新课标天津市高考数学二轮复习题型练7大题专项五解析几何综合问题理.docx

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新课标天津市高考数学二轮复习题型练7大题专项五解析几何综合问题理

题型练7　大题专项（五）解析几何综合问题

1.（2018天津,理19）设椭圆=1（a>b>0）的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,点A的坐标为（b,0）,且|FB|·|AB|=6.

（1）求椭圆的方程;

（2）设直线l:

y=kx（k>0）与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q.若sin∠AOQ（O为原点）,求k的值.

2.已知椭圆C:

=1（a>b>0）经过点,离心率为.

（1）求椭圆C的方程;

（2）不垂直于坐标轴的直线l与椭圆C交于A,B两点,以AB为直径的圆过原点,且线段AB的垂直平分线交y轴于点P,求直线l的方程.

3.设椭圆=1（a>）的右焦点为F,右顶点为A.已知,其中O为原点,e为椭圆的离心率.

（1）求椭圆的方程;

（2）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上）,垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BF⊥HF,且∠MOA≤∠MAO,求直线l的斜率的取值范围.

4.（2018北京,理19）已知抛物线C:

y2=2px经过点P（1,2）.过点Q（0,1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于点M,直线PB交y轴于点N.

（1）求直线l的斜率的取值范围;

（2）设O为原点,=λ=μ,求证:

为定值.

5.已知抛物线C:

y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.

（1）若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;

（2）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.

6.

如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:

=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上,且位于第一象限,过点F1作直线PF1的垂线l1,过点F2作直线PF2的垂线l2.

（1）求椭圆E的标准方程;

（2）若直线l1,l2的交点Q在椭圆E上,求点P的坐标.

题型练7　大题专项（五）

解析几何综合问题

1.解

（1）设椭圆的焦距为2c,由已知有,

又由a2=b2+c2,可得2a=3b.

由已知可得,|FB|=a,|AB|=b.

由|FB|·|AB|=6,可得ab=6,

从而a=3,b=2.

所以,椭圆的方程为=1.

（2）设点P的坐标为（x1,y1）,点Q的坐标为（x2,y2）.

由已知有y1>y2>0,故|PQ|sin∠AOQ=y1-y2.

又因为|AQ|=,而∠OAB=,

故|AQ|=y2.

由sin∠AOQ,可得5y1=9y2.

由方程组消去x,可得y1=易知直线AB的方程为x+y-2=0,由方程组消去x,可得y2=

由5y1=9y2,可得5（k+1）=3,两边平方,整理得56k2-50k+11=0,解得k=,或k=

所以,k的值为

2.解

（1）由题意得解得a=2,b=1.

故椭圆C的方程是+y2=1.

（2）设直线l的方程为y=kx+t,设A（x1,y1）,B（x2,y2）,

联立消去y,得（1+4k2）x2+8ktx+4t2-4=0,则有x1+x2=,x1x2=

Δ>0⇒4k2+1>t2,

y1+y2=kx1+t+kx2+t=k（x1+x2）+2t=,

y1y2=（kx1+t）（kx2+t）=k2x1x2+kt（x1+x2）+t2

=k2+kt+t2=

因为以AB为直径的圆过坐标原点,所以OA⊥OB,x1x2+y1y2=0.

因为x1x2+y1y2==0,

所以5t2=4+4k2.因为Δ>0,所以4k2+1>t2,解得t<-或t>

又设A,B的中点为D（m,n）,则m=,n=

因为直线PD与直线l垂直,

所以kPD=-,得

由解得

当t=-时,Δ>0不成立.当t=1时,k=±,

所以直线l的方程为y=x+1或y=-x+1.

3.解

（1）设F（c,0）,由,

即,可得a2-c2=3c2,

又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4.

所以,椭圆的方程为=1.

（2）设直线l的斜率为k（k≠0）,

则直线l的方程为y=k（x-2）.

设B（xB,yB）,由方程组

消去y,整理得（4k2+3）x2-16k2x+16k2-12=0.

解得x=2,或x=,

由题意得xB=,从而yB=

由

（1）知,F（1,0）,设H（0,yH）,有=（-1,yH）,

由BF⊥HF,得=0,所以=0,解得yH=

因此直线MH的方程为y=-x+

设M（xM,yM）,由方程组消去y,

解得xM=

在△MAO中,∠MOA≤∠MAO⇔|MA|≤|MO|,

即（xM-2）2+,化简得xM≥1,即1,解得k≤-,或k

所以,直线l的斜率的取值范围为

4.

（1）解因为抛物线y2=2px经过点P（1,2）,

所以4=2p,解得p=2,

所以抛物线的方程为y2=4x.

由题意可知直线l的斜率存在且不为0,

设直线l的方程为y=kx+1（k≠0）.

由得k2x2+（2k-4）x+1=0.

依题意,Δ=（2k-4）2-4×k2×1>0,

解得k<0或0

又PA,PB与y轴相交,故直线l不过点（1,-2）,从而k≠-3.

所以直线l斜率的取值范围是（-∞,-3）∪（-3,0）∪（0,1）.

（2）证明设A（x1,y1）,B（x2,y2）.

由

（1）知x1+x2=-,x1x2=

直线PA的方程为y-2=（x-1）.

令x=0,得点M的纵坐标为yM=+2=+2.

同理得点N的纵坐标为yN=+2.

由==,

得λ=1-yM,μ=1-yN.

所以

=

==2.

所以为定值.

5.解由题知F

设l1:

y=a,l2:

y=b,则ab≠0,

且A,B,P,Q,R

记过A,B两点的直线为l,

则l的方程为2x-（a+b）y+ab=0.

（1）证明:

由于F在线段AB上,故1+ab=0.

记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,

则k1==-b=k2.

所以AR∥FQ.

（2）设l与x轴的交点为D（x1,0）,

则S△ABF=|b-a||FD|=|b-a|,S△PQF=

由题设可得2|b-a|,

所以x1=0（舍去）,x1=1.

设满足条件的AB的中点为E（x,y）.

当AB与x轴不垂直时,由kAB=kDE可得（x≠1）.

而=y,所以y2=x-1（x≠1）.

当AB与x轴垂直时,E与D重合.

所以,所求轨迹方程为y2=x-1.

6.解

（1）设椭圆的半焦距为c.

因为椭圆E的离心率为,两准线之间的距离为8,

所以=8,解得a=2,c=1,于是b=,因此椭圆E的标准方程是=1.

（2）由

（1）知,F1（-1,0）,F2（1,0）.

设P（x0,y0）,因为P为第一象限的点,故x0>0,y0>0.

当x0=1时,l2与l1相交于F1,与题设不符.

当x0≠1时,直线PF1的斜率为,直线PF2的斜率为

因为l1⊥PF1,l2⊥PF2,所以直线l1的斜率为-,直线l2的斜率为-,

从而直线l1的方程:

y=-（x+1）,①

直线l2的方程:

y=-（x-1）.②

由①②,解得x=-x0,y=,

所以Q

因为点Q在椭圆上,由对称性,得=±y0,即=1或=1.

又P在椭圆E上,故=1.

由解得x0=,y0=无解.

因此点P的坐标为