北京市一零一中学届高三月考数学理试题 Word版含答案.docx
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北京市一零一中学届高三月考数学理试题Word版含答案
北京101中学2018届下学期高三年级3月月考数学试卷(理科)
一、选择题:
共8小题,共40分。
在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
1.在复平面内,复数z满足z(1+i)=2,则z的共轭复数对应的点位于()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2.已知直线l1:
x+ay-1=0,l2:
(a+1)x-ay=0,若p:
l1∥l2;q:
a=-2,则p是q的()
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
3.设x,y满足约束条件,则目标函数z=-2x+y的最小值为()
A.-4B.-2C.0D.2
4.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题:
“今有垣厚十尺,两鼠对穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问几何日相逢?
”现用程序框图描述,如图所示,则输出的行值n为()
A.5B.4C.3D.2
5.函数y=2x2-e|x|在[-2,2]的图象大致为()
6.某学校开设“蓝天工程博览课程”,组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆,每个年级任选一个博物馆参观,则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有()
A.A×A种B.A×54种C.C×54种D.C×A种
7.设函数f(x)=Asin(x+)(A,,是常数,A>0,>0),且函数f(x)的部分图象如图所示,则有()
A.
B.
C.
D.<
8.已知A、B是单位圆O上的两点(O为圆心),∠AOB=120°,点C是线段AB上不与A、B重合的动点。
MN是圆O的一条直径,则的取值范围是()
A.[,0)B.[,0]C.[,1)D.[,1]
二、填空题:
共6小题,共30分。
9.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=-11,a4+a6=-6,则当Sn取最小值时,n的值为_______。
10.在极坐标系中,过点(2,)且与极轴平行的直线的极坐标方程是________。
11.已知x>0,y>0,x+2y=1,则的最小值为__________。
12.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为__________。
13.在(x+)(2x-1)5展开式中,各项系数之和为4,则展开式中的常数项为_______。
14.已知函数f(x),对于给定的实数t,若存在a>0,b>0,满足:
x[t-a,t+b],使得|f(x)-f(t)|2,则记a+b的最大值为H(t)。
(1)当f(x)=2x时,H(0)=_________;
(2)当f(x)=x2且t∈[1,2]时,函数H(t)的值域为__________。
三、解答题:
共6小题,共80分。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
15.在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c且满足(2a-c)cosB=bcosC。
(I)求角B的大小;(II)若ABC的面积为,且b=,求a+c的值.
16.某中学有初中学生1800人,高中学生1200人。
为了解学生本学期课外阅读时间,现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名学生,先统计了他们课外阅读时间,然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组,再将每组学生的阅读时间(单位:
小时)分为5组:
[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50],并分别加以统计,得到如下图所示的频率分布直方图。
(I)写出a的值;
(II)试估计该校所有学生中,阅读时间不小于30个小时的学生人数;
(III)从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人,并用X表示其中初中生的人数,求X的分布列和数学期望。
17.如图,四边形ABCD是梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,四边形CC1D1D为矩形,已知AB⊥BC1,AD=4,AB=2,BC=1。
(I)求证:
BC1∥平面ADD1;
(II)若DD1=2,求平面AC1D1与平面ADD1所成的锐二面角的余弦值;
(III)设P为线段C1D上的一个动点(端点除外),判断直线BC1与直线CP能否垂直?
并说明理由。
18.如图,已知椭圆C:
(a>b>0)的离心率为,F为椭圆C的右焦点。
A(-a,0),|AF|=3。
(I)求椭圆C的方程;
(II)设O为原点,P为椭圆上一点,AP的中点为M。
直线OM与直线x=4交于点D,过O且平行于AP的直线与直线x=4交于点E。
求证:
∠ODF=∠OEF。
19.已知函数f(x)=。
(I)求f(x)在区间[1,a](a>1)上的最小值;
(II)若关于x的不等式f2(x)+mf(x)>0只有两个整数解,求实数m的取值范围。
20.设数列{an}满足:
①a1=1;②所有项an∈N*;③1=a1设集合Am={n|an≤m,m∈N*),将集合Am中的元素的最大值记为bm,即bm是数列{an}中满足不等式an≤m的所有项的项数的最大值。
我们称数列{bn}为数列{an}的伴随数列。
例如,数列1,3,5的伴随数列为1,1,2,2,3。
(I)若数列{an}的伴随数列为1,1,2,2,2,3,3,3,3……,请写出数列{an};
(II)设an=4n-1,求数列{an}的伴随数列{bn}的前50项之和;
(III)若数列{an}的前n项和(其中c为常数),求数列{an}的伴随数列{bm}的前m项和Tm。
参考答案
一、选择题:
本大题共8小题,共40分。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
A
B
D
C
D
A
二、填空题:
本大题共6小题,共30分。
9.610.11.812.8+6
13.3014.2;,2)[2,4]
三、解答题:
本大题共6小题,共80分。
(解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程)
15.(本小题13分)
解:
(I)∵(2a-c)cosB=bcosC,∴2acosB=bcosC+ccosB,
∴2sinAcosB=sinBcosC+sinBcosC=sin(B+C)=sin(-A)=sinA
∵00,∴2cosB=1,cosB=
又∵0
(II)S=acsinB=ac=,ac=6,
b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac=3
∴(a+c)2=21,∴a+c=…………………………13分
16.(本小题13分)
(I)解:
a=0.03。
……………3分
(II)解:
由分层抽样,知抽取的初中生有60名,高中生有40名。
…………4分
因为初中生中,阅读时间不小于30个小时的学生频率为(0.02+0.005)×10=0.25,
所以所有的初中生中,阅读时间不小于30个小时的学生约有0.25×1800=450人,
………………6分
同理,高中生中,阅读时间不小于30个小时的学生频率为(0.03+0.005)×10=0.35,学生人数约有0.35×1200=420人。
所以该校所有学生中,阅读时间不小于30个小时的学生人数约有450+420=870人。
………………8分
(III)解:
初中生中,阅读时间不足10个小时的学生频率为0.005×10=0.05,样本人数为0.05×60=3人。
同理,高中生中,阅读时间不足10个小时的学生样本人数为(0.005×10)×40=2人。
故X的可能取值为l,2,3.………………9分
则P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=。
所以X的分布列为:
X
1
2
3
P
………………12分
所以E(X)=1×+2×+3×=。
………13分
17.(本小题14分)
(I)证明:
由CC1D1D为矩形,得CC1∥DD1,又因为DD1平面ADD1,CC1平面ADD1,
所以CC1∥平面ADD1,………………2分
同理BC∥平面ADD1,又因为BCCC1=C,所以平面BCC1∥平面ADD1,……3分
又因为BC1平面BCC1,所以BC1∥平面ADD1。
………4分
(II)解:
由平面ABCD中,AD∥BC,∠BAD=90°,得AB⊥BC,又因为AB⊥BC1,BCBC1=B,所以AB⊥平面BCC1,所以AB⊥CC1,又因为四边形CC1D1D为矩形,且底面ABCD中AB与CD相交一点,所以CC1⊥平面ABCD,因为CC1∥DD1,所以DD1⊥平面ABCD。
过D在底面ABCD中作DM⊥AD,所以DA,DM,DD1两两垂直,以DA,DM,DD1分别为x轴、y轴和z轴,如图建立空间直角坐标系,………………6分
则D(0,0,0),A(4,0,0),B(4,2,0),C(3,2,0),C1(3,2,2),D1(0,0,2),
所以=(-l,2,2),=(-4,0,2)。
设平面AC1D1的一个法向量为m=(x,y,z),
由m·=0,m·=0,得
令x=2,得m=(2,-3,4)…………8分
易得平面ADD1的法向量n=(0,1,0)。
所以cos=。
即平面AC1D1与平面ADD1所成的锐二面角的余弦值为。
…………10分
(III)结论:
直线BC1与CP………………11分
证明:
设DD1=m(m>0),=(∈(0,1)),
由B(4,2,0),C(3,2,0),C1(3,2,m),D(0,0,0),
得=(-l,0,m),=(3,2,m),==(3,2,m),=(-3,-2,0),=+=(3-3,2-2,m)。
………………12分
若BC1⊥CP,则·=-(3-3)+m2=0,即(m2-3)=-3,因为≠0,
所以m2=-+3>0,解得>1,这与0<所以直线BC1与CP不可能垂直。
……………14分
18.(本小题14分)
解:
(I)设椭圆C的半焦距为c。
依题意,得
,a+c=3。
[2分]
解得a=2,c=1。
所以b2=a2-c2=3,
所以椭圆C的方程是[4分]
(II)解法一:
由(I)得A(-2,0)。
设AP的中点M(x0,y0),P(x1,y1)。
设直线AP的方程为:
y=k(x+2)(k≠0),将其代入椭圆方程,整理得
(4k2+3)x2+16k2x+16k2-12=0,[6分]
所以-2+x1=.[7分]
所以x0=,y0=k(x0+2)=,
即M(,).[8分]
所以直线OM的斜率是,[9分]
所以直线OM的方程是y=-x。
令x=4,得D(4,-)。
[10分]
直线OE的方程是y=kx。
令x=4,得E(4,4k)。
[11分]
由F(1,0),得直线EF的斜率是=,所以EF⊥OM,记垂足为H;
因为直线DF的斜率是=,所以DF⊥OE,记垂足为G.[13分]
在Rt△EHO和Rt△DGO中,∠ODF和∠OEF都与∠EOD互余,
所以∠ODF=∠OEF.[14分]
19.(本小题13分)
解:
(1)f'(x)=,令f'(x)>0得f(x)的递增区间为(0,);
令f'(x)<0得f(x)的递减区间为(,+),……………2分
∵x∈[l,a],则当1f
(1)=ln2;...........3分
当a>时,f(x)在[1,)上为增函数,在(,a]上为减函数,f
(2)==