的知识。
仅仅靠记忆不足以产生好念头。
但若不重新收集一些有关事实，则也不会出现好念头。
只有材料还不足以盖房子，但是不收集必需的材料也盖不了房子。
解决数学问题所必需的材料是我们早已获得的数学知识的某些有关内容，如以前解决的问题，以前证明过的定理。
因此，以下列问题开始工作常常是合适的：
你知道一个与此有关的问题吗？
困难就在于：
通常有相当多的问题与我们现在手上的问题有关，即，与它有某种共同之处。
我们怎样挑出其中一个或几个确实有用的问题呢？
我们建议把力量放在主要的共同之处上：
看着未知数！
试想起一个具有相同或相似未知数的熟悉的问题来。
如果我们成功地回想起一个与当前问题密切相关的早已解决的问题，那是很幸运的。
我们应当争取这样的运气；通过探索我们是可以得到它的。
这里有个问题与你的问题有关，且早已解决，你能利用它吗？
上述问题，如能很好地理解和认真地加以考虑，常常有助于激发起一连串正确的想法；但它们并不总是有用的，它们并非魔法。
如果这些问题不行，我们必须寻找某些其他的适当接触点，并且探索问题的各个方面；我们不得不变化、变换、修改该问题。
你能否重述这个问题？
我们表中的某些问题提示了改变问题的专门方法，例如普遍化、特殊化、应用类比、舍去一部分条件等等；具体细节是重要的，但我们现在不能深入讨论。
改变问题可能导致提出某种适当的辅助问题：
如果你不能解决所提出的问题，则应首先尝试去解决某些与此有关的问题。
尝试去应用各种已知的问题或定理，考虑各种修改，对各种辅助问题进行试验，我们可能离开原来的问题太远，甚至最后有失掉它的危险。
但是还有一个很好的问题可以把我们带回原处：
你是否利用了所有的已知数据？
你是否利用了整个条件？
10．例子
我们回到第8节中的例子。
11．实现计划
想出一个计划，产生一个求解的念头是不容易的。
要成功需要有许多条件，如已有的知识、良好的思维习惯、目标集中，还要有好运气。
但实现计划则容易得多，我们所需要的主要是耐心。
计划仅给出一个一般性的大纲，我们必须充实细节并耐心地检查每一个细节，直到每一点都完全清楚了，没有任何可能隐藏错误的含糊之处为止。
如果学生真的拟定出一个计划，则教师就比较清闲了。
现在的主要危险是学生可能会忘记他的计划。
因为那些从外界接受计划的和根据教师的权威来采纳某个计划的学生，很容易发生这种现象；但若是学生自己搞出来的计划（即便经过某种帮助）并且学生满意地看出了最终的思路，则他就不那么容易忘记。
教师必须坚持让学生检查每一个步骤。
根据"直观"或"形式"上的论证，我们可以使自己相信每一步骤的正确性。
我们可以集中力量在有问题的疑点上，直到完全搞清楚，毫不怀疑每一步骤都是正确的为止；或者我们可以根据形式推理的法则推导出有问题的这一点（在许多重要的场合，直接观察与形式证明二者间的区别是足够明显的；更进一步的讨论让我们留给哲学家们去进行吧！
）
主要之点是：
学生应当真正地相信每一步骤的正确性。
在某些情况老师可以强调"看出来"与"证明"二者之间的差别而提出：
你能清楚地看出这一步骤是正确的吗？
同时你也能证明这一步骤是正确的吗？
12．例子
13．回顾
即使是相当好的学生，当他得到问题的解答，并且很干净利落地写下论证后，就会合上书本，找点别的事来干干。
这样做，他们就错过了解题的一个重要而有教益的方面。
通过回顾所完成的解答，通过重新考虑与重新检查这个结果和得出这一结果的路子，学生们可以巩固他们的知识和发展他们解题的能力。
一个好的教师应该懂得并且传授给学生下述看法：
没有任何问题是可以解决得十全十美的。
总剩下些工作要做。
经过充分的探讨与钻研，我们能够改进这个解答，而且在任何情况下，我们总能提高自己对这个解答的理解水平。
现在学生已经完成了他的计划。
他已经写出了答案，检查了每一步。
这样，他似乎有充分理由相信他的解答是正确的了。
然而，出现错误总还是可能的，特别当论证冗长而复杂的时候更是如此。
所以要验证。
特别是，如果有某种快速而直观的办法来检验结果或者检验论证，决不要忽略。
你能检验这结果吗？
你能检验这个论证吗？
为了确信某个东西的存在或其质量的好坏，我们总喜欢去看看它，摸摸它。
我们总是通过两种不同的感官来感知它。
同样，我们也宁可通过两种不同的证明使我们对结果确信无疑。
因此要问：
你能用不同方法来导出这结果吗？
当然，我们宁愿要简短而直观的论证，而不要冗长而烦琐的，所以要问：
你能一下子看出它吗？
教师的首要职责之一是不要给学生以下述错觉：
数学题目之间很少有联系，和任何其他事物则完全没有什么联系。
当我们回顾问题解答的时候，我们自然有机会来考察一个问题与其它事物的联系。
如果学生已经作出了真诚的努力并且意识到自己完成得不错，那末他们将发现对解答加以回顾确实饶有趣味。
这样，他们就热切地想知道用真诚的努力还可干些什么别的，以及下次他如何能干得同样好。
教师应该鼓励学生设想一些情况，在那些情况下，他能再一次利用所使用的办法，或者应用所得到的结果。
你能把这结果或这方法用于某个其它问题吗？
14．例子
15．不同的方法
16．教师提问的方法
17．好问题与坏问题
更多的例子
18．一个作图题
在给定三角形中作一正方形。
正方形的两个顶点在三角形的底边上，另二
个顶点分别在三角形的另两边上。
19．一个证明题
在不同平面上的两个角，其中一个角的每一边平行于另一角的对应边且方向相同。
证明这两个角相等。
20．一个速率问题
第二篇:
怎样解题--一段对话
1．熟悉问题
我应该从哪儿开始？
从问题的叙述开始。
我能做什么？
观察揣摩整个问题，尽量使其清晰而鲜明。
暂时先抛开细节。
这样做，我能得到什么好处？
你会明白问题，使自己熟悉问题，并把问题的目标牢记在脑海中。
这样全神贯注地对待问题也会调动起你的记忆力，做好准备去重新联想与问题有关的各点。
2．深入理解问题
我应该从哪儿开始？
还是从问题的叙述开始。
当你对问题的叙述已如此清楚并已深深地印入脑海，以致你即使暂时不去看它，你也不怕把它完全忘掉时，你就可以开始下面的工作了。
我能做什么？
先把问题的主要部分剖析出来。
因为前提与结论是"求证题"的主要部分。
未知、已知与条件是"求解题"的主要部分。
再把问题中的主要部分都弄一遍，并且要逐个地考虑，轮流地考虑，而且在各种组合中来考虑，同时把每个细节与其它细节联系起来，把每个细节与整个问题联系起来。
这么做，我能得到什么好处？
你会准备好并弄清楚以后可能起作用的细节。
3．探索有益的念头
应该从哪儿开始？
从考虑问题的主要部分开始。
当主要部分能很清楚地排列出来，想得明明白白（这应归功于你前面的工作）并且也记得住时，这时开始做下一步。
怎样进行？
从各个方面来考虑你的问题，找出与你现有知识有关之处。
从各个方面考虑你的问题。
分别突出各个部分，考察各个细节，用不同方法反复审查同一细节。
把细节用不同方式组合起来，从不同角度考虑它。
试着在每一细节中发现某些新意义，尝试在整个问题中得出某些新解释。
从你现有知识中找出与问题有关之处。
试想过去在类似的情况下有什么曾帮过你的忙。
在你所考察的内容中，设法找出熟悉的东西来，在你所熟悉的东西中，努力找出有用的东西来。
能找出什么？
一个有用的念头，也许是个决定性的念头，它能使你一限看出解决问题的途径。
念头有什么用？
它会给你指出整个或部分解题途径，它或多或少地清楚地向你建议该怎么做。
念头多多少少还是完整的。
如果你有一个念头，你就够幸运的了。
碰上一个不完整的念头怎么办？
应该加以考虑。
如果它看来有好处，就应该多考虑一会儿。
如果它看来是可靠的，你应当确定它能引导你走多远，并重新考虑一下形势。
由于这个有益的念头，情况已经变化了。
你要从各个方面来考虑新形势并找出它与你现有知识之间的联系。
再次这样做，还能得到什么好处？
如果你走运的话，你或许能找到另一个念头。
也许下一个念头会引导你去解决问题。
也许在下一个念头以后，你还需要几个有益的念头。
也许有些念头会把你引入歧途。
无论如何，你应当感谢所有的新念头，感谢那些次要的念头，感谢那些模糊的念头，也感谢那些使模糊念头得以纠正的补充性念头。
即使你暂时还没有发现什么有价值的新念头，但如果你对问题的概念更完全了，或者更连贯、更和谐或者更平衡了，那你也应当表示感谢。
4．实现计划
应该从哪儿开始？
从引导到解决问题的思路开始。
当你感到你已抓住主要的联系，并且自信能提供可能需要的次要细节时，就开始。
怎么做？
你对问题应抓得很有把握。
详细地进行你以前认为可行的全部代数或几何运算。
用形式推理或直接观察检查每一步骤的正确性，或者，如果你能够的话，两种方法都用。
如果你的问题很复杂，你可以分成"大"步骤和"小"步骤，每一大步骤又由几
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