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数学趣闻集粹
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抽屉原理与电脑算命
“电脑算命”看起来挺玄乎，只要你报出自己出生的年、月、日和性别，一按按键，屏幕上就会出现所谓性格、命运的句子，据说这就是你的“命”。
其实这充其量不过是一种电脑游戏而已。
我们用数学上的抽屉原理很容易说明它的荒谬。
抽屉原理又称鸽笼原理或狄利克雷原理，它是数学中证明存在性的一种特殊方法。
举个最简单的例子，把3个苹果按任意的方式放入两个抽屉中，那么一定有一个抽屉里放有两个或两个以上的苹果。
这是因为如果每一个抽屉里最多放有一个苹果，那么两个抽屉里最多只放有两个苹果。
运用同样的推理可以得到：
原理1把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。
原理2把多于mn个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+l个的物体。
如果以70年计算，按出生的年、月、日、性别的不同组合数应为70×365×2＝51100，我们把它作为“抽屉”数。
我国现有人口11亿，我们把它作为“物体”数。
由于1.1×=21526×51100+21400，根据原理2，存在21526个以上的人，尽管他们的出身、经历、天资、机遇各不相同，但他们却具有完全相同的“命”，这真是荒谬绝伦！
在我国古代，早就有人懂得用抽屉原理来揭露生辰八字之谬。
如清代陈其元在《庸闲斋笔记》中就写道：
“余最不信星命推步之说，以为一时（注：
指一个时辰，合两小时）生一人，一日生十二人，以岁计之则有四千三百二十人，以一甲子（注：
指六十年）计之，止有二十五万九千二百人而已，今只以一大郡计，其户口之数已不下数十万人（如咸丰十年杭州府一城八十万人），则举天下之大，自王公大人以至小民，何啻亿万万人，则生时同者必不少矣。
其间王公大人始生之时，必有庶民同时而生者，又何贵贱贫富之不同也？
”在这里，一年按360日计算，一日又分为十二个时辰，得到的抽屉数为60×360×12＝259200。
所谓“电脑算命”不过是把人为编好的算命语句象中药柜那样事先分别一一存放在各自的柜子里，谁要算命，即根据出生的年月、日、性别的不同的组合按不同的编码机械地到电脑的各个“柜子”里取出所谓命运的句子。
这种在古代迷信的亡灵上罩上现代科学光环的勾当，是对科学的亵渎。
摘自中学数学
2巧用数学看现实
在现实生活中，人们的生活越来越趋向于经济化，合理化．但怎样才能达到这样的目的呢？
在数学活动组里，我就遇到了这样一道实际生活中的问题：
某报纸上报道了两则广告，甲商厦实行有奖销售：
特等奖10000元1名，一等奖1000元2名，二等奖100元10名，三等奖5元200名，乙商厦则实行九五折优惠销售。
请你想一想；哪一种销售方式更吸引人？
哪一家商厦提供给销费者的实惠大？
面对问题我们并不能一目了然。
于是我们首先作了一个随机调查。
把全组的16名学员作为调查对象，其中8人愿意去甲家，6人喜欢去乙家，还有两人则认为去两家都可以。
调查结果表明：
甲商厦的销售方式更吸引人，但事实是否如此呢？
在实际问题中，甲商厚每组设奖销售的营业额和参加抽奖的人数都没有限制。
所以我们认为这个问题应该有几种答案。
一、苦甲商厦确定每组设奖，当参加人数较少时，少于213（1十2＋10＋200=213人）人，人们会认为获奖机率较大，则甲商厦的销售方式更吸引顾客。
二、若甲商厦的每组营业额较多时，它给顾客的优惠幅度就相应的小。
因为甲商厦提供的优惠金额是固定的，共14000元（10000＋2000＋1000＋1000=14000）。
假设两商厦提供的优惠都是14000元，则可求乙商厦的营业额为280000元（14000÷5％=280000）。
所以由此可得：
（l）当两商厦的营业额都为280000元时，两家商厦所提供的优惠同样多。
（2）当两商厦的营业额都不足280000元时，乙商厦的优惠则小于14000元，所以这时甲商厦提供的优惠仍是14000元，优惠较大。
（3）当两家的营业额都超过280000元时，乙商厦的优惠则大于14000元，而甲商厦的优惠仍保持14000元时，乙商厦所提供的实惠大。
像这样的问题，我们在日常生活中随处可见。
例如，有两家液化气站，已知每瓶液化气的质和量相同，开始定的价也相同。
为了争取更多的用户，两站分别推出优惠政策。
甲站的办法是实行七五折错售，乙站的办法是对客户自第二次换气以后以7折销售。
两站的优惠期限都是一年。
你作为用户，应该选哪家好？
这个问题与前面的问题有很大相同之处。
只要通过你所需要的罐数来分析讨论，这样，问题便可迎刃而解了。
随着市场经济的逐步完善，人们日常生活中的经济活动越来越丰富多彩。
买与卖，存款与保险，股票与债券，……都已进入我们的生活．同时与这一系列经济活动相关的数学，利比和比例，利息与利率，统计与概率。
运筹与优化，以及系统分析和决策，都将成为数学课程中的“座上客”。
作为跨世纪的中学生，我们不仅要学会数学知识，而且要会应用数学知识去分析、解决生活中遇到的问题．这样才能更好地适应社会的发展和需要。
（选自《中学生数学》期刊2001年5月下）
帕斯卡三角形与道路问题
苏珊很为难.她步行去学校，路上老是遇到斯廷基.斯廷基：
"嘿嘿，苏珊，我可以陪你一起走吗?
"苏珊：
"不!
请走开."
苏珊心想：
我有办法了.每天早上我走不同的路线去学校.这样斯廷基就不知道在哪儿找到我了.这张地图表示苏珊的住所和学校之间的所有街道.苏珊去学校时，走路的方向总是朝南或朝东.她总共有多少条路线呢?
苏珊：
"我真想知道有多少条路线可走.让我想一想.要算出多少条路线看来并不简单.嗯.啊哈!
一点不难，简单的很!
"苏珊想到了什么好主意?
她的推理如下：
苏珊：
"在我家这个角点上写一个1，因为我只能从这一点出发.然后在遇刺相隔一个街区的两个角点上各写一个1，因为到那里只有一条途径.现在，我在这个角点上写上2，因为到达那里可以有两条途径.苏珊发现2是1加1之和，她忽然领悟：
若到某一个仅有一条途径，则该角点上的数字为前一个角点上的数字;若有两条途径，则为前两个角点上的数字之和.
苏珊：
"瞧，又有四个角点标上了数字，我马上把其他角点也标上数字."请你替苏珊把剩下的角点标上数字，并且告诉她步行到学校共有多少条不同的路线.
苏珊的家H
1
1
1
2
1
3
2
5
学校G
剩下的5个点，自上而下，从左至右分别标以1，4，9，4，13.最后一点上的13表示苏珊去学校共有十三条最短路径.
苏珊所发现的是一种快速而简单的算法，用来计算从她家到学校的最短路径共有多少条.要是她把这些路径一条一条地画出来，然后再计数，这样肯定麻烦，还容易出错.如果街道的数目很多，那么这种方法根本就行不通.你不妨把这十三条路线都画出来，这样你就更能体会到苏珊的算法是多么地有效了.
你对这种算法是否已经理解，可以再画一些不同的街道网络，然后用这种算法来确定从任意点A到另一任意点B的最短路线共有多少条.网络可以是矩形网格，三角形网格，平行四边形网格和蜂窝状的正六边形网格.也可以用其他方法（例如组合公式）求解，但这种方法十分复杂，需要很高的技巧.
在国际象棋棋盘上，"车"从棋盘的一角到对角线上另一角的最短路径共有多少条?
就像苏珊给街道交点标上数字一样，把棋盘上所有格子也都填上数字，于是问题就迎刃而解了."车"只能沿着右上方向朝另一个角的目标移动，便可以求出共有多少条最短路径.如图所示：
1
8
36
120
330
792
1716
3432
1
7
28
84
210
462
924
1716
1
6
21
56
126
252
462
792
1
5
15
35
70
126
210
330
1
4
10
20
35
56
84
120
1
3
6
10
15
21
28
36
1
2
3
4
5
6
7
8
车
1
1
1
1
1
1
1
把整个棋盘正确标号，根据所标的数字，一眼就能看出在棋盘上从一个角出发到任意一角，有多少条最短路线.右上角的数字是3432，所以"车"从一角到对角线的另一角的最短路径共有3432条.
让我们把棋盘沿着左上至右下的对角线一截为二，使其成为如下图所示的阵列.此三角形上的数字与著名的怕斯卡三角形（我国叫做杨辉三角形）的数字是相同的，当然，计算街道路径条数的算法，恰恰就是构造怕斯卡三角形所依据的过程.这种同构现象使得怕斯卡三角形成为无数有趣特性的不竭的源泉.
1
11
121
1331
14641
...........
利用怕斯卡三角形立即可以求出二项式展开的系数，即求（a+b）的任意次幂，同样也可以用来解出初等概率论中的许多问题.请注意，上图中自顶部至底部，从边沿一格来说是1，随着向中间移动，数字逐渐增加.也许你见过根据怕斯卡三角形所制成的一种装置：
在一快倾斜的板上，成百个小球滚过木钉进入各格的底部.全部小球呈现出一条钟形的二项式分布曲线，因为到达每个底部孔位的最短路径的条数就是二项式展开的系数.
显然，苏珊的算法同样适用于由矩阵格子组成的三维结构.设有一个边长为3的立方体，分成27个立方体单元，把它看成棋盘，处于某一个角格上的"车"可以向三个坐标上的任何位置作直线移动，试问"车"到空间对角线的另一个角格有多少条最短路径?
摘自走进数学
足球联赛的理论保级分数
所谓理论保级分数，就是指一般来讲，一个参赛球队只要达到了这个分数，无论别的球队的成绩如何，都能保证自己不会降级。
这个分数无疑能给那些成绩不佳的球队的一个有效的参考，帮助他们调整策略。
当然，不仅是我国的足球联赛，其它各个国家的足球联赛，都会有保级分数的问题。
那么这个理论保级分数应该如何计算呢？
怎样找到一种普遍适用于各国足球联赛的计算理论保级分数的方法呢？
下面，我们建立一个数学模型解决这个问题。
模型建立与分析
要想研究理论保级分数，就必须研究每支球队在每场比赛中的成绩。
通过观察各大联赛的比赛情况，我们可以知道，球队的实力对比赛结果有很大的影响。
比如，实力差距比较大的两支球队比赛，实力强的一方获胜的希望比较大。
所以，如果讨论联赛的积分情况，就不能回避球队实力的差异问题。
但是球队的实力是一个很抽象的事物，不易计算和比较，为了能用数学语言描述它，可以为每个球队引入一个参数，能够较好的描述球队的实力称它为这个球队的实力数，我们可以定义随机变量X为一支球队在某一场比赛中的结果。
它可能有三种情况，即胜（积3分）、平（积1分）、负（积0分〕。
我们可以统计出每场比赛中两队的胜、平、负的频率（可近似地看成每种情况出现的概率）P，通过公式
求出一支球队在每场比赛中的数学期望。
将所有比赛的数学期望值相加，就可以求出理论上这支球队的最后积分。
另外，应该注意到主客场的差异对比赛结果的影响。
所以，如果主客场情况不同，相应的胜、负、平频率也不同，数学期望值也就不同。
一、模型假设
1．假设参加某一联赛的所有球队的实力数由小（实力强）到大（实大弱）可构成一个等差数列。
并且认为等差数列的首项为1，公差为1。
由此，一个联赛中的各个球队可以分别用一个数字代替，即，将所有n支参赛球队按实力由强到弱排列,则依次1,2,3,4，...,n。
这样每场比赛就有一个对应的实力数之差。
如实力数为3和7的两支球队之间的比赛，实力差是4。
2．假设任何不可预知的因素与比赛结果无关。
即比赛结果只与两支球队的实力差和主客场因素有关。
如认为球队3主场与球队8的比赛，和球队1主场与球队6的比赛没有任何区别。
3．假设统得出的每个实力差值对应的比胜、负、平的频率等于在理论上这些情况出现的频率。
二、定义变量
：
一支球队在一场比赛中的数学期望值。
：
一支球队i在所有比赛中的数学期望值之和。
n:
参加联赛的球队总数。
m：
联赛结束后将要降级的球队数目。
s：
一场比赛中实力较强的球队获胜的概率。
p：
一场比赛中实力较强的球队战平的概率。
f：
一场比赛中实力较强的球队失败的概率。
解决问题
一、统计随机变量X的分布
我们选取了英格兰足球超级联赛、德国足球甲级联赛、意大利足球甲级联赛、中国的甲级联赛中1999～2000赛季的详细情况，并根据这些数据统计了当实力数差分别为1,2,3,...，19时，较强的一方获胜、战平、战败的频率。
如下表：
（单位：
％）
实力差
主场
客场
胜
平
负
胜
平
负
1
53.03
21.21
25.76
24.63
36.92
38.46
2
47.54
21.31
31.15
26.23
39.34
34.43
3
42.63
19.30
28.07
22.22
39.34
34.43
4
60.38
16.98
22.64
37.25
31.37
31.37
5
38.00
22.00
10.00
38.00
26.00
36.00
6
38.00
12.00
20.00
34.00
28.00
38.00
7
60.95
14.63
24.39
36.59
36.59
26.83
8
71.05
10.53
18.42
34.29
34.29
31.43
9
72.73
15.15
1212
41.18
26.47
32.35
10
73.33
3.37
20.00
40.00
30.00
30.00
11
88.00
0.00
12.00
12.31
30.77
26.92
12
86.36
1.55
9.09
40.91
13.64
45.45
13
88.24
0.00
11.76
31.11
11.11
27.78
14
85.71
0.00
14.29
71.13
21.43
7.14
15
90.91
0.00
9.09
54.55
36.36
9.09
16
75.00
12.50
12.50
70.00
10.00
20.00
17
60.00
40.00
0.00
60.00
0.00
40.00
18
100.00
0.00
0.00
100.00
0.00
0.00
19
100.00
0.00
0.00
100.00
0.00
0.00
二、计算各队的理论积分
有了这些数据之后，我们可以根据求随机变量的数学期望的公式：
求出一支球队在同比自己实力弱的球队的比赛里的教学期望。
即
当一支球队和比自己实力强的球队比赛时，实力较强球队的战败概率就是实力较弱的球队的获胜概率。
即
这样一来，所有比赛的数学期望都能求出。
也就是说，对于每一支球队，其所有比赛数学期望值的和也能求出，我们用表示实力数i的球队的所有数学期望值的和（理论积分）。
然后，将1～n这支球队对应的指从大到小依次排列成数列{}，因为在世界各国的足球联赛中对降级球队数目的规定不同，有的是2支球以，有的是3支球队。
根据不同的情况，只要求出数列中相应的项（保级球队中的最低分数）就是待求的理论保级分数值了。
根据这种思路，我们使用VisualBasic6.0编制一个程序来计算理论保级分数。
算法简要说明
1.输入数据：
将计算所需的变量n、m通过文本框Textl、Text2输入程序中。
2.定义数组：
将统计得出的s、p、f各概率值定义为三个数组s（）、p（）、以便赋值。
再定义数列{}为一个一维数组T（20）。
3．对概率赋值：
将统计得的概率数据赋至各个数组中。
4．通过循环嵌套，计算最后每支球队的理论积分，即各个数学期望之和。
5．将恰好保级的一支球队的分数输出之文本框Text3中。
具体源代码及说明（略）
运行源程序，得出下表数据：
参赛球队数
12
14
18
20
4
降级球队数
3
2
3
2
2
理论保级分数
26.257
58.5259
34.5975
35.0691
8.1738
这样，一般的足球联赛都能通过这个程序求出理论保级分数。
验证模型
以上，给出了足球联赛中的理论保级分数的一种计算方法，这种方法是否理想？
得出的结论能否令人满意？
下面，我们通过计算值与实际值的对比，来验证这个模型。
首先，我们看2000年的甲A联赛。
下表是该赛季最终的排名情况。
排名
1
2
3
4
5
6
7
积分
56
50
44
41
40
35
34
排名
8
9
10
11
12
13
14
积分
32
32
31
29
29
23
17
去掉两个降级球队的分数，保级分数是29分。
经过上述算法，将n=14，m=2代入，计算得来的理论保级分数是28.5259分，可见，与实际保级分数相差不大。
再看看上赛季意大利足球甲级联赛,去掉3个降级的球队,实际保级分数是36分。
将n=18,m=3代入，计算的理论保级分数是34.5975分，与实际情况也相差不大。
虽然用这个程序计算的保级分数有时会与实际分数有一点差距，但在大多数情况下，这个程序能够较好地估计保级分数。
误差分析
这个模型中可能产生误差的地方有如下几处：
一、在模型假设中，假设各球队的实力数构成等差数列。
这种假设与实际情况有一定差距。
二、在统计概率过程中，随着n值不断增大，能找到的比赛数量越来越少。
所以在n较大时，统计出的频率与理论上的频率的偏差也就比较大。
三、在实际比赛中，很多其它因索，如天气等都有可能影响比赛的结果。
这个模型并没有考虑这些因素，所以无法避免由此产生的误差。
由于以上几种可能产生误差的原因，这个模型计算的结果与实际保级分数有大约6分以下的差距。
由于一般情况下这个模型计算的结果比较合适，所以认为这样的误差在可以接受的范围内。
参考资料
1．《问题解决的数学模型》，刘来福、曾文艺著，北京师范大学出版社。
2.《中学数学知识应用精编》，上海市中学生数学知识应用大竞赛委员会编写组著，华东理工大学出版社。
3．《数学建模精品案例》，朱道元编著，东南大学出版社。
（选自《中学生数学》期刊2001年11月上）
七桥问题和一笔画
18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡，那里有七座桥。
如图1所示：
河中的小岛A与河的左岸B、右岸C各有两座桥相连结，河中两支流间的陆地D与A、B、C各有一座桥相连结。
当时哥尼斯堡的居民中流传着一道难题：
一个人怎样才能一次走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到出发点？
大家都试图找出问题的答案，但是谁也解决不了这个问题。
图1图2
七桥问题引起了著名数学家欧拉（1707—1783）的关注。
他把具体七桥布局化归为图2所示的简单图形，于是，七桥问题就变成一个一笔画问题：
怎样才能从A、B、C、D中的某一点出发，一笔画出这个简单图形（即笔不离开纸，而且a、b、c、d、e、f、g各条线只画一次不准重复），并且最后返回起点？
欧拉经过研究得出的结论是：
图2是不能一笔画出的图形。
这就是说，七桥问题是无解的。
这个结论是如何产生呢？
请看下面的分析。
如果我们从某点出发，一笔画出了某个图形，到某一点终止，那么除起点和终点外，画笔每经过一个点一次，总有画进该点的一条线和画出该点的一条线，因此就有两条线与该点相连结。
如果画笔经过一个n次，那么就有2n条线与该点相连结。
因此，这个图形中除起点与终点外的各点，都与偶数条线相连。
如果起点和终点重合，那么这个点也与偶数条线相连；如果起点和终点是不同的两个点，那么这两个点部是与奇数条线相连的点。
综上所述，一笔画出的图形中的各点或者都是与偶数条线相连的点，或者其中只有两个点与奇数条线相连。
图2中的A点与5条线相连结，B、C、D各点各与3条线相连结，图中有4个与奇数条线相连的点，所以不论是否要求起点与终点重合，都不能一笔画出这个图形。
1736年，欧拉在圣彼得堡科学院作了一次学术报告。
在报告中，他证明了上述结论。
后来他又给出了鉴别任一图形能否一笔画出的准则，即欧拉定理。
为了介绍这个定理，我们先来看下面的预备知识：
由有限条线组成的图形叫做网络，其中每条线都要求有两个不同的端点。
这些线叫做网络的弧，弧的端点叫做网络的顶点。
例如，图2是一个网络，a、b、c、d、e、f、g是它的7条弧，A、B、C、D是它的四个顶点。
网络中互相衔结的一串弧叫做一条路。
如果网络中任意两个顶点都可以用一条路连结起来，那么就称这个网络为连通的；否则称为不连通的。
例如，图2是连通的网络；图3是不连通的网络，其中有的顶点（例如A与D）之间没有路线连结。
图3图4
网络中以某顶点为端点的弧的条数，叫做该顶点的叉数。
叉数是奇数的顶点叫做奇顶点，叉数是偶数的顶点叫做偶顶点。
下面介绍欧拉定理。
欧拉定理如果一个网络是连通的并且奇顶点的个数等于0或2，那么它可以一笔画出；否则它不可以一笔画出。
用欧拉定理可以很方便地判断一个简单图形是否可以一笔画出。
例如，图3是不连通网络，它不能一笔画出（尽管它的奇顶点个数为0）；图4中实线所示图形有8个奇顶点．它不能一笔画出，如果将图中虚线补为实线，那么奇顶点只有F和G两个，所得图形就能一笔画出了（以F为起点，G为终点；或G为起点，F为终点）。
试问下列图形能否一笔画出？
如能画出应怎样画？
如不能画出理由是什么？
富兰克林的遗嘱与拿破仑的诺言
你知道本杰明·富兰克林是何许人吗？
富兰克林利用放风筝而感受到电击，从而发明了避雷针。
这位美国著名的科学家死后留下了一份有趣的遗嘱：
“……一千英磅赠给波士顿的居民，如果他们接受了这一千英磅，那么这笔钱应该托付给一些挑选出来的公民，他们得把这些钱按每年5％的利率借给一些年轻的手工业者去生息。
这些款过了100年增加到131000英磅。
我希望那时候用100000英磅来建立一所公共建筑物，剩下的31
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