第2章2425一元一次不等式一元一次不等式与一次函数.docx
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第2章2425一元一次不等式一元一次不等式与一次函数
年级
八年级
学科
数学
版本
北师大版
课程标题
第2章2.4-2.5一元一次不等式；一元一次不等式与一次函数
编稿老师
王长远
一校
杨雪
二校
黄楠
审核
张伟
一、考点突破
1.掌握一元一次不等式的定义；
2.掌握并熟练应用一元一次不等式的解法：
（1）去分母；
（2）去括号；
（3）移项；
（4）合并同类项；
（5）系数化１；
3.理解“解一元一次不等式”与“解一元一次方程”的异同点；
4.会列一元一次不等式解应用题；
5.会解答简单的与一元一次不等式有关的方案设计问题；
6.理解并掌握一元一次不等式与一次函数之间的关系；
7.渗透“数形结合”思想。
二、重难点提示
重点：
一元一次不等式的解法及其应用。
难点：
理解并掌握一元一次不等式与一次函数之间的关系。
微课程1：
一元一次不等式的解法
【考点精讲】
考点1：
一元一次不等式的定义：
（1）不等式两边都是整式；
（2）不等式中只含一个未知数；
（3）未知数的次数是1。
考点2：
一元一次不等式的解法：
解一元一次不等式的一般步骤：
（1）去分母（一般利用不等式性质2）
注意：
①不要漏乘不含分母的项；②分子是多项式时要加括号。
（2）去括号（利用去括号法则和分配律）
注意：
①勿漏乘括号内的每一项；②若括号前是“－”号，括号内各项要变号。
（3）移项（利用不等式性质1）
注意：
移项要变号。
（4）合并同类项（利用合并同类项法则）
（5）系数化1（利用不等式性质2或3）
注意：
两边同除以未知数系数时，要分清不等号方向是否改变。
考点3：
在数轴上表示不等式的解集：
解集
边界点
方向
如图
实心
向右
空心
向右
实心
向左
空心
向左
考点4：
一元一次不等式的整数解。
（包括正整数解、负整数解、非负整数解等）
一般利用数轴解决，先在数轴上表示出解集，再找相应的整数解。
【典例精析】
例题1若（m＋1）x|m|＋2＞0是关于x的一元一次不等式，则m＝（ ）
A.±1B.1C.－1D.0
思路导航：
根据已知和一元一次不等式的定义得出m＋1≠0，|m|＝1，求出即可。
答案：
∵（m＋1）x|m|＋2＞0是关于x的一元一次不等式，
∴m＋1≠0，|m|＝1，
解得：
m＝1，
故选B。
点评：
本题考查了一元一次不等式的定义的应用，解决本题的关键是能根据已知得出m＋1≠0，|m|＝1。
例题2解不等式：
，并把解集表示在数轴上。
思路导航：
首先两边同时乘以6去分母，再利用乘法分配律去括号，移项、合并同类项，最后把x的系数化为1即可。
答案：
解：
去分母得：
2（2x－1）－（9x＋2）≤6，
去括号得：
4x－2－9x－2≤6，
移项得：
4x－9x≤6＋2＋2，
合并同类项得：
－5x≤10，
把x的系数化为1得：
x≥－2。
点评：
此题主要考查了一元一次不等式的解法，解决本题的关键是注意去分母时，不要漏乘没有分母的项。
例题3已知：
a，b是整数，关于x的不等式x＞a－2b的最小整数解为8，关于y的不等式y＜2a－3b－19的最大整数解为－8。
（1）求a，b的值；
（2）|x－b|＝x－b，|x－a|＞a－x，求符合题意的最小整数x。
思路导航：
（1）根据已知得出a－2b＝7，2a－3b－19＝－7，组成方程组，求出方程组的解即可；
（2）根据绝对值和
（1）中的a，b的值得出3－x＜0，x＋2≥0，求出即可。
答案：
（1）解：
∵a，b是整数，
∴a－2b、2a－3b－19也是整数，
∵关于x的不等式x＞a－2b的最小整数解为8，关于y的不等式y＜2a－3b－19的最大整数解为－8，
∴a－2b＝7，2a－3b－19＝－7，
解得：
a＝3，b＝－2；
（2）解：
∵|x－a|＞a－x，|x－b|＝x－b，
∴a－x＜0，x－b≥0，
∵a＝3，b＝－2，
∴3－x＜0，x＋2≥0，
∴x＞3，
符合题意的最小整数x是4。
点评：
本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解，解二元一次方程组的应用，解决本题的关键是根据题意得出关于a，b的方程组和得出3－x＜0，x＋2≥0。
随堂练习：
不等式x－（3x－10）≥6的非负整数解为（）
A.1，2B.2，3C.0，1，2D.1，2，3
思路导航：
先求出不等式的解集，再根据未知数的取值范围确定其非负整数解即可。
答案：
解：
x－（3x－10）≥6，
x－3x＋10≥6，
－2x≥－4，
x≤2。
∴不等式的非负整数解为0，1，2。
故答案选C。
点评：
正确解不等式，求出解集是解答本题的关键。
【总结提升】
解一元一次不等式与解一元一次方程的思路比较如下：
一元一次方程
一元一次不等式
解法
步骤
（1）去分母
（2）去括号
（3）移项
（4）合并同类项
（5）系数化为1
（1）去分母
（2）去括号
（3）移项
（4）合并同类项
（5）系数化为1
两边同时除以未知数的系数
在
（1）与（5）这两步若乘数（或除数）为负数，要把不等号方向改变
解的
情况
一般只有一个解
一般解集含有无数个解
微课程2：
一元一次不等式的应用
【考点精讲】
考点1：
列一元一次不等式解应用题的一般步骤：
考点2：
与一元一次不等式有关的方案设计：
利用不等式解决方案设计问题的基本步骤：
（1）审：
找出题中含有不等关系的句子，抓住关键字眼如“最多”“不超过”等；
（2）设：
一般有两个或两个以上事物，设其中一个为未知数，其余用它来表示；
（3）列：
根据题中的不等关系，列出不等式（组）；
（4）解：
解出所列不等式（组）的解集；再结合题目要求，确定未知数的具体数值，未知数有几个值，即有几种方案；
（5）答：
检验答案是否符合题意。
【典例精析】
例题1某物流公司，要将300吨物资运往某地，现有A、B两种型号的车可供调用，已知A型车每辆可装20吨，B型车每辆可装15吨，在每辆车不超载的条件下，把300吨物资装运完，问：
在已确定调用5辆A型车的前提下至少还需调用B型车多少辆？
思路导航：
关系式为：
5辆A型车的装载量＋x辆B型车的装载量≥300。
答案：
解：
设还需要B型车x辆，根据题意得：
20×5＋15x≥300，
解得
，
由于x是车的数量，应为整数，所以x的最小值为14，
答：
至少需要14辆B型车。
点评：
解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式。
例题2为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费。
如表是该市居民“一户一表”生活用水及提示计费价格表的部分信息：
自来水销售价格
污水处理价格
每户每月用水量
单价：
元/吨
单价：
元/吨
17吨以下
a
0.80
超过17吨但不超过30吨的部分
b
0.80
超过30吨的部分
6.00
0.80
（说明：
①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费＝自来水费用＋污水处理费用）
已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元。
（1）求a、b的值；
（2）随着夏天的到来，用水量将增加，为了节省开支，小王计划把6月份的水费控制在不超过家庭月收入的2%。
若小王家的月收入为9200元，则小王家6月份最多能用水多少吨？
思路导航：
（1）根据等量关系：
“小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元”；“5月份用水25吨，交水费91元”列方程组求解即可。
（2）先求出小王家六月份的用水量范围，再根据6月份的水费不超过家庭月收入的2%，列出不等式求解即可。
答案：
（1）由题意，得
②－①，得5（b＋0.8）＝25，
b＝4.2，
把b＝4.2代入①，得17（a＋0.8）＋3×5＝66，
解得a＝2.2
∴a＝2.2，b＝4.2；
（2）当用水量为30吨时，水费为：
17×3＋13×5＝116元，
9200×2%＝184元，
∵116＜184，
∴小王家六月份的用水量超过30吨。
设小王家六月份用水量为x吨，
由题意，得17×3＋13×5＋6.8（x－30）≤184，
6.8（x－30）≤68，
解得x≤40。
∴小王家六月份最多能用水40吨。
点评：
本题考查一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题，列出不等式关系式即可求解。
同时考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题干找出合适的等量关系。
例题3“二广”高速在益阳境内的建设正在紧张地进行，现有大量的沙石需要运输。
“益安”车队有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆，全部车辆运输一次能运输110吨沙石。
（1）求“益安”车队载重量为8吨、10吨的卡车各有多少辆？
（2）随着工程的进展，“益安”车队需要一次运输沙石165吨以上，为了完成任务，准备新增购这两种卡车共6辆，车队有多少种购买方案，请你一一写出。
思路导航：
（1）根据“‘益安’车队有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆，全部车辆运输一次能运输110吨沙石”分别得出等式组成方程组，求出即可；
（2）利用“‘益安’车队需要一次运输沙石165吨以上”得出不等式，求出购买方案即可。
答案：
（1）设“益安”车队载重量为8吨、10吨的卡车分别有x辆、y辆，
根据题意得：
，
解之得：
。
∴“益安”车队载重量为8吨的卡车有5辆，10吨的卡车有7辆；
（2）设载重量为8吨的卡车增加了z辆，
依题意得：
8（5＋z）＋10（7＋6－z）＞165，
解之得：
∵z≥0且为整数，
∴z＝0，1，2；
∴6－z＝6，5，4。
∴车队共有3种购车方案：
①载重量为8吨的卡车不购买，10吨的卡车购买6辆；
②载重量为8吨的卡车购买1辆，10吨的卡车购买5辆；
③载重量为8吨的卡车购买2辆，10吨的卡车购买4辆。
点评：
此题主要考查了二元一次方程组的应用以及不等式的应用，根据已知得出正确的不等式关系是解题关键。
【总结提升】
利用不等式解决方案设计问题的基本步骤：
微课程3：
一元一次不等式与一次函数
【考点精讲】
考点1：
一元一次不等式与一次函数的关系：
一元一次不等式与一次函数的关系：
①从“数”的角度：
由于任何一元一次不等式都可以转化为ax＋b>0或ax＋b<0（a，b为常数a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以转化为：
当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围。
②从“形”的角度：
由于一次函数图象是一条直线，它与x轴相交，在x轴上方的图象对应的函数值y大于0，则图象对应的自变量x为相应的自变量取值范围；在x轴下方的图象对应的函数值y小于0，则图象对应的自变量x为相应的自变量取值范围，也是相应的不等式的解集。
考点2：
数形结合思想：
解决这类问题往往需要从已知和结论同时出发，认真分析找出内在的“形”“数”互变，一般方法是看“形”思“数”，见“数”想“形”，实质就是以“数”化“形”、以“形”变“数”的结合。
考点3：
方案设计题型
【典例精析】
例题1画出函数y＝2x＋1的图象，利用图象求：
（1）方程2x＋1＝0的根；
（2）不等式2x＋1≥0的解集；
（3）当y≤3时，求x的取值范围；
（4）当－3≤y≤3时，求x的取值范围。
思路导航：
本题要求利用图象求解各问题，先求得与坐标轴的交点，画出函数图象，根据图象观察，得出结论。
答案：
当x＝0时，y＝1，即函数过点（0，1），
当y＝0时，x＝
，即函数过点（
，0），
∴图象如图：
从图象知，函数的值随x的增大而增大；
（1）当
时，y＝0，
∴方程2x＋1＝0的根为
；
（2）当
时，函数图象在x轴的上方，
∴不等式2x＋1≥0的解集为
；
（3）当
时，
∴当
时，x的取值范围为
（4）当y＝－3时，x＝－2，
∴当－3≤y≤3时，x的取值范围为：
－2≤x≤1。
点评：
本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用。
解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合。
例题2如图，直线l1：
y＝2x与直线l2：
y＝kx＋3在同一平面直角坐标系内交于点P。
（1）写出不等式2x＞kx＋3的解集；
（2）设直线l2与x轴交于点A，求△OAP的面积。
思路导航：
（1）求不等式2x＞kx＋3的解集就是求当自变量x取什么值时，y＝2x的函数值大；
（2）求△OAP的面积，只要求出OA边上的高就可以，即求两个函数的交点的纵坐标的绝对值。
答案：
（1）从图象中得出当x＞1时，直线l1：
y＝2x在直线l2：
y＝kx＋3的上方，
∴不等式2x＞kx＋3的解集为：
x＞1；
（2）把x＝1代入y＝2x，得y＝2，
∴点P（1，2），
∵点P在直线y＝kx＋3上，
∴2＝k＋3，
解得：
k＝－1，
∴y＝－x＋3，
当y＝0时，由0＝－x＋3得x＝3，
∴点A（3，0），
。
点评：
解答本题的关键是熟悉一元一次不等式与一次函数的关系，求线段的长度的问题一般是转化为求点的坐标的问题来解决。
例题3某市部分地区近年出现持续干旱现象，为确保生产生活用水，某村决定由村里提供一点，村民捐一点的办法筹集资金维护和新建一批储水池。
该村共有243户村民，准备维护和新建的储水池共有20个，费用和可供使用的户数及用地情况如下表：
蓄水池
费用（万元/个）
可供使用的户数（户/个）
占地面积（m2/个）
新建
4
5
4
维护
3
18
6
已知可支配使用土地面积为106m2，若新建储水池x个，新建和维护的总费用为y万元。
（1）求y与x之间的函数关系；
（2）满足要求的方案各有几种；
（3）平均每户捐2000元时，村里出资最多和最少分别是多少？
思路导航：
（1）新建费用4x万元，维护费用3（20－x）万元，故总费用为[4x＋3（20－x）]万元。
由于储水池至少要满足该村243户村民，列出函数关系式；
（2）可根据新建的水池可供使用的户数＋维护的水池可供使用的户数≥243户，新建的水池的占地面积＋维护的水池的占地面积≤106平方米；由此可得出自变量的取值范围，找出符合条件的方案；
（3）由
（1）得出的函数，和
（2）中x的取值范围，判定出符合条件的值。
答案：
（1）由题意得y＝4x＋3（20－x），即y＝x＋60；
（2）由题意得
5x＋18（20－x）≥243，化简得13x≤117，即x≤9，
又∵4x＋6（20－x）≤106，解得x≥7，
∴7≤x≤9
又∵x为正整数，
故满足要求的方案有三种：
新建7个，维修13个；
新建8个，维修12个；
新建9个，维护11个；
（3）由y＝x＋60知y随x的增大而增大，
∴当x＝7时，y最小＝67（万），当x＝9时，y最大＝69（万），
而居民捐款共243×0.2＝48.6（万），
∴村里出资最多为20.4万，最少为18.4万。
点评：
（1）根据总费用＝新建费用＋维护费用，可列出y与x之间的函数关系式；
（2）根据新建的水池与维护的水池可供使用的户数及新建的水池与维护水池的占地面积，列出不等式组，求出自变量的取值范围，即可找出符合条件的方案；
（3）由
（1）
（2）联立即可求出x的取值范围，判定出符合条件的值。
解决这类问题的关键是理解一元一次不等式与一次函数的关系，认真读懂题意，找出其中变量之间的关系。
【总结提升】
一元一次不等式与一次函数的关系：
我们既可以运用函数图象解不等式，也可以运用解不等式帮助研究函数问题，二者相互渗透，互相作用。
第2章2.6一元一次不等式组
一、预习新知
1.解不等式组。
2.某公园出售的一次性使用门票，每张10元，为了吸引更多游客，新近推出购买“个人年票”的售票活动（从购买日起，可供持票者使用一年）。
年票分A、B两类：
A类年票每张100元，持票者每次进入公园无需再购买门票；B类年票每张50元，持票者进入公园时需再购买每次2元的门票。
某游客一年中进入该公园至少要超过多少次时，购买A类年票最合算？
二、问题思考
1.我们学习了一元一次不等式的解法，那一元一次不等式组如何求解呢？
2.应用一元一次不等式组如何解决实际问题呢？
（答题时间：
30分钟）
一元一次不等式的解法
1.如果2a－3x2＋a＞1是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集是（ ）
A.x＜－1B.x＞－1C.x＜
D.x＞
2.不等式2x－1＞3的解集是（ ）
A.x＞1B.x＞－2C.x＞2D.x＜2
3.不等式
的解集是（ ）
A.x＜－2B.x＜－1C.x＜0D.x＞2
4.一个数值转换器如图所示，要使输出值y大于100，输入的最小正整数x为（ ）
A.20B.21C.22D.23
5.若5x3m－2－2＞7是一元一次不等式，则m＝_______。
6.不等式2－2x＜x－4的解集是_______。
7.定义新运算：
对于任意实数a，b，都有a⊕b＝a－2b，等式右边是通常的减法及乘法运算，例如：
3⊕2＝3－2×2＝－1。
若3⊕x的值小于1，求x的取值范围，并在如图所示的数轴上表示出来。
8.
（1）解不等式：
5（x－2）＋8＜6（x－1）＋7；
（2）若
（1）中的不等式的最小整数解是方程2x－ax＝3的解，求a的值。
一元一次不等式的应用
1.小华拿24元钱购买火腿肠和方便面，已知一盒方便面3元，一根火腿肠2元，他买了4盒方便面，x根火腿肠，则关于x的不等式表示正确的是（ ）
A.3×4＋2x＜24B.3×4＋2x≤24
C.3x＋2×4≤24D.3x＋2×4≥24
2.小明借到一本有72页的图书，要在10天之内读完，开始2天每天只读5页，那么以后几天里每天至少要读多少页？
设以后几天里每天要读x页，所列不等式为（ ）
A.10＋8x≥72B.2＋10x≥72C.10＋8x≤72D.2＋10x≤72
3.小美将某服饰店的促销活动内容告诉小明后，小明假设某一商品的定价为x元，并列出关系式为0.3（2x－100）＜1000，则下列何者可能是小美告诉小明的内容？
（ ）
A.买两件等值的商品可减100元，再打3折，最后不到1000元耶！
B.买两件等值的商品可减100元，再打7折，最后不到1000元耶！
C.买两件等值的商品可打3折，再减100元，最后不到1000元耶！
D.买两件等值的商品可打7折，再减100元，最后不到1000元耶！
4.某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10%，假设不计超市其他费用，如果超市要想至少获得20%的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高（ ）
A.40%B.33.4%C.33.3%D.30%
5.某公司打算至多用1200元印制广告单。
已知制版费50元，每印一张广告单还需支付0.3元的印刷费，则该公司可印制的广告单数量x（张）满足的不等式为______。
6.一家企业向银行申请了一年期贷款500万元，到期后归还银行的钱超过532.8万元，若设该项贷款的年利率为x，则x应满足的不等式为______。
7.在某校班际篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得3分，负一场得1分，如果某班要在第一轮的28场比赛中至少得43分，那么这个班至少要胜多少场？
8.为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备。
现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如下表：
经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元。
A型
B型
价格（万元/台）
12
10
处理污水量（吨/月）
240
200
年消耗费（万元/台）
1
1
（1）请你设计该企业有几种购买方案；
（2）若该企业每月产生的污水量为2040吨，为了节约资金，应选择哪种购买方案；
（3）在第
（2）问的条件下，若每台设备的使用年限为10年，污水厂处理污水费为每吨10元，请你计算，该企业自己处理污水与将污水排到污水厂处理相比较，10年节约资金多少万元？
（注：
企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费）
一元一次不等式与一次函数
1.如图，一次函数y＝kx＋b的图象与y轴交于点（0，1），则关于x的不等式kx＋b＞1的解集是（ ）
A.x＞0B.x＜0C.x＞1D.x＜1
2.如图，直线y1＝k1x＋a与y2＝k2x＋b的交点坐标为（1，2），则使y1＜y2的x的取值范围为（ ）
A.x＞1B.x＞2C.x＜1D.x＜2
3.如图，直线y＝kx＋b交坐标轴于两点，则不等式kx＋b＜0的解集是（ ）
A.x＞－2B.x＞3C.x＜－2D.x＜3
4.如图，是关于x的函数y＝kx＋b（k≠0）的图象，则不等式kx＋b≤0的解集在数轴上可表示为（ ）
A.
B.
C.
D.
5.如图，直线y＝kx＋b（k＞0）与x轴的交点为（－2，0），则关于x的不等式kx＋b＜0的解集是_______。
6.如图，函数y＝2x和y＝ax＋4的图象相交于A（m，3），则不等式2x＜ax＋4的解为_______。
7.某软件公司开发出一种图书管理软件，前期投入的开发、广告宣传费用共50000元，且每售出一套软件，软件公司还需支付安装调试费用200元。
（1）试写出总费用y（元）与销售套数x（套）之间的函数关系式；
（2）如果每套定价700元，软件公司至少要售出多少套软件才能确保不亏本？
8.某电视厂要印刷产品宣传材料，甲印刷厂提出：
每份材料收1元印刷费，另收1000元制版费，乙厂提出：
每份材料收2元印刷费，不收制版费。
（1）分别写出两厂的收费y（元）与印制数量x（份）之间的函数解析式；
（2）电视机厂拟拿出3000元用于印刷宣传材料，找哪家印刷厂印刷的宣传材料能多一些？
（3）印刷数量在什么范围时，在甲厂印刷合算？
一元一次不等式的解法
1.A解析：
2＋a＝1，a＝－1，
∴2a－3x2＋a＞1变为：
－2－3x＞1，
解得：
x＜－1，
故选：
A。
2.C解析：
2x－1＞3，
移项得：
2x＞3＋1，
合并同类项得：
2x＞4，
∴不等式的解集是x＞2，
故选C。
3.A解析：
去分母得：
，移项得：
，合并同类项得：
，故选A。
4.B解析：
①设x是奇数，则y＝5x＞100
解得x＞20，即x的最小正整数是21
②设x是偶数，则y＝3x＋35＞100
解得x＞
，即x的最小正整数是22
综合两种情况，x的最小值是21，
故选：
B。
5.1解析：
根据题意得：
3m－2＝1，解得：
m＝1，
故答案是：
1。
6.x＞2解析：
2－2x＜x－4，
移项得：
－2x－x＜－4－2，
合并得：
－3x＜－6，
将x系数化为1得：
x＞2，
则原不等式的解集为x＞2，
故答案为：
x＞2。
7.解：
由题意得，3⊕x＝3－2
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