数学运算.docx
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数学运算
公务员考试数学运算之行程问题
在行程问题中，首先要搞清楚其中几个关键量之间的关系：
速度v、路程s、时间t，三者的关系是s=v×t。
解决行程问题的主要方法就是列方程，通过s=v×t列出方程来。
【例1】一架飞机所带燃料，最多可用6小时。
出发时顺风，每小时飞1500千米，飞回时逆风，每小时飞1200千米，此飞机最多飞出多少小时就需往回飞？
A.8/3 B.11/3
C.3 D.5/3
【解析】我们根据题目中飞出的距离和飞回的距离相等这一条件，可以列出方程。
题目中还提到总共飞了6个小时，那么通过这两个条件列出方程：
设飞出t小时就要往回飞，则列出方程为1500t=1200（6-t），解得方程为t=8/3小时。
在行程问题中，除了单个物体运动的问题，还有多个物体运动的问题。
多个物体运动会涉及到相对运动。
相对运动中关键的是相对速度，相对速度的不同会形成不同的相对运动形式。
在相对运动中主要有如下三种运动形式：
相遇、背离和追及。
其中相遇和背离可以作为一类运动形态存在，它们的特点是两个运动物体的运动方向相反，那么它们的相对运动速度就是两个运动物体速度的加和，也就是说相遇（背离）的路程和=速度和×相遇（背离）时间；追及问题就是两个运动物体同向运动，那么它们的相对运动速度就是两个运动物理速度的差值，也就是说追及的路程差=速度差×追及时间。
在实际做题时经常是混合在一起用的。
【例2】甲乙两人在一条椭圆型田径跑道上练习快跑和慢跑，甲的速度为3M/S，乙的速度为7M/S，他们在同一点同向跑步，经过100S第一次相遇，若他们反向跑，多少秒后第一次相遇（ ）
A.30 B.40
C.50 D.70
【解析】此题是先同向跑（追及问题），再反向跑（相遇问题）。
同向跑第一次相遇，意味着乙追上甲一圈，多跑的就是跑道的长度，第二次跑相遇时跑的总距离也是跑道的长度。
搞清楚这些那么这道题就简单了，大家可以尝试着做一下，结果是40秒。
在做相对运动问题时，一定要把握住相对运动速度，确定了相对速度，相对运动问题就迎刃而解了。
【例3】小明坐在公交车上看到姐姐向相反的方向走，1分钟后小明下车向姐姐追去，如果他的速度比姐姐快1倍，汽车速度是小明步行的5倍，小明要多少分钟才能追上姐姐？
（ ）
A.5.5 B.10
C.11 D.20
【解析】本题首先要清楚，整个运动过程分成两段，第一段是姐姐和汽车（小明在汽车上）做背离运动，第二段是小明下车追姐姐（是追及问题）。
在本题中姐姐、小明和汽车的速度是不确定的，但是它们之间成比例关系，所以可以设三者速度为特殊值来方便我们计算（特值法很关键，是我们行测数学经常用到的方法）。
设姐姐的速度为1，小明的速度为2，汽车的速度是10，那么第一段的背离运动的路程和=速度和×背离时间，即（10+1）×1=11。
第二段运动是追击运动，追及时间=路程差÷速度差，即t=11÷（2-1）=11，所以此题选C。
公务员考试数学运算之追及问题
一、追及问题概述
两物体在同一直线或封闭图形上运动所涉及的追及、相遇问题，通常归为追及问题。
这类常常会在考试考到。
一般分为两种：
一种是双人追及、双人相遇，此类问题比较简单；一种是多人追及、多人相遇，此类则较困难。
二、追及问题公式
由上例可知，爸爸与小胖的速度之差×时间=开始追及时拉开的距离。
在追及问题中，我们把开始追及时两者的距离称为追及路程，大速度减小速度称为速度差。
由此得出追及问题的公式：
【例题1】：
某环形公路长15千米，甲、乙两人同时同地沿公路骑自行车反向而行，0.5小时后相遇，若他们同时同地同向而行，经过3小时后，甲追上乙，问乙的速度是多少？
A.12.5千米/小时B.13.5千米/小时C.15.5千米/小时D.17.5千米/小时
【解析】：
此题答案为A。
相遇与追及问题。
甲、乙两人同时同地反向而行，相遇路程为环形公路的长15千米，相遇时间为0.5小时。
则甲、乙两人速度和=相遇路程÷相遇时间=15÷0.5=30千米/小时；
甲、乙两人同时同地同向而行，追及路程为环形公路的长15千米，追及时间为3小时，则甲、乙两人速度差=追及路程÷追及时间=15÷3=5千米/小时。
由题意可知，甲的速度大于乙，根据和差关系，乙的速度为=12.5千米/小时。
【例题2】：
甲、乙两架飞机同时从一个机场起飞，向同一方向飞行，甲机每小时行300千米，乙机每小时行340千米，飞行4小时后它们相隔多少千米？
这时候甲机提高速度用2小时追上乙机，甲机每小时要飞行多少千米？
A.100，260B.120，320C.160，360D.160，420
【解析】：
此题答案为D。
乙机速度>甲机速度，因此4小时后甲、乙相隔（340－300）×4=160千米，即后面2小时的追及路程为160千米。
根据速度差=追及路程÷追及时间，可得速度差=160÷2=80千米/时。
乙机速度不变，则甲机每小时应飞行80+340=420千米。
三、追及问题的特征
（一）两个运动物体同地不同时（或同时不同地）出发做同向运动。
后面的比前面的速度快。
（二）在一定时间内，后面的追上前面的。
追及问题涉及两个或多个运动物体，过程较为复杂，一般借助线段图来理清追及问题的运动关系。
【例题3】：
小胖步行上学，每分钟行72米。
一次小胖离家512米后，爸爸发现小胖的文具盒忘在家中，爸爸带着文具盒，立即骑自行车以每分钟200米的速度去追小胖。
问爸爸出发几分钟后在途中追上小胖？
A.2B.3C.4D.5
【解析】：
此题答案为C。
此题属同地不同时的追及问题，画线段图分析：
如上图所示，可知存在等量关系：
小胖第一段的路程+小胖第二段的路程=爸爸走的路程。
设爸爸x分钟后在途中追上小胖，则有512+72x=200x→200x－72x=512→128x=512，解得x=4。
排除法巧解数量关系
1、火树银花楼七层，层层红灯按倍增加，共有红灯381，试问四层几个红灯？
（ ）
A.24 B.28 C.36 D.37
[解析]：
本题是等比数列求和的问题。
按倍增加、倍增等概念在汉语中不明确说几倍时，一般默认是说的变为原来的2倍。
本题项数为7，公比为2，和为381，有求和公式可以求出第一项，进而求出第四项。
这样做，很熟练的情况下，也许1分钟可以算出来。
但是我们说，用整除法，我们可以在5秒内做出正确的选择。
等比数列本身就强烈暗示我们考虑整除性。
我们想，第一层一定是整数；第二层是第一层的2倍，故一定是2的倍数；第三层是第二层的2倍，故一定是4的倍数；第四层是第三层的2倍，故一定是8的倍数。
结合选项，我们马上知道选A。
通过上述例题可知，排除法常用奇偶性、整除性进行排除。
2、某地劳动部门租用甲、乙两个教室开展农村实用人才培训。
两教室均有5排座位，甲教室每排可坐10人，乙教室每排可坐9人。
两教室当月共举办该培训27次，每次培训均座无虚席，当月培训1290人次。
问甲教室当月共举办了多少次这项培训？
（ ）
A.8 B.10 C.12 D.15
[解析]：
甲教室有5排座位，每排可坐10人，每次培训均座无虚席，即每次坐10×5=50人。
乙教室也有5排座位，每排可坐9人，每次培训均座无虚席，即每次坐9×5=45人。
两教室当月共举办该培训27次。
A选项，甲教室举办该培训8次，共50×8人次；故乙教室举办该培训19次，共45×19人次。
两教室共培训50×8+45×19人次。
B选项，甲教室举办该培训10次，共50×10人次；故乙教室举办该培训17次，共45×17人次。
两教室共培训50×10+45×17人次。
C选项，甲教室举办该培训12次，共50×12人次；故乙教室举办该培训15次，共45×15人次。
两教室共培训50×12+45×15人次。
D选项，甲教室举办该培训15次，共50×15人次；故乙教室举办该培训12次，共45×12人次。
两教室共培训50×15+45×12人次。
而实际上当月共培训1290人次。
ABC的都是奇数，排除。
故选择D。
[注释]：
本题也可以用尾数法排除。
尾数法会在后文中讲解。
3、一个小于80的自然数与3的和是5的倍数，与3的差是6的倍数，这个自然数最大是（ ）
A.32 B.47 C.57 D.72
[基础知识]：
（1）奇数±奇数=偶数； 偶数±偶数=偶数；
偶数±奇数=奇数； 奇数±偶数=奇数。
（2）能被2、4、8、5、25、125整除的数的数字特性
一个数被2（或5）除得的余数，就是其末一位数字被2（或 5）除得的余数；
一个数被4（或25）除得的余数，就是其末两位数字被4（或25）除得的余数；
一个数被8（或125）除得的余数，就是其末三位数字被8（或125）除得的余数。
（3）能被3、9整除的数的数字特性
一个数被3（或9）除得的余数，就是其各位相加后被3（或9）除得的余数。
[解析]：
5的倍数，要求尾数为0或者5。
该数与3的和是5的倍数，故该数的尾数为2或者7。
ABCD都满足。
6的倍数的偶数。
该数与3的差是6的倍数，故该数是奇数，排除AD。
6的倍数的也一定是3的倍数。
该数与3的差是6的倍数，故该数也是3的倍数，排除B。
选择C。
本题也可以选择代入法。
本题问这个自然数最大是多少，所以我们应该从最大的选项开始代入。
D选项72，与3的和是75，是5的倍数；但其与与3的差是69，不是6的倍数。
D选项错误。
C选项57，与3的和是60，是5的倍数；其与3的差是54，是6的倍数。
C选项正确，且C选项比AB大，故选择C。
[注释]：
问题有最大、最小等要求时，我们要按照题目的指向选择代入选项的顺序。
公务员考试数学运算之统筹问题
【例1】一个车队有三辆汽车，担负着五家工厂的运输任务，这五家工厂分别需要7、9、4、10、6名装卸工，共计36名；如果安排一部分装卸工跟车装卸，则不需要那么多装卸工，而只需要在装卸任务较多的工厂再安排一些装卸工就能完成装卸任务。
那么在这种情况下，总共至少需要多少名装卸工才能保证各厂的装卸需求？
（）
A.25B.26C.27D.28
【解析】：
这是一道“优化组合”题目。
题目中有一个隐含条件，就是每家工厂每次只能有一辆汽车。
也就是说不能同时有两辆汽车去一家工厂。
根据题目要求，要使装卸工尽可能的少，需要在每车安排的装卸工人数与工厂安排的装卸工人数之间达到一个平衡。
由于7、9、4、10、6的平均数是7，经过验算可知，如果每车安排7个装卸工跟车，共需要21人。
再在需要9名、10名的工厂分别安排2、3名装卸工，就可以完成装卸任务。
如果每车安排6个装卸工跟车，所需总人数也是26名，并且如果每车少于6人或者多于7人时，所需装卸工总数都大于26人。
因此，总共至少需要21＋2＋3＝26（名）装卸工才能保证各厂的装卸要求。
答案选A。
【例2】在一条公路上每隔100公里有一个仓库，共有5个仓库，一号仓库存有10吨货物，二号仓库存有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的。
现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1公里需要0.5元运输费，则最少需要运费（）。
A.4500元B.5000元C.5500元D.6000元
【解析】：
典型的统筹类问题。
首先排除1号仓库和2号仓库，因为40吨货物移动到最近的一个仓库需要运费是40×100×0.5＝2000元，所以尽量靠近5号仓库，会使总运费最少，可以验证如果将货物全部运送到4号仓库需要运费是5500元，如果选择5号仓库，需要运费是5000元。
所以要想让运费最少，只能把货物都放在存货最多的一个仓库里面。
即把1号仓库里的10吨，2号仓库里的20吨，都放到5号仓库里面。
所以总费用为0.5×（300×20＋400×10）＝5000（元）。
答案选B。
【例3】A、B、C、D四人同时去某单位和总经理洽谈业务，A谈完要18分钟，B谈完要12分钟，C谈完要25分钟，D谈完要6分钟。
如果使四人留在这个单位的时间总和最少，那么这个时间是多少分钟？
（）
A.91分钟B.108分钟C.111分钟D.121分钟
【解析】：
这是一道简单的统筹问题。
若要使四个人留在单位时间总和最少，就必须让用时最短的人优先，依次类推，这样用时最短的D只需要6分钟，B需要12＋6分钟，A需要18＋12＋6分钟，C需要25＋18＋12＋6分钟。
这样四个人留在单位的总时间是121分钟。
答案选D。
【例4】妈妈给客人沏茶，洗开水壶需要1分钟，烧水需要15分钟，洗茶壶需要1分钟，洗茶杯需要1分钟，拿茶叶需要2分钟，依照最合理的安排，要几分钟就能沏好茶?
A.16分钟 B.17分钟 C.18分钟 D.19分钟
【解析】：
时间统筹：
烧水的同时洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶。
总共需要1+15=16（分钟）。
答案选A。
统筹问题的试题类型多样，需要大家根据具体问题具体分析。
在掌握基本的思想上，能够灵活运用，就能轻松解决。
公务员考试数量关系解题常用公式
一、几何最值理论
【例1】（国考2008）
相同表面积的四面体、六面体、正十二面体及正二十面体，其中体积最大的是（）。
A.四面体 B.六面体
C.正十二面体 D.正二十面体
几何最值理论：
1.平面图形中，若周长一定，越接近于圆，面积越大
2.平面图形中，若面积一定，越接近于圆，周长越小
3.立体图形中，若表面积一定，越接近于球，体积越大
4.立体图形中，若体积一定，越接近于球，表面积越小
根据结论，表面积一定越接近于球，体积越大，四个选项中显然正二十面体越接近于球。
选D
二、错位排列问题
【例2】小明给5个国家的5位朋友分别写一封信，这些信都装错了信封的情况共有多少种？
A.32 B.44 C.64 D.120
有n封信和n个信封，每封信都不装在自己的信封里，可能的方法的总数记为D，则：
D1=0 D2=1 D3=2 D4=9 D5=44 D6=265
根据结论，可得5封信进行错位排列，为44种情况。
选B
三、数字组合
【例3】由1、2、3组成没有重复数字的所有三位数之和是多少？
（ ）
A.1222 B.1232 C.1322 D.1332
由a，b，c三个数字组成所有三位数的和=2×（各数字之和）×111，能被111整除；
由a，b，c，d四个数字组成所有四位数的和=3！
×（各数字之和）×1111，能被1111整除；
由a，b，c，d，e五个数字组成所有五位数的和=4！
×（各数字之和）×11111，能被11111整除
因此，这些三位数之和能被111整除。
选D
四、星期日期问题
【例4】已知2008年的元旦是星期二，问2009年的元旦是星期几？
（ ）
A。
星期二 B。
星期三
C。
星期四 D。
星期五
由结论可得，2008年到2009年过了一年，所以星期数加1，其中经过了一个2月29日，即2008年2月29日，再加1，共加2，所以星期二到了星期四。
选C
五、等距离平均速度题
【例5】一辆汽车以60千米/时的速度从A地开往B地，它又以40千米/时的速度从B地返回A地，则汽车行驶的平均速度为多少千米/时？
（ ）
A.50 B.48 C.30 D.20
套用公式可得，平均速度为2x60x40/（40+60）=48。
选B
六、几何特性
【例6】（国考2002）
一个正方形的边长增加20%后，它的面积增加百分之几？
（ ）
A.36% B.40% C.44% D.48%
若将一个图形尺度扩大为N倍，则：
对应角度不变；对应周长变为原来的N倍；
面积变为原来的N2倍；
体积变为原来的N3倍
套用结论可得：
尺寸变为原来的120%，则面积变为原来的120%的平方倍，即144%，因此增加了44%。
选C
七、余数问题
【例7】（国家2006）
一个三位数除以9余7，除以5余2，除以4余3，这样的三位数有几个（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
结论：
余同取余，和同加和，差同减差，公倍数做周期
根据结论，这个数除以20余7，和除以9余7又为余同问题，所以该数除以180余7，故可表示为180n+7（n为整数），这个数为三位数，所以共有5个。
选A
八、三位数页码问题
【例8】（国家2008）
编一本书的书页，用了270个数字（重复的也算，如页码115用了2个1和1个5共3个数字），问这本书一共有多少页？
（ ）
A.117 B.126 C.127 D.189
若一本书一共有N页（N为三位数，），用了M个数字，依上可知：
M=9+180+3x（N-100+1），得出N=M÷3+36
结论：
若一本书一共有N页（N为三位数，），用了M个数字，依上可知：
M=9+180+3x（N-100+1），得出N=M÷3+36
套用公式可得，这本书一共有270÷3+36=126页。
选B
九、多人传球问题
【例9】（国考2006）
4个人进行篮球传球接球练习，要求每人接球后再传给别人。
开始由甲发球，并作为第一次传球，若第五次传球后，球又回到甲手中，则共有多少种传球方式？
（ ）
A.60 B.65 C.70 D.75
M个人传N次球，记X=（M-1）n/M,
则与X最接近的整数为传给“非自己的某人”的方法数；
与X第二接近的整数为传回到自己的方法数。
根据结论，4个人传5次球，球回到甲手中，故答案为（4-1）5/4,=60.75，传回到手中，找第二接近的整数，为60。
选A
公务员考试数学运算之不定方程解法
不定方程是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些限制（如要求是有理数、整数或正整数等）的方程或方程组。
在行测考试中，最常出现的是二元一次方程，其通用形式为ax+by=c，其中a、b、c为已知整数，x、y为所求自然数。
解不定方程时，我们需要利用整数的奇偶性、自然数的质合性等多种数学知识确定解的范围，首先看一条例题。
【例题】工人甲一分钟可生产螺丝3个或螺丝帽9个，工人乙一分钟可生产螺丝2个或螺丝帽7个。
现在两人各花了20分钟，共生产螺丝和螺丝帽134个。
问生产的螺丝比螺丝帽多几个?
A.34个B.32个C.30个D.28个
【解析】此题答案为A。
设甲用x分钟生产螺丝，乙用y分钟生产螺丝，x、y<20。
3x+9（20-x）+2y+7（20-y）=134〔列出方程〕
6x+5y=186〔化为标准形式〕
5y的尾数只可能是0或5，则6x的尾数为6或1。
6x的尾数不可能是1，所以6x的尾数是6。
1-20范围内，x只可能是1、6、11、16。
〔确定解的范围〕
代入x=1，y=36;x=6，y=30;x=11，y=24;x=16，y=18。
由于y<20，所以y=18，其他都要舍去。
螺丝有3×16+2×18=84个，螺丝帽有134-84=50个，螺丝比螺丝帽多84-50=34个。
〔根据解的范围进行试探〕
【不定方程解题流程】
列出方程→化为标准形式→确定解的范围→根据解的范围进行试探
1.列出方程
行测考试中的不定方程一般只涉及二元一次方程。
2.化为标准形式
即将方程化简为ax+by=c的最简形式以便于求解。
3.确定解的范围
一般利用整数的奇偶性、质合性、整除特性或者选项特征来判断解的范围。
大部分情况下，通过这些性质可以直接排除错项圈定答案。
4.根据解的范围进行试探
对解的范围的缩小仍不能排除所有错项时，需要对这个范围内的可能解进行逐个试探。
【例题详解】
【例题1】共有20个玩具交给小王手工制作完成。
规定，制作的玩具每合格一个得5元，不合格一个扣2元，未完成的不得也不扣。
最后小王共收到56元，那么他制作的玩具中，不合格的共有（）个。
A.2B.3C.5D.7
解析：
此题答案为A。
设合格的有x个，不合格的有y个。
则5x-2y=56，x、y<20。
5x=56+2y，5x的尾数为0或5，56+2y是偶数，则其尾数只能为0。
结合选项可知y=2或7。
〔确定解的范围〕
当y=2时，x=12，共完成x+y=12+2=14个，符合题意;
当y=7时，x=14，x+y>20，不符题意，排除。
〔根据解的范围进行试探〕
【例题2】有271位游客欲乘大、小两种客车旅游，已知大客车有37个座位，小客车有20个座位。
为保证每位游客均有座位，且车上没有空座位，则需要大客车的辆数是（）。
A.1辆B.3辆C.2辆D.4辆
解析：
此题答案为B。
设大客车x量，小客车y量，依题意37x+20y=271。
20y的尾数是0，37x的尾数必然是1，所以x的尾数是3，结合选项知选B。
公务员考试之排列组合解题方法
排列：
排列的字母表示是A（m，n），表达的意思是从n个元素中取出m个元素，进行全排列（对m个元素进行排序）。
组合：
组合的字母表示是C（m，n），表达的意思是从n个元素中取m个元素，不进行排列（对m个元素不进行排序）。
排列与元素的顺序有关，组合与顺序无关。
如231与213是两个排列，2+3+1的和与2+1+3的和是一个组合。
下面，专家总结以下4大方法教您巧做排列组合题型。
一、捆绑法与插空法
例1：
某人射击8枪，命中4枪，恰好有三枪连续命中，有多少种不同的情况?
【分析】连续命中的三枪与单独命中的一枪不能相邻，因而这是一个插空问题。
另外没有命
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