专题05一元二次方程的整数根.docx
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专题05一元二次方程的整数根
专题05—元二次方程的整数根
阅读与思考
解一元二次方程问题时，我们不但需熟练地解方程，准确判断根的个数、符号特征、存在范围，而且要能深入地探讨根的其他性质，这便是大量出现于各级数学竞赛中的一元二次方程的整数根问题。
这类问题因涵盖了整数的性质、一元二次方程的相关理论，融合了丰富的数学思想方法而备受命题者的青睐..
解整系数（即系数为整数）一元二次方程的整数根问题的基本方法有：
1•直接求解若根可用有理式表示，则求出根，结合整除性求解2•利用判别式
在二次方程有根的前提下，通过判别式确定字母或根的范围，运用枚举讨论、不等分析求解
3•运用根与系数的关系
由根与系数的关系得到待定字母表示的两根和、积式，从中消去待定字母，再通过因式分解和整数性质求解•
4.巧选主元
若运用相关方法直接求解困难，可选取字母为主元，结合整除知识求解
例题与求解
2
【例1】已知关于X的方程（4_k）（8_k）x-（80_12k）x•32=0的解都是整数，求整数k的值.
（绍兴市竞赛试题）解题思路：
用因式分解法可得到根的表达式，因方程类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定k的值才能全面而准确•
【例2】p,q为质数且是方程x2-13x5=0的根，那么--的值是（
pq
（黄冈市竞赛试题）
解题思路：
设法求出p,q的值，由题设条件自然想到根与系数的关系
【例3】关于x,y的方程x2xy2y2=29的整数解（x,y）的组数为（）
A.2组B.3组C.4组D.无穷多组
22
解题思路：
把xxy2y-29看作关于x的二次方程，由x为整数得出关于x的二次方程的根的判别式是完全平方数，从而确定y的取值范围，进而求出x的值•
【例4】试确定一切有理数r,使得关于x的方程rx2（r2）xr0有根且只有整数根
（全国初中数学联赛试题）
解题思路：
因方程的类型未确定,
故应分类讨论•当r=0时，由根与系数的关系得到关于r的两个不等
式，消去r，先求出两个整数根
【例引试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的两位数之和的平方，恰好等于这个四位数.
（全国初中数学联赛试题）
解题思路：
设前后两个两位数分别为x,y，x一10,y乞99，则（xy）^100xy，即
22
x2（y-50）x（y-y）=0，于是将问题转化为求一元二次方程有理根、整数根的问题
【例6】试求出所有这样的正整数解a，使得二次方程ax22（2a-1）x•4（a-3）=0至少有一个整
数根•（“祖冲之杯”竞赛试题）
解题思路：
本题有两种解法.由于a的次数较低，可考虑“反客为主”，以a为元，以x为已知数整理成一个关于a的一元一次方程来解答；或考虑因方程根为整数，故其判别式为平方式
能力训练
A级
1•已知方程x-1999x+a=0有两个质数根，则a=.（江苏省竞赛题）
9
2•已知一元二次方程x+mx-m+1=0（m是整数）有两个不相等的整数根，则m=.
（四川省竞赛题）
3•若关于x的一元二次方程mx2-4x*4=0和x2-4mx•4m2-4m-5=0的根都是整数，则整数m
的值为
4•若k正整数，且一元二次方程（k-1）x^pxk=0的两个根都是正整数，则kpk（ppkk）的值等
于.
5•两个质数a,b恰是x的整系数方程
2
x-21x，t=0的两个根，则
ba等于（
ab
）
58
2402
365
A•2213B•
C•D•
21
49
38
2
6•若x•mx-6=0的两个根都是整数，则m可取值的个数是（）
A•2个B•4个C•6个D.以上结论都不对
7•方程x2px1997=0恰有两个整数根Xi,X2，贝yp的值是（）
（Xi+1）（X2+1）
彳彳11
22
（北京市竞赛试题）
8•若a,b都是整数，方程ax2bx-2008二0的相异两根都是质数，则3ab的值为（）
（太原市竞赛试题）
A•100B.400C•700D.1000
9•求所有的实数k,使得方程kx2（k1）x（k-1）=0的根都是整数.（“祖冲之”邀请赛试题）
222
10•已知关于x的方程4x-8nx-3n=2和x-（n，3）x-2n*2=0，是否存在这样的n值，使第—
个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？
若存在，求出这样的n值；若不存在，请
说明理由.（湖北省选拔赛试题）
2
11•若关于x的方程ax2•2（a-3）x•（a-2）=0至少有一个整数根，求整数a的值.
（上海市竞赛试题）
2
、2p+1115
x的方程xx（pq）1^0的两个根，求
94
（全国初中数学联赛试题）
B级
2
1•已知p+q=96，并且二次方程x+px+q=0的根都是整数，则其最大根是.
2•若关于x的二次方程x2+ax+6a=0只有整数根，则a=.（美国数学邀请赛试题）
3•若关于x的方程（6-k）（9-k）x2-（117-15k）x•54=0的解都是整数，则符合条件的整数k的值有
个.
222
4•使方程ax+ax+1-7a=0的两根都是整数的所有正数a的和是.
（上海市竞赛题）
2222
5•已知方程ax-（3a-8a）x2a-13a*15=0（其中a为非零实数）至少有一个整数根，那么
a=.（全国初中数学联赛试题）
2
6.设方程x+（m+6）x—3=0有两个不同的奇数根，则整数m的值为
（《学习报》公开赛试题）
7•若ab=1，且有5a22001a*9=0及9b22001b*5=0，则一的值为（）
b
9520012001
A•B•C.D•
5959
8•若方程x2+3x+m+2=0有一个正跟洛，和一个负根X2，由以为，x?
为根的二次方程为（）
22
A•x—3x—m—2=0B•x3x—m—2=0
2222
9.设关于x的二次方程（k2-6k•8）x2•（2k2-6k-4）x•k2=4的两根都是整数，求满足条件的所有
实数k的值.
（全国初中数学联赛试题）
2
10•当X为何有理数时，9x，23x-2恰为两个连续的正偶数的乘积?
（山东省竞赛题）
11.是否存在质数
2
p,q使得关于x的一元二次方程pxqx•p-0有有理数根？
（全国初中数学竞赛试题）
2
a0,a,b,c满足a-a「be=-1,be=2.
（1）求a的值；
（2）求k的值及它对的x,y的值.
专题05—元二次方程的整数根
48
1当k=4时，x=1;当k=8时，x=-2;当
k工4且k^8时，x1,x2，可得k=6或k=4,6,8
8_k4_k
12.
2C
3C提示：
方程变形为关于x的二次方程
222
xyx2y—29]=0,：
=-7y116>0且是完全平方数,
-0,设方程的两根为X1,X2（X1：
：
：
X2），则X!
x^--,
r
X1X2
是2x1X2-（X1X2）=2
r-1r2
l+
r
=3,有（2xi—1）（2X2—1）=7,解得丿
X1二-3
X2二0
=1.
X2-2（y-50）x（y2一y）=0得
22
.,4（y—50）-4（y—y）=4（2500—99y）_0
（2500-99y）_0,y乞25时，方程有实数解x=50-y_2500-99y.由于（2500-99y）必须是完全平方数，
而完全平方数的末位数字可能为0,1,4,5,6,9,故仅可取25，此时x=30或，x=20,故所求的四位数为
2025或3025.
例6解法一：
因a的次数较低,故将方程整理为关a于的一次方程
得（x2）2a=2（x6）,显然x2=0,
是a=辿肆，•/a是正整数，a_1,即坐舁=1,化简得x2
（x+2）（x+2）
•2x-8乞0,解得一4乞x乞2（x=-2）.当
14
x—，0,1,2时，"。
计.「a是正整数
故a的值为1,3,6,10.
故4（8a1）为奇数的平
于是，原方程可
=4〔2a-12-4a（a-3）L4（8a1）为完全平方数，
2+
（8a1）=（2m1）2,m是正整数，贝Ua=
2
即mx2（m-2）l（m1）x2（m3））-0,
44
N=~2,x2--2,•••m4或（m1）4得m=1,2,4或m=1,3,故a的值位1,3,6,10.
m一丄"
A级
1.39942.13.14.19845.D6.B7.C8.D
1
%亠x2--1—
9.①当k=0时，贝Ux=1，即k=0为所求；②k^O时,则彳
得（X1_1）（X2—1）=3,由此可
X!
X2=1-一
k
1
得k,或k=1.
7
10.
n=0提示：
方程①X!
—X2-4nn2,方程②根为2n•2,1_n,注意讨论.
B级
1.98
2.49,32,27,25,24,-25,8,-3,-1,0.
6.-2,或-6
1
7.A提示：
a与—时方程5x22001x•9=0的两个不相等的实数根.
a
8.C
（捲式—1,X2式—1），消去k得,
2424
9.解得论二^-―,X2=-1-厂二，故k-4,k-2二
k—4k—2捲+1X2+1
10
XxX23x1^0，即*X2•3=_2，求得k=6,3,.
3
令厶二p2（p_o）,P2—6（k1）2=565—1135=5651
也即p6（k1）Ip-6（k-1^-1155=5651,
"p+6（k+1）=565
或』解得k=8或k=46,相应的方程的解为
p—6（k+1）=1
41130
x与x-一17或x.总之，当x=2或x--17时，9x2•23x_2恰为两个整数8或10,或者
99
46或48的乘积.
11.
令.：
-q2-4p2=n2（n为非负数）,即（q_n）（qn）=4p2.t1乞q-nEqn且q-n与qn奇偶性
222
12.
（1）be=a-a，1,b，c=2,则b,c是一元二次方程t-2ta-a•1=0的两根，
故:
:
=4_4（a2-a1）=-4（a2-a）_0,即a（a_1）_0,
又■/a亠0且a为整数，则a亠1,•••a=b=c=1.
（2）由条件得kx2-（k1）x=0,又•••原方程只有一组解，当k=0时，x=0,y=1,
x=0
:
符合条件，此时k=0；
J=1
当k^0时，也=（k+1）2—4k2=dk2+2k+1=0，解得&（舍），k2=1k2=1,
3
X=1
即x?
—2x+1=0,•••x=1,y—1"=T，符合条件，此时k=1。
综上知：
k=0,x=0,y=1或k=1,
x=1,y=-1。
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