[典例2] 河宽l＝300m，水速u＝1m/s，船在静水中的速度v＝3m/s，欲分别按下列要求过河时，船头应与河岸成多大角度？
过河时间是多少？
（1）以最短时间过河；
（2）以最小位移过河；
（3）到达正对岸上游100m处。
[典例3] 如图4 1 5所示，一艘轮船正在以4m/s的速度沿垂直于河岸方向匀速渡河，河中各处水流速度都相同，其大小为v1＝3m/s，行驶中，轮船发动机的牵引力与船头朝向的方向相同。
某时刻发动机突然熄火，轮船牵引力随之消失，轮船相对于水的速度逐渐减小，但船头方向始终未发生变化。
求：
（1）发动机未熄火时，轮船相对于静水行驶的速度大小。
（2）发动机熄火后，轮船相对于河岸速度的最小值。
[针对训练]
8．（多选）（2016·衡水高三月考）小船横渡一条两岸平行的河流，船本身提供的速度（即静水速度）大小不变、船身方向垂直于河岸，水流速度与河岸平行，已知小船的运动轨迹如图4 1 6所示，则（ ）
A．越接近河岸水流速度越小
B．越接近河岸水流速度越大
C．无论水流速度是否变化，这种渡河方式耗时最短
D．该船渡河的时间会受水流速度变化的影响
9．小船过河时，船头偏向上游与水流方向成α角，船相对静水的速度为v，其航线恰好垂直于河岸。
现水流速度稍有增大，为保持航线不变，且准时到达对岸，下列措施中可行的是（ ）
A．增大α角，增大船速v
B．减小α角，增大船速v
C．减小α角，保持船速v不变
D．增大α角，保持船速v不变
10．（多选）（2015·湖北省重点中学联考）一只小船在静水中的速度为3m/s，它要渡过一条宽为30m的河，河水流速为4m/s，则这只船（ ）
A．过河时间不可能小于10sB．不能沿垂直于河岸方向过河
C．渡过这条河所需的时间可以为6sD．不可能渡过这条河
11．有甲、乙两只船，它们在静水中航行速度分别为v1和v2，现在两船从同一渡口向河对岸开去，已知甲船想用最短时间渡河，乙船想以最短航程渡河，结果两船抵达对岸的地点恰好相同。
则甲、乙两船渡河所用时间之比
为（ ）
A．
B．
C．
D．
要点四 关联速度问题
1．模型特点
沿绳（或杆）方向的速度分量大小相等。
2．思路与方法
合速度→物体的实际运动速度v
分速度→
方法：
v1与v2的合成遵循平行四边形定则。
3．常见模型
把物体的实际速度分解为沿绳（杆）和垂直于绳（杆）的两个分量，根据沿绳（杆）方向的分速度大小相等求解。
常见的模型如图4 1 8所示。
图4 1 8
[典例4] （多选）（2016·天津实验中学模拟）如图4 1 9所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的小环，小环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为d。
现将小环从与定滑轮等高的A处由静止释放，当小环沿直杆下滑距离也为d时（图中B处），下列说法正确的是（重力加速度为g）（ ）
A．小环刚释放时轻绳中的张力一定大于2mg
B．小环到达B处时，重物上升的高度为（
－1）d
C．小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于
D．小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于
[针对训练]
12．（多选）（2016·东北师大附中模拟）如图4 1 10所示，人在岸上拉船，已知船的质量为m，水的阻力恒为Ff，当轻绳与水平面的夹角为θ时，船的速度为v，此时人的拉力大小为F，则此时（ ）
A．人拉绳行走的速度为vcosθB．人拉绳行走的速度为
C．船的加速度为
D．船的加速度为
13．（2016·北京朝阳区二模）如图4 1 11所示，长为L的直棒一端可绕固定轴转动，另一端搁在升降平台上，平台以速度v匀速上升，当棒与竖直方向的夹角为α时，棒的角速度为（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（多选）如图4 1 12所示，A、B两球分别套在两光滑的水平直杆上，两球通过一轻绳绕过一定滑轮相连，现在将A球以速度v向左匀速移动，某时刻连接两球的轻绳与水平方向的夹角分别为α、β，下列说法正确的是（ ）
A．此时B球的速度为
vB．此时B球的速度为
v
C．在β增大到90°的过程中，B球做匀速运动D．在β增大到90°的过程中，B球做加速运动
15．如图4 1 12所示，水平面上有一汽车A，通过定滑轮用绳子拉同一水平面的物体B，当拉至图示位置时，两绳子与水平面的夹角分别为α、β，二者速度分别为vA和vB，则（ ）
A．vA∶vB＝1∶1
B．vA∶vB＝sinα∶sinβ
C．vA∶vB＝cosβ∶cosα
D．vA∶vB＝sinα∶cosβ
生活中的运动合成问题
（一）骑马射箭
1．（多选）民族运动会上有一骑射项目如图4 1 13所示，运动员骑在奔跑的马上，弯弓放箭射击侧向的固定目标。
假设运动员骑马奔驰的速度为v1，运动员静止时射出的弓箭速度为v2，跑道离固定目标的最近距离为d。
要想命中目标且射出的箭在空中飞行时间最短，则（ ）
A．运动员放箭处离目标的距离为
B．运动员放箭处离目标的距离为
C．箭射到固定目标的最短时间为
D．箭射到固定目标的最短时间为
（二）下雨打伞
2．雨滴在空中以4m/s的速度竖直下落，人打伞以3m/s的速度向西急行，如果希望雨滴垂直打向伞的截面而少淋雨，伞柄应指向什么方向？
（三）转台投篮
3．（2016·奉贤区二模）趣味投篮比赛中，运动员站在一个旋转较快的大平台边缘上，相对平台静止，向平台圆心处的球筐内投篮球。
则如图（各俯视图）篮球可能被投入球筐（图中箭头指向表示投篮方向）的是（ ）
（四）风中骑车
4．某人骑自行车以4m/s的速度向正东方向行驶，天气预报报告当时是正北风，风速为4m/s，那么，骑车人感觉到的风向和风速为（ ）
A．西北风 风速为4m/sB．西北风 风速为4
m/s
C．东北风 风速为4m/sD．东北风 风速为4
m/s
对点训练：
合运动的轨迹与性质判断
1．（多选）（2016·揭阳期末）某质点在光滑水平面上做匀速直线运动。
现对它施加一个水平恒力，则下列说法正确的是（ ）
A．施加水平恒力以后，质点可能做匀加速直线运动
B．施加水平恒力以后，质点可能做匀变速曲线运动
C．施加水平恒力以后，质点可能做匀速圆周运动
D．施加水平恒力以后，质点立即有加速度，速度也立即变化
对点训练：
运动的合成与分解
2．（2016·保定一中检测）物体在直角坐标系xOy所在的平面内由O点开始运动，其沿坐标轴方向的两个分速度随时间变化的图像如图3所示，则对该物体运动过程的描述正确的是（ ）
图3
A．物体在0～3s做直线运动
B．物体在3～4s做直线运动
C．物体在3～4s做曲线运动
D．物体在0～3s做变加速运动
3．如图4所示，在竖直平面的xOy坐标系中，Oy竖直向上，Ox水平。
设平面内存在沿x轴正方向的恒定风力。
一小球从坐标原点沿Oy方向竖直向上抛出，初速度为v0＝4m/s，不计空气阻力，到达最高点的位置如图中M点所示（坐标格为正方形，g取10m/s2）求：
（1）小球在M点的速度v1；
（2）在图中定性画出小球的运动轨迹并标出小球落回x轴时的位置N；
（3）小球到达N点的速度v2的大小。
4.光滑平面上一运动质点以速度v通过原点O，v与x轴正方向成α角（如图1所示），与此同时对质点加上沿x轴正方向的恒力Fx和沿y轴正方向的恒力Fy，则（ ）
A．因为有Fx，质点一定做曲线运动
B．如果Fy＞Fx，质点向y轴一侧做曲线运动
C．质点不可能做直线运动
D．如果Fy＜Fxtanα，质点向x轴一侧做曲线运动
对点训练：
运动的合成与分解
5．（多选）（2015·洛阳联考）如图4所示，起重机将货物沿竖直方向以速度v1匀速吊起，同时又沿横梁以速度v2水平匀速向右运动，关于货物的运动下列表述正确的是（ ）
A．货物的实际运动速度为v1＋v2
B．货物的实际运动速度为
C．货物相对地面做曲线运动
D．货物相对地面做直线运动
对点训练：
关联速度问题
6．如图5所示，人沿平直的河岸以速度v行走，且通过不可伸长的绳拖船，船沿绳的方向行进，此过程中绳始终与水面平行。
当绳与河岸的夹角为α时，船的速率为（ ）
A．vsinα B．
C．vcosαD．
7．如图6所示，套在竖直细杆上的环A由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳与重物B相连。
由于B的质量较大，故在释放B后，A将沿杆上升，当A环上升至与定滑轮的连线水平时，其上升速度v1≠0，若这时B的速度为v2，则（ ）
A．v2＝0 B．v2>v1C．v2≠0D．v2＝v1
8．（2016·烟台模拟）如图7所示，物体A、B经无摩擦的定滑轮用细线连在一起，A物体受水平向右的力F的作用，此时B匀速下降，A水平向左运动，可知（ ）
A．物体A做匀速运动
B．物体A做加速运动
C．物体A所受摩擦力逐渐增大
D．物体A所受摩擦力不变
9．（2016·石家庄实验中学检测）一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B（可视为质点）。
将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，如图8所示，当轻杆到达位置2时球A与球形容器球心等高，其速度大小为v1，已知此时轻杆与水平方向成θ＝30°角，B球的速度大小为v2，则（ ）
A．v2＝
v1B．v2＝2v1C．v2＝v1D．v2＝
v1
10．（多选）（2013·上海高考）如图6为在平静海面上，两艘拖船A、B拖着驳船C运动的示意图。
A、B的速度分别沿着缆绳CA、CB方向，A、B、C不在一条直线上。
由于缆绳不可伸长，因此C的速度在CA、CB方向的投影分别与A、B的速度相等，由此可知C的（ ）
A．速度大小可以介于A、B的速度大小之间
B．速度大小一定不小于A、B的速度大小
C．速度方向可能在CA和CB的夹角范围外
D．速度方向一定在CA和CB的夹角范围内
11.（2015·太原一中检测）如图7所示，开始时A、B间的细绳呈水平状态，现由计算机控制物体A的运动，使其恰好以速度v沿竖直杆匀速下滑，经细绳通过定滑轮拉动物体B在水平面上运动，则下列vt图像中，最接近物体B的运动情况的是（ ）
图8
对点训练：
小船过河问题
12．（2014·四川高考）有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河。
小明驾着小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直。
去程与回程所用时间的比值为k，船在静水中的速度大小相同，则小船在静水中的速度大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
13．如图9所示，甲、乙两同学从河中O点出发，分别沿直线游到A点和B点后，立即沿原路线返回到O点，OA、OB分别与水流方向平行和垂直，且OA＝OB。
若水流速度不变，两人在静水中游速相等，则他们所用时间t甲、t乙的大小关系为（ ）
A．t甲C．t甲>t乙D．无法确定
14．小船匀速横渡一条河流，当船头垂直对岸方向航行时，在出发后10min到达对岸下游120m处；若船头保持与河岸成θ角向上游航行，则在出发后12.5min到达正对岸，求：
（1）水流速度大小v1；
（2）船在静水中的速度大小v2；
（3）河的宽度；
（4）船头与河岸的夹角θ。
15．（多选）（2015·桂林模拟）河水的流速随离河岸一侧的距离的变化关系如图10甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示，若要使船以最短时间渡河，则（ ）
A．船渡河的最短时间是60s
B．船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直
C．船在河水中航行的轨迹是一条直线
D．船在河水中的最大速度是5m/s
16．（2014·四川高考）有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河。
小明驾着小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直。
去程与回程所用时间的比值为k，船在静水中的速度大小相同，则小船在静水中的速度大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
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