安徽省皖南五十校学年高一下学期末联考数学试题.docx

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安徽省皖南五十校学年高一下学期末联考数学试题

　安徽省“皖南五十校”2018-2019学年高一下学期末联考数学试题

一、选择题（共12小题，每小题5分共60分，每小题只有一个正确选项）

1．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β下面命题正确的是（　　）

A．若l∥β，则α∥βB．若α⊥β，则l⊥mC．若l⊥β，则α⊥βD．若α∥β，则l∥m

2．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（　　）

A．①②B．①③C．①④D．②④

3．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是AB1、BC1的中点，则以下结论中不成立的是（　　）

A．EF与BB1垂直B．EF与BD垂直C．EF与CD异面D．EF与A1C1异面

4．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为（　　）

A．17B．22C．8D．22+2

5．侧棱长为2的正三棱柱，若其底面周长为9，则该正三棱柱的表面积是（　　）

A．B．C．D．

6．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是棱AB，BB1的中点，A1E与C1F所成的角是θ，则（　　）

A．θ=60°B．θ=45°C．D．

7．α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面α，β平行的是（　　）

A．m，n是平面α内两条直线，且m∥β，n∥β

B．α内不共线的三点到β的距离相等

C．α，β都垂直于平面γ

D．m，n是两条异面直线，m⊂α，n⊂β，且m∥β，n∥α

8．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是（　　）

A．30°B．45°C．60°D．90°

9．已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（　　）

A．1B．2C．D．4

10．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论错误的是（　　）

A．C1，M，O三点共线B．C1，M，O，C四点共面

C．C1，O，A1，M四点共面D．D1，D，O，M四点共面

11．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，设棱长为a，过BD且与直线AC1平行的截面面积是（　　）

A．B．C．D．

12．如图，四面体A﹣BCD中，AB=AD=CD=1，BD=，BD⊥CD，平面ABD⊥平面BCD，若四面体A﹣BCD顶点在同一个球面上，则该球的体积为（　　）

A．πB．3πC．πD．2π

二、填空题：

（本大题共4小题，共20分）

13．已知点A（1+a，2a），B（1﹣a，3），直线AB的倾斜角为90°，则a=　　．

14．在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是AA1中点，则点A1到平面MBD的距离是　　．

15．如图，在三棱锥DABC中，若AB=CB，AD=CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的有　　（写出全部正确命题的序号）．

①平面ABC⊥平面ABD；

②平面ABD⊥平面BCD；

③平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE；

④平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE．

16．平面α外有两条直线m和n，如果m和n在平面α内的射影分别是直线m1和直线n1，给出下列四个命题：

①m1⊥n1⇒m⊥n；②m⊥n⇒m1⊥n1；③m1与n1相交⇒m与n相交或重合；④m1与n1平行⇒m与n平行或重合；

其中不正确的命题个数是　　．

三、解答题：

（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或步骤）

17．已知点A（1，﹣1），B（3，2），C（5，0），求点D的坐标，使直线CD⊥AB，且BC∥AD．

18．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a．E为棱AA1的中点，

（1）求三棱锥E﹣BCD1与三棱锥A﹣CDB1的体积比为．

（2）求三棱锥B﹣A1C1D的体积．

19．如图，在三棱锥A﹣BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形，

（Ⅰ）求证：

MD∥平面APC；

（Ⅱ）求证：

平面ABC⊥平面APC．

20．如图，在等腰△ABC中，，若DA=1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值．

21．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，AB=1，AD=2，E为BC的中点．设△A1DE的重心为G，问是否存在实数λ，使得，且MG⊥平面A1DE同时成立？

若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

22．如图在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AB=BC=AP=2，D是AP的中点，E，G分别为PC，CB的中点，将△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面ABCD，F为线段PD上一动点．当二面角G﹣EF﹣D的大小为时，求FG与平面PBC所成角的余弦值．

安徽省“皖南五十校”2018-2019学年高一下学期末联考

数学试题

参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题5分共60分，每小题只有一个正确选项）

1．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β下面命题正确的是（　　）

A．若l∥β，则α∥βB．若α⊥β，则l⊥mC．若l⊥β，则α⊥βD．若α∥β，则l∥m

【考点】LP：

空间中直线与平面之间的位置关系；LQ：

平面与平面之间的位置关系．

【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论．

【解答】解：

对于A，若l∥β，则α∥β或α，β相交，不正确；

对于B，若α⊥β，则l、m位置关系不定，不正确；

对于C，根据平面与平面垂直的判定，可知正确；

对于D，α∥β，则l、m位置关系不定，不正确．

故选C．

2．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（　　）

A．①②B．①③C．①④D．②④

【考点】L7：

简单空间图形的三视图．

【分析】利用三视图的作图法则，对选项判断，A的三视图相同，圆锥，四棱锥的两个三视图相同，棱台都不相同，推出选项即可．

【解答】解：

正方体的三视图都相同，而三棱台的三视图各不相同，圆锥和正四棱锥的，正视图和侧视图相同，

所以，正确答案为D．

故选D

3．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是AB1、BC1的中点，则以下结论中不成立的是（　　）

A．EF与BB1垂直B．EF与BD垂直C．EF与CD异面D．EF与A1C1异面

【考点】LN：

异面直线的判定．

【分析】观察正方体的图形，连B1C，则B1C交BC1于F且F为BC1中点，推出EF∥A1C1；分析可得答案．

【解答】解：

连B1C，则B1C交BC1于F且F为BC1中点，三角

形B1AC中EF，所以EF∥平面ABCD，而B1B⊥面ABCD，

所以EF与BB1垂直；又AC⊥BD，所以EF与BD垂直，EF与CD异面．

由EF，AC∥A1C1得EF∥A1C1

故选D．

4．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为（　　）

A．17B．22C．8D．22+2

【考点】L!

：

由三视图求面积、体积．

【分析】由已知三视图得到几何体的直观图，根据图中数据计算体积．

【解答】解：

由已知三视图得到几何体如图：

底面是长宽分别为2，4，高为3的四棱锥．所以体积为=8；

故选C．

5．侧棱长为2的正三棱柱，若其底面周长为9，则该正三棱柱的表面积是（　　）

A．B．C．D．

【考点】LE：

棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．

【分析】直接利用侧面积加上底面面积求解即可．

【解答】解：

侧棱长为2的正三棱柱，若其底面周长为9，

该正三棱柱的表面积：

9×2+2×=18+．

故选：

C．

6．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是棱AB，BB1的中点，A1E与C1F所成的角是θ，则（　　）

A．θ=60°B．θ=45°C．D．

【考点】LM：

异面直线及其所成的角．

【分析】先建立空间直角坐标系以D为坐标原点，DC为x轴，DA为y轴，DD1为z轴，规定棱长为1，再求出A1E与C1F直线所在的向量坐标，然后根据向量的夹角公式求出夹角的余弦值即可．

【解答】解：

DC为x轴，DA为y轴，DD1为z轴；建立空间直角坐标系以D为坐标原点，

．

故选C

7．α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面α，β平行的是（　　）

A．m，n是平面α内两条直线，且m∥β，n∥β

B．α内不共线的三点到β的距离相等

C．α，β都垂直于平面γ

D．m，n是两条异面直线，m⊂α，n⊂β，且m∥β，n∥α

【考点】LP：

空间中直线与平面之间的位置关系．

【分析】A：

根据面面平行的判定定理可得：

α∥β或者α与β相交．B：

根据面面得位置关系可得：

α∥β或者α与β相交．C：

则根据面面得位置关系可得：

α∥β或者α与β相交．D：

在直线n上取一点Q，过点Q作直线m的平行线m′，所以m′与n是两条相交直线，m′⊂β，n⊂β，且m′∥β，n∥α，根据面面平行的判定定理可得α∥β．

【解答】解：

A：

若m，n是平面α内两条直线，且m∥β，n∥β，则根据面面平行的判定定理可得：

α∥β或者α与β相交．所以A错误．

B：

若α内不共线的三点到β的距离相等，则根据面面得位置关系可得：

α∥β或者α与β相交．所以B错误．

C：

若α，β都垂直于平面γ，则根据面面得位置关系可得：

α∥β或者α与β相交．所以C错误．

D：

在直线n上取一点Q，过点Q作直线m的平行线m′，所以m′与n是两条相交直线，m′⊂β，n⊂β，且m′∥β，n∥α，根据面面平行的判定定理可得α∥β，所以D正确．

故选D．

8．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是（　　）

A．30°B．45°C．60°D．90°

【考点】LP：

空间中直线与平面之间的位置关系．

【分析】本题考查的知识点是线面夹角，由已知中侧棱垂直于底面，我们过D点做BC的垂线，垂足为E，则DE⊥底面ABC，且E为BC中点，则E为A点在平面BB1C1C上投影，则∠ADE即为所求线面夹角，解三角形即可求解．

【解答】解：

如图，取BC中点E，连接DE、AE、AD，

依题意知三棱柱为正三棱柱，

易得AE⊥平面BB1C1C，故∠ADE为AD与平面BB1C1C所成的角．

设各棱长为1，则AE=，

DE=，tan∠ADE=，

∴∠ADE=60°．

故选C

9．已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（　　）

A．1B．2C．D．4

【考点】LQ：

平面与平面之间的位置关系．

【分析】分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD则∠ACQ=∠PBD=60°，在三角形APQ中将PQ表示出来，再研究其最值即可．

【解答】解：

如图

分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，

连CQ，BD则∠ACQ=∠PDB=60°，，

∴AC=PD=2

又∵

当且仅当AP=0，即点A与点P重合时取最小值．

故答案选C．

10．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论错误的是（　　）

A．C1，M，O三点共线B．C1，M，O，C四点共面

C．C1，O，A1，M四点共面D．D1，D，O，M四点共面

【考点】LJ：

平面的基本性质及推论．

【分析】连结A1C1，AC，