第2章 利用正交表进行实验设计.docx
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第2章利用正交表进行实验设计
第二章、利用正交表进行实验设计
我们在第一章已经讨论过，用正交表进行实验设计，利用简单的加和运算来处理实验结果需要首先解决两个问题：
1各实验因素所产生的作用和影响力是否具有加和性？
2若两个因素之间存在强烈的相互作用，是否真的可以将其相互作用看作第三个因素来处理？
事实上，在现实世界里，并非简单的1+1=2,各种变量之间其实往往不能简单加和。
比如一个人的力气若是100斤，两个人就应能够正好推得动200斤的车，可实际上两个人一起推的时候，因为推车时用力的角度偏差、发力的不同时等情况的存在，力量的总和并非准确的200斤，只有在两个人用力的方向完全相同且同时发力的情况下才是200斤。
但在现实生活和实际工作中，所有的因素都存在波动和误差，我们所谓的某人力气100斤，其实指的是100斤左右，90-110斤之间都可以说是100斤，也就是说，我们实际上承认并且接受波动和误差的存在，既然如此，若两个人一起推车，即使因为角度问题、配合问题而使力量并非严格的具有加和性，但只要最终的力量总和在180-220斤之间，我们仍然可以说他们合伙推车的力量总和是200斤，只要各种复杂情况所产生的影响未使个人的力量表现偏离90-110斤的范围，未使总和的表现偏离180-220斤这个范围，我们就可以认为一个人的力气是100斤，两个人的力气总和是200斤。
因此，只要两个因素之间所存在的各种复杂关系对实验结果的影响力小于实验本身的波动和误差，我们就可以认为两个因素对最终结果的贡献具有加和性。
我们怎么知道两个因素的交互作用到底有多大呢？
实验之前如何知道？
这个问题比较难回答，但需要进行实验设计的人都是专业人员，也就是说，实验计划法是供专业设计开发人员使用的（如果一个人不懂专业技术，那也不用设计什么实验），对于专业人员来说，其实靠经验和知识背景可以判断出来哪些因素几乎独立发挥作用，哪些因素之间存在比较明显的交互作用，若无法靠知识和经验排除某些因素之间的交互作用的时候也没关系，姑且先认为有，待实验结果出来后，再进行判断。
解决第二个问题关系到正交表的性质：
正交表的性质
1对称性
以
为例，每列中所包含的1和2的数目相同；在第二和第三列中，与第一列的1（或者2）相对应的1和2的数目也相同；在第一和第二列中，与第三列的1（或者2）相对应的1和2的数目也相同；在第一和第三列中，与第二列的1（或者2）相对应的1和2的数目也相同，这就是正交表的对称性，根据这种对称性，实验结果1和结果2的总和、结果3和结果4的总和的差异就可以认为是由因素1的两种不同水准导致的，因为因素2和3的贡献在两种情况下都分别抵消。
因素
实验
1
2
3
结果
总和
1
2
1
1
1
2
1
2
Y1
Y2
Y1+Y2
3
4
2
2
1
2
2
1
Y3
Y4
Y3+Y4
2正交表的乘法运算性质
在正交表中为了表示实验参数的两种选择，我们用了1和2来表示，其实正交表来自于群论（一种数学理论，具体内容可参考近代数学原理），在一个正交表中，除了各行之间具有对称性之外，各列之间还存在相乘运算，如果我们恢复
正交表的本来面目，将表中的状态“2”用“-1”表示，则正交表变为：
1234567
1
2
3
4
5
6
7
8
1111111
111-1-1-1-1
1-1-111-1-1
1-1-1-1-111
-11-11-11-1
-11-1-11-11
-1–111-1-11
-1-11-111-1
这时我们会发现正交表某些列之间具有相乘关系,第一列和第二列的每一行的两个数字相乘的结果正好是第三列:
第一列
第二列
第三列
1
1
X
1
=
1
2
1
X
1
=
1
3
1
X
-1
=
-1
4
1
X
-1
=
-1
5
-1
X
1
=
-1
6
-1
X
1
=
-1
7
-1
X
-1
=
1
8
-1
X
-1
=
1
若有兴趣可以验证,第一列乘以第三列正好是第二列,第二列乘以第三列正好是第一列,即一、二、三各列形成一个相互作用的闭环，我们可以记为（1，2，3），若有兴趣可以验证，在
正交表中，这样的闭环还有（1，4，5），（2，4，6），（3，4，7），（1，6，7），（2，5，7），（3，5，6）总共七个组合，这种列之间的乘法关系正好对应因素之间的交互作用，就是说如果将A因素排在第一列，B因素排在第二列，则AXB交互作用会在第三列体现出来，如下表：
正交表
ABAXB4567
结果
1
2
3
4
5
6
7
8
1111111
1112222
1221122
1222211
2121212
2122121
2211221
2212112
Y1
Y2
Y3
Y4
Y5
Y6
Y7
Y8
实验完毕后，Y1+Y2+Y7+Y8四次实验结果的总和就对应虚拟因素AXB的状态1，Y3+Y4+Y5+Y6四次实验结果的总和就对应虚拟因素AXB的状态2，若实验结果表明（AXB）1=Y1+Y2+Y7+Y8，（AXB）2=Y3+Y4+Y5+Y6有显著差异，则说明A与B之间存在较强的相互作用，若结果无显著差异，则说明A与B的交互作用不明显，可以忽略不计。
若AXB有较强的交互作用，则只需将Y1+Y2就可评估A1B1组合的作用大小，Y3+Y4就可评估A1B2组合的作用大小，Y5+Y6就可评估A2B1组合的作用大小，Y7+Y8就可评估A2B2组合的作用大小，根据四个结果的大小比较选择A、B的最佳组合。
解决了以上两个问题，我们就可以放心的用正交表设计实验方案的组合，然后使用正交表的对称性和乘法运算性质评估各个因素及交互作用的贡献度，找出因素之间的最佳组合。
三水准的正交表也有相应的对称性和乘法规则，只是运算规则与二水准正交表不同，在此不作深入讨论，若有兴趣可以参考近代数学原理。
常用正交表介绍
正交表
123
1
2
3
4
111
122
212
221
注：
交互作用为1X2=3，最多可安排3个因素，需要做四次实验。
正交表
1234567
1
2
3
4
5
6
7
8
1111111
1112222
1221122
1222211
2121212
2122121
2211221
2212112
注：
交互作用配置规则见下表，最多可以安排7个因素或虚拟因素，需要做8次实验。
正交表各列的交互作用配置表
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
（1）
3
（2）
2
1
（3）
5
6
7
（4）
4
7
6
1
（5）
7
4
5
2
3
（6）
6
5
4
3
2
1
（7）
正交表
1234
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1111
1222
1333
2123
2231
2312
3132
3213
3321
注：
交互作用为1X2=3，4（三水准因素的交互作用将在两列中体现出来，相当于两个虚拟因素），最多可以安排四个因素，需做9次实验。
正交表
1234567891011
1
2
3
4
11111111111
11111222222
11222111222
12122122112
5
6
7
8
12212212121
12221221211
21221122121
21212221112
9
10
11
12
21122212211
22211112212
22121211122
22112121221
本表只有对称性，列之间没有乘法规则，只能处理没有交互作用的情况，若因素间存在交互作用，此表不能使用。
正交表
123456789101112131415
1
2
3
4
111111111111111
111111122222222
111222211112222
111222222221111
5
6
7
8
122112211221122
122112222112211
122221111222211
122221122111122
9
10
11
12
212121212121212
212121221212121
212212112122121
212212121211212
13
14
15
16
221122112211221
221122121122112
221211212212112
221211221121221
注：
交互作用配置规则见下表，最多可以安排15个因素或虚拟因素，需要做16次实验。
L16（215）正交表各列的交互作用配表
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
2
3
4
（1）
3
（2）
2
1
（3）
5
6
7
（4）
4
7
6
1
7
4
5
2
6
5
4
3
9
10
11
12
8
11
10
13
11
8
9
14
10
9
8
15
13
14
15
8
12
15
14
9
15
12
13
10
14
13
12
11
5
6
7
8
（5）
3
（6）
2
1
（7）
13
14
15
（8）
12
15
14
1
15
12
13
2
14
13
12
3
9
10
11
4
8
11
10
5
11
8
9
6
10
9
8
7
9
10
11
12
（9）
3
（10）
2
1
（11）
5
6
7
（12）
4
7
6
1
7
4
5
2
6
5
4
3
13
14
15
（13）
3
（14）
2
1
（15）
L18（2137）正交表
12345678
1
2
3
4
5
6
11111111
11222222
11333333
12112233
12223311
12331122
7
8
9
10
11
12
13121323
13232131
13313212
21133221
21211332
21322113
13
14
15
16
17
18
22123132
22231213
22312321
23132312
23213123
23321231
注：
本表不符合乘法规则，各因素间没有交互作用时使用，最多可以安排7个三水准因素和1个二水准因素。
L27（313）正交表
12345678910111213
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1111111111111
1111222222222
1111333333333
1222111223333
1222222331111
1222333112222
1333111332222
1333222113333
1333333221111
10
11
12
13
14
15
16
17
18
2123123123123
2123231231231
2123312312312
2231123231312
2231231312123
2231312123231
2312123312231
2312231123312
2312312231123
19
20
21
22
23
24
25
26
27
3132132132132
3132213213213
3132321321321
3213132213321
3213213321132
3213321132213
3321132331213
3321213112321
3321321223132
注：
交互作用见下表（三水准因素的交互作用将在两列中体现出来，相当于两个虚拟因素），本表最多可以安排13个因素或虚拟因素，需要做27次实验。
L27（313）正交表各列的交互作用配置表
12345678910111213
1
（1）
3
4
2
4
2
3
6
7
5
7
5
6
9
10
8
10
8
9
12
13
11
13
11
12
2
（2）
1
4
1
3
8
11
9
12
10
13
5
11
6
12
7
13
5
8
6
9
7
10
3
（3）
1
2
9
13
10
11
8
12
7
12
5
13
6
11
6
10
7
8
5
9
4
（4）
10
12
8
13
9
11
6
13
7
11
5
12
7
9
5
10
6
8
5
（5）
1
7
1
6
2
11
3
13
4
12
2
8
4
10
3
9
6
（6）
1
5
4
13
2
12
3
11
3
10
2
9
4
8
7
（7）
3
12
4
11
2
13
4
9
3
8
2
10
8
（8）
1
10
1
9
2
5
3
7
4
6
9
（9）
1
8
4
7
2
6
3
5
10
（10）
3
6
4
5
2
7
11
（11）
1
13
1
12
12
（12）
1
11
13
（13）
利用正交表进行实验设计实例
例1：
某次实验中有二水准因素A、B、C、D、E和交互作用AXB，AXC决定着产品性能，请问应选用何种正交表解决此一问题？
五个因素，两个交互作用，可以看作七个因素，仍用
正交表进行实验设计，先将A因素排在第一列，B因素排在第二列，则根据
正交表的交互作用配置表可以查出AXB应排在第三列，再将C排在第四列，查
正交表的交互作用配置表可以查出AXC应排那一列？
剩余的D、E应如何排列？
ABAXBC
1
2
3
4
5
6
7
8
1111111
1112222
1221122
1222211
2121212
2122121
2211221
2212112
2、在某空调厂蒸发器车间，研究影响铜管与散热片接触紧密程度的三个因素，A散热片尺寸偏差,B铜管外壁均匀度,C胀管头尺寸，用三水准。
如果A,B,C之间没有交互作用，则可利用哪一个正交表配置？
若A与B有交互作用，则用哪一个正交表来配置？
三水准的实验条件自然选用三水准的正交表进行实验设计，若无交互作用存在，
最多可以安排四个因素，只要将A、B、C分别排在任意三列即可：
ABC（空）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1111
1222
1333
2123
2231
2312
3132
3213
3321
若A与B之间存在明显的交互作用，则
正交表不能使用，因为在三水准条件下，一对因素的交互作用将在另外两列体现，本案例总共需要占用五列才能排列全部的因素和交互作用，因此需要选用更高一级的三水准正交表L27（313），将A、B排在前两列，将AXB排在第三、第四列，C随意排在剩余列任意一列，总共需做27次实验，对本案来说，实际上就是全因素实验：
ABAXBAXBC678910111213
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1111111111111
1111222222222
1111333333333
1222111223333
1222222331111
1222333112222
1333111332222
1333222113333
1333333221111
10
11
12
13
14
15
16
17
18
2123123123123
2123231231231
2123312312312
2231123231312
2231231312123
2231312123231
2312123312231
2312231123312
2312312231123
19
20
21
22
23
24
25
26
27
3132132132132
3132213213213
3132321321321
3213132213321
3213213321132
3213321132213
3321132331213
3321213112321
3321321223132
3、有人问如果有50个因素，每个因素有7种选择怎么办？
其实就是有500个因素，每个因素70种选择也无妨，从数学的角度来讲，正交表是无限的，因为数字是无限的，总会有适宜的正交表可以选用。
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