根据归纳假设，必存在从v至v′的基本路径。
n阶图中的基本路径的长度小于n。
（因为基本路径中的结点互不相同，即最多仅含n个结点，
所以所经过的边数必定小于n。
）
可达集（reachableset）的概念用于安全性证明。
无向图：
若从v1可达v2，则从v2必可达v1。
有向图：
从v1可达v2不能保证从v2必可达v1。
定理7.3.3
设图G＝〈Ｖ，Ｅ，Ψ〉，v1，v2Ｖ。
从v1可达v2iff存在从v1至v2的基本路径
戴克斯特拉（Dijkstra）算法
算法（求从结点s至t的加权距离）
1）λ（s）←0，且v∈V–｛s｝，λ（v）←∞；
2）T←V；
3）任取u∈｛u′｜若v′∈T，则λ（u′）≤λ（v′）｝；
4）如果u=t，则算法结束。
5）对于以u为起点的每条边e，如果e的终点v∈T并且λ（v）>λ（u）+W（e），则λ（v）←λ（u）+W（e）；
6）T←T–｛u｝，且转向3）。
当算法结束时，λ（t）即为从s至t的加权距离。
算法（求从结点s至t的加权距离）
1）λ（s）←0，且v∈V–｛s｝，λ（v）←∞；{p←#}
2）T←V；
3）任取u∈｛u′｜若v′∈T，则λ（u′）≤λ（v′）｝；
4）如果u=t，则{p←pt#}，算法结束。
5）对于以u为起点的每条边e，如果e的终点v∈T并且λ（v）>λ（u）+W（e），则λ（v）←λ（u）+W（e）；
6）T←T–｛u｝，{p←pu}，且转向3）。
当算法结束时，λ（t）即为从s至t的加权距离。
p即为从s至t的最短路径。
定理7.3.4
连通无向图恰有一个分支。
非连通无向图有一个以上分支。
定理7.3.5
强连通（单向连通，弱连通）有向图恰有一个强分支（单向分支，弱分支）。
非强连通（非单向连通，非弱连通）有向图有一个以上强分支（单向分支，弱分支）。
有向图G中的路径一定是G中的半路径，
但G中的半路径未必是G中的路径。
定理7.3.6
设图G＝〈Ｖ，Ｅ，Ψ〉，vＶ。
G是回路或有向回路当且仅当G的阶与边数相等，并且在G中存在这样一条从v到v的闭路径，使得除了v在该闭路径中出现两次外，其余结点和每条边都在该闭路径中恰出现一次。
证明：
充分性显然，必要性：
i） 证明G的阶与边数相等。
G是回路或有向回路
|V|=|E|
ii）对G的阶用第一归纳法。
定理7.3.7
如果有向图G有子图G′满足：
对于G′的任意结点v，dＧ＋（v）>0，则G有有向回路。
定理7.3.8
如果有向图G有子图G′满足：
对于G′中的任意结点v，dＧ－（v）>0，则G有有向回路。
证明：
设G′＝〈Ｖ′，Ｅ′，Ψ′〉，v0e1v1…vn-1envn是G′中最长的基本路径。
由于dＧ－（v0）>0，必可找到e∈Ｅ′和v∈Ｖ′，使vev0e1v1…vn-1envn是G′中的简单路径，且v=vi（０≤i≤n）。
G的以｛v0，…，vi｝为结点集合，以{e，e1，…，ei}为边集合的子图是有向回路。
v０e１v１…vn-1envn是最长的基本路径
W-过程
判断一个有向图是否有有向回路的方法：
W—过程
从G中去掉v和与之关联的边得到有向图G-{v}的过程（其中v是有向图的结点，dＧ－（v）=0或dＧ＋（v）=0）。
•G有有向回路当且仅当G–{v}有有向回路；
•若n阶有向图G没有有向回路，则经过n–1次W—过程得到平凡图。
定理7.3.9
图G不是非循环图iff
G有子图G′满足：
对于G′的任意结点v，dＧ′（v）>1。
（证明方法与定理7.3.8类似）
类似方法：
G0，Ｇ1，…，Ｇm，其中0≤m≤n–1，G0=G，Gi+1=Gi–{vi}（其中dＧi（vi）1）。
若Ｇm是平凡图，则G是非循环图，否则不然。
欧拉定理
设G是连通无向图，G是欧拉图iffG有欧拉闭路。
证明：
充分性）显然，只证必要性）。
对G的边的数目n用第二归纳法:
i）若n=0，则G为平凡图，必要性显然成立。
ii）令n∈I＋，设任意边数少于n的连通欧拉图均有欧拉闭路。
若G有n条边，
连通、偶结点
G是连通欧拉图G的任意结点的度大于1（大于等于2）
定理7.3.9
G有回路。
设G有长度为m的回路C
定理7.3.6
在C中存在闭路径v0e1v1…vm-1emv0，其中
v0,v1,…,vm-1各不相同，并且{v0,v1,…,vm-1}和
{e1,e2,…,em}分别是C的结点集合和边集合。
令G=G–{e1,…,em}，设G有k个分支G1,…,Gk。
G是连通的
G的每个分支Gi与C都有公共结点。
设vni为G的分支Gi（1ik）与C的一个公共结点，并假定0n1…nkm–1。
显然，Gi为边数小于n的连通欧拉图（Gi为分支且每个结点仍为偶结点）。
由归纳假设：
Gi有一条从vni到vni的欧拉闭路径Pi。
因此，以下的闭路径：
v0e1v1…en1P1en1+1…enkPkenk+1…vm-1emv0
就是G的一条欧拉路径。
定理7.4.2
设G＝〈Ｖ，Ｅ，Ψ〉为连通无向图，v1，v2∈Ｖ且v1v2。
则G有一条从v1至v2的欧拉路径iff
G恰有两个奇结点v1和v2。
证明：
任取eE，并令Ψ′＝｛〈e，｛v1，v2｝〉｝，则
G有一条从v1至v2的欧拉路径iff
G′＝Ｇ＋｛e｝Ψ′有一条欧拉闭路iff
G′是欧拉图iff
G′中每个结点都是偶结点iff
G中恰有两个奇结点v1和v2
定理7.4.3
设G为弱连通的有向图。
G是欧拉有向图iffG有欧拉闭路。
证明过程与定理7.4.1类似
定理7.4.4
设G为弱连通的有向图。
v1和v2为G的两个不同结点。
G有一条从v1至v2的欧拉路径iff
dＧ＋（v1）＝dＧ－（v1）＋1，dＧ＋（v2）＝dＧ－（v2）–１
且对G的其它结点v，均有dＧ＋（v）＝dＧ－（v）
证明过程与定理7.4.2类似。
定理7.4.5
如果G1和G2是可运算的欧拉图，则G1G2是欧拉图。
证明：
G1＝<Ｖ1，Ｅ1，Ψ1>，G2＝<Ｖ2，Ｅ2，Ψ2>，
G1G2＝<Ｖ，Ｅ，Ψ>
设v是G1G2的任意结点，则有以下三种可能：
i）vV1但vV2；ii）vV2但vV1；
这两种情况下，与v相连的边在G1G2中不变，v仍是G1G2的偶结点。
iii）vV1且vV2。
设G1和G2有k条公共边与l个公共自圈与v关联，
则dG1G2（v）=dG1（v）+dG2（v）–2（k+2l），
故v仍是G1G2的偶结点。
G1G2是欧拉图（图中所有结点均为偶结点）。
G的邻接矩阵X（G）为n×n矩阵（xij），其中xij为分别以vi和vj为起点和终点的边的数目。
i）如果G１和G２是两个同构的图，则首先交换X（G1）的一些行，然后交换相应的列，就可由X（G1）得到X（G2）；
ii）对于结点的不同排列顺序，可以得到同一个图的不同邻接矩阵；
iii）对于同构的图不加区别。
因此，不关心矩阵中结点和边的顺序是合理的。
n阶图G和X（G）之间的联系
1.无向图G的邻接矩阵X（G）是对称的。
2.图G没有平行边iffX（G）的元素都是0和1。
3.图G有自圈iffX（G）的对角线有非0元素。
4.图G是简单图iffX（G）的元素都是0和1，并且对角线元素都为0。
5.图G是零图iffX（G）是零矩阵（即所有元素都是0的矩阵）。
6.若图G是无向图，dＧ（vi）＝xii+（i=1,2,…，n）。
7.若图G是有向图，dＧ＋（vi）＝，dＧ－（vi）＝，
dＧ（vi）＝（i=1,2,…，n）。
8.无向图（有向图）G有k个分支（弱分支）G1，G2，…，Gkiff
顺序排列G1，G2，…，Gk的结点可使
方阵X，mN，xij（m）表示Xm的第i行第j列元素。
在X（G）中，若xij=r，则说明从vi至vj存在r条长度为1的路径。
该结果可推广到X的任意正整数次幂
定理7.5.1
设m∈I+，n阶图G的V={v1，v2，…，vn}，若X是G的邻接矩阵且1≤i，j≤n，则xij（m）等于G中从vi至vj的长度为m的路径数。
证明：
对m用第一归纳法，
i） 当m=1时，定理显然成立。
ii） 假设当m=k（k≥1）时，定理成立。
当m=k+1时，根据归纳假设，若1≤l≤n，则
xil（k）等于G中从vi至vl长度为k的路径数，
xlj等于从vl至vj长度为1的路径数，
因此，
xil（k）xlj等于从vi至vj长度为k+1且倒数第二个结点为vl的路径数。
所以
xij（k+1）=即为G中从vi至vj长度为k+1的路径数。
由邻接矩阵求路径矩阵
1pij=1iff从vi可达vj
iff存在从vi到vj的路径
iff存在从vi到vj的基本路径（定理7.3.3）
iff存在从vi到vj长度小于n的路径（定理7.3.2）
2去掉自圈和平行边不会改变结点间的可达性。
定理7.5.2
设X和P分别是n阶简单图G的邻接矩阵和路径矩阵，记X（0）＝In（In是n阶单位矩阵）。
Xk+1＝Ｘ（k）Ｘ（k=0，1，2，…，n），
则
。
其中，的定义参见P143。
由图的邻接矩阵可以求得它的距离矩阵。
定理7.5.3
设D＝（dij）和Ｘ＝（xij）分别是n阶图G的距离矩阵和邻接矩阵，则
图的路径矩阵和距离矩阵不能给出图的全部信息；
图的邻接矩阵可以给出图的全部信息；
无自圈图的关联矩阵可以给出无自圈图的全部信息。
无自圈有m条边的n阶图G和A（G）之间的联系
1.G是零图iffA（G）是空矩阵（即没有任何元素的矩阵）。
2.无向图G的关联矩阵A（G）的每列元素之和为2。
3.有向图G的关联矩阵A（G）的每列元素之和为0。
4.ei和ej是G的平行边iffA（G）的第i列与第j列相同。
5.若G是无向图，dＧ（vi）＝（i=1，2，…，n）。
6.若G是有向图，dＧ＋（vi）为A（G）的第i行中值为1的元素个数，
dＧ－（vi）为A（G）的第i行中值为－1的元素个数，
dＧ（vi）为A（G）的第i行中非零元素个数（i=1，2，…，n）。
7.vi是孤立点iffA（G）的第i行全为0。
8.无向图（有向图）G有k个分支（弱分支）G1，G2，…，Gkiff
顺序排列G的结点和边的顺序，可使
定理7.6.1
设G是n阶无向图。
可用以下六种等价的办法来定义树:
i） G是连通的，又是非循环的。
ii）G没有自圈，并且对于G的任意两结点v和v′，在G中
存在唯一的一条从v至v′的基本路径。
iii） G是连通的，如果v和v′是G的两结点，e不是G的边，当令Ψ′={〈e，{v，v′}〉}时，则G＋{e}Ψ′有唯一的一条回路。
iv）G是连通的，并且对于G的任意边e，G–e非连通。
v）G是连通的，并且有n–1条边。
vi）G是非循环的，并且有n–1条边。
证明参见P145–146。
定理7.6.2
阶大于1的树至少有两个端点。
定理7.6.3
如果森林F有n个结点，m条边和k个分支，则m=n–k。
找连通图的生成树方法
找连通图G的生成树的方法：
“避圈法”与“破圈法”
1、避圈法：
添加e1，…，ei，在添加的每一步均保证：
ei+1不与{e１，…，ei}的任何子集构成回路。
2、破圈法：
在G0（即G），G1，G2，…中去掉e1，e2，e3，…，其中ei为Gi-1中某条回路中的边。
即把G中的所有回路均挑破！
！
！
最小生成树求法（避圈法、破圈法）
按“避圈法”求最小生成树：
设G是有m条边的n阶连通无向图，
1把G的m条边按加权长度递增的顺序排成e1，e2，…，em；
2T←；
3j←1，i←1；
（i记录正在扫描的边的下标；j记录T中边数是否已达n-1）
4若j=n则算法结束。
5若G的以T∪｛ei｝为边集合的子图没有回路，
则T←T∪｛ei｝且j←j+1；
6i←i+1，转向4
算法结束时，T即为所求的最小生成树的边集。
定理7.6.5
设G是有m条边的n阶连通无向图，则对于G的任何生成树T，都有n–1个枝和m–n+1个弦。
定理7.6.6
设T是连通无向图G的任意生成树。
i）基本回路的数目等于G的圈秩μ；
ii）对于G的任意回路C，总可以找到若干个基本回路C1，C2，…，
Ck，使C与C1C2…Ck的差别仅在于孤立点。
证明：
i）显然。
ii）设C是G的任意回路，C包含k条弦，显然k>0，设这k条弦是e1，e2，…，ek，Ci是包含ei的基本回路（i=1，2，…，k）。
令C＝Ｃ1Ｃ2…Ｃk，则C包含的弦也是e1，e2，…，ek。
因此，CC中的边都是枝，则CC是非循环的。
下面证明CC是零图。
若CC不是零图，必有一分支是阶大于1的树，根据定理7.6.2，CC有端点。
另一方面，因为C和C都是欧拉图，所以CC是欧拉图。
这与CC有端点矛盾，故CC必为零图，即C与C的差别仅在于孤立点。
定理7.6.7及其证明
设v0是有向图D的结点。
D是以v0为根的有向树iff
从v0至D的任意结点恰有一条路径。
证明：
）设D=〈Ｖ，Ｅ，Ψ〉是有向树，v0是D的根。
因为D是弱连通的，任取v′∈V，则存在从v0至v′的半路径P，
设P为v0e1v1…vp-1epvp，其中vp=v′。
因为dD－（v0）=0，所以e1是正向边，因为dD－（v1）=1，所以e2也是正向边。
由归纳法可以证明：
每个ei（1ip）均是正向边。
故P为有向路径。
若从v0至v′有两条路径P1和P2，则P1和P2至少有一个公共点的入度大于1，与D是有向树矛盾。
证明：
）若dD－（v0）>０，则存在边e以v0为终点（D弱连通），
设v1是e的起点，P是从v0至v1的路径，则在D中存在两条不同的从v0至v0的路径Pv1ev0和v0，与已知条件矛盾，所以dD－（v0）=0。
若dD－（v）>1,其中v是D的结点，则存在两条边e1和e2以v为终点。
设e1和e2的起点分别是v1和v2，从v0至v1和从v0至v2的路径分别是P1和P2，则P1e1v和P2e2v是两条不同的从v0至v的路径，与已知条件矛盾。
所以，D是有向树，且v0是D的根。
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