高中数学必修五《等比数列的前n项和》.docx

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高中数学必修五《等比数列的前n项和》

等比数列的前n项和

第1课时

一、选择题

1．设等比数列{an}的前n项和Sn，已知a1＝2，a2＝4，那么S10等于（　　）

A．210＋2　　　　　　B．29－2

C．210－2D．211－2

[答案]　D

[解析]　∵q＝＝2，∴S10＝＝2（210－1）＝211－2，选D．

2．等比数列{an}的前n项和Sn＝3n＋a，则a的值为（　　）

A．3B．0

C．－1D．任意实数

[答案]　C

[解析]　S1＝a1＝3＋a，S2－S1＝a2＝32＋a－3－a＝6，S3－S2＝a3＝33＋a－32－a＝18，＝，

所以a＝－1.

3．设数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，且S3＝3a3，则公比q的值为（　　）

A．－　B．

C．1或－D．－1或

[答案]　C

[解析]　当q＝1时，S3＝3a1＝3a3符合题意；

当q≠1时，S3＝＝3a1q2.

∵a1≠0，

∴1－q3＝3q2（1－q）．

由1－q≠0，两边同时约去1－q，得

1＋q＋q2＝3q2，

即2q2－q－1＝0，解得q＝－.

综上，公比q＝1，或q＝－.

4．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝（　　）

A．16（1－4－n）B．16（1－2－n）

C．（1－4－n）D．（1－2－n）

[答案]　C

[解析]　∵＝q3＝，∴q＝.

∴an·an＋1＝4·（）n－1·4·（）n＝25－2n，

故a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋anan＋1＝23＋21＋2－1＋2－3＋…＋25－2n

＝＝（1－4－n）．

5．（2014·大纲全国卷文，8）设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6＝（　　）

A．31B．32

C．63D．64

[答案]　C

[解析]　解法1：

由条件知：

an>0，且

∴∴q＝2.

∴a1＝1，∴S6＝＝63.

解法2：

由题意知，S2，S4－S2，S6－S4成等比数列，即（S4－S2）2＝S2（S6－S4），即122＝3（S6－15），∴S6＝63.

6．已知等比数列前20项和是21，前30项和是49，则前10项和是（　　）

A．7B．9

C．63D．7或63

[答案]　D

[解析]　由S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，

∴（S20－S10）2＝S10·（S30－S20），

即（21－S10）2＝S10（49－21），

∴S10＝7或63.

二、填空题

7．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}的前7项和为________．

[答案]　127

[解析]　设数列{an}的公比为q（q>0），

则有a5＝a1q4＝16，

∴q＝2，数列的前7项和为S7＝＝＝127.

8．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，Sn＝93，an＝48，公比q＝2，则项数n＝________.

[答案]　5

[解析]　由Sn＝93，an＝48，公比q＝2，得⇒2n＝32⇒n＝5.

三、解答题

9．已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）求数列{2an}的前n项和Sn.

[解析]　

（1）由题设，知公差d≠0，

由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得

＝，

解得d＝1，或d＝0（舍去）．

故{an}的通项an＝1＋（n－1）×1＝n.

（2）由

（1）知2an＝2n，由等比数列前n项和公式，得

Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＝＝2n＋1－2.

10．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．

（1）求{an}的公比q；

（2）若a1－a3＝3，求Sn.

[解析]　

（1）∵S1，S3，S2成等差数列，2S3＝S1＋S2，

∴q＝1不满足题意．

∴＝a1＋，

解得q＝－.

（2）由

（1）知q＝，

又a1－a3＝a1－a1q2＝a1＝3，

∴a1＝4.

∴Sn＝＝[1－（－）n].

一、选择题

1．若等比数列{an}各项都是正数，a1＝3，a1＋a2＋a3＝21，则a3＋a4＋a5的值为（　　）

A．21B．42

C．63D．84

[答案]　D

[解析]　∵a1＋a2＋a3＝21，∴a1（1＋q＋q2）＝21，

又∵a1＝3，∴1＋q＋q2＝7，

∵an>0，∴q>0，∴q＝2，

∴a3＋a4＋a5＝q2（a1＋a2＋a3）＝22×21＝84.

2．等比数列{an}中，已知前4项之和为1，前8项和为17，则此等比数列的公比q为（　　）

A．2B．－2

C．2或－2D．2或－1

[答案]　C

[解析]　S4＝1，S8＝S4＋q4·S4＝1＋q4＝17∴q＝±2.

3．在各项为正数的等比数列中，若a5－a4＝576，a2－a1＝9，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5的值是（　　）

A．1061B．1023

C．1024D．268

[答案]　B

[解析]　由a4（q－1）＝576，a1（q－1）＝9，

∴＝q3＝64，∴q＝4，∴a1＝3，

∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝＝1023.

4．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝（　　）

A．　B．

C．D．

[答案]　B

[解析]　{an}是正数组成的等比数列，∴a3＝＝1，又S3＝7，∴，消去a1得，＝7，解之得q＝，∴a1＝4，∴S5＝＝.

二、填空题

5．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.

[答案]　3

[解析]　若q＝1时，S3＝3a1，S6＝6a1，显然S6≠4S3，故q≠1，

∴＝4·，∴1＋q3＝4，∴q3＝3.

∴a4＝a1q3＝3.

6．已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.

[答案]　2

[解析]　由题意，得，

解得S奇＝－80，S偶＝－160，

∴q＝＝＝2.

三、解答题

7．已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，S3＝，首项a1＝.

（1）求数列{an}的通项公式an；

（2）令bn＝6n－61＋log2an，求数列{bn}的前n项和Tn.

[解析]　

（1）由已知S3＝a1＋a2＋a3＝，＋q＋q2＝.

q2＋q－6＝0，

（q＋3）（q－2）＝0

q＝2或q＝－3.（舍）

∴an＝a1·qn－1＝2n－2.

（2）bn＝6n－61＋log22n－2

＝6n－61＋n－2＝7n－63.

bn－bn－1＝7n－63－7n＋7＋63＝7，

∴数列{an}是等差数列．

又b1＝－56，∴Tn＝nb1＋n（n－1）×7

＝－56n＋n（n－1）×7

＝n2－n.

8．（2014·北京文，15）已知{an}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{bn}满足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}为等比数列．

（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；

（2）求数列{bn}的前n项和．

[解析]　

（1）设等差数列{an}的公差为d，由题意得

d＝＝＝3.

所以an＝a1＋（n－1）d＝3n（n＝1,2，…）．

设等比数列{bn－an}的公比为q，由题意得

q3＝＝＝8，解得q＝2.

所以bn－an＝（b1－a1）qn－1＝2n－1，

从而bn＝3n＋2n－1（n＝1,2，…）．

（2）由

（1）知bn＝3n＋2n－1（n＝1,2，…）．

数列{3n}的前n项和为n（n＋1），数列{2n－1}的前n项和为1×＝2n－1.

所以，数列{bn}的前n项和为n（n＋1）＋2n－1.

第2课时

一、选择题

1．数列1，3，5，7，…的前n项和Sn为（　　）

A．n2＋1－B．n2＋1－

C．n2＋2－D．n2＋2－

[答案]　A

[解析]　由题设知，数列的通项为an＝2n－1＋，显然数列的各项为等差数列{2n－1}和等比数列{}相应项的和，从而Sn＝[1＋3＋…＋（2n－1）]＋（＋＋…＋）＝n2＋1－.

2．已知数列{an}的通项公式是an＝，若前n项和为10，则项数n为（　　）

A．11B．99

C．120D．121

[答案]　C

[解析]　因为an＝＝－，所以Sn＝a1＋a2＋…＋an＝（－1）＋（－）＋…＋（－）＝－1＝10，解得n＝120.

3．已知等比数列的前n项和Sn＝4n＋a，则a的值等于（　　）

A．－4B．－1

C．0D．1

[答案]　B

[解析]　a1＝S1＝4＋a，

a2＝S2－S1＝42＋a－4－a＝12，

a3＝S3－S2＝43＋a－42－a＝48，

由已知得a＝a1a3，

∴144＝48（4＋a），

∴a＝－1.

4．数列{an}的通项公式为an＝（－1）n－1·（4n－3），则它的前100项之和S100等于（　　）

A．200B．－200

C．400D．－400

[答案]　B

[解析]　S100＝1－5＋9－13＋…＋（4×99－3）－（4×100－3）＝50×（－4）＝－200.

5．数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S5等于（　　）

A．1　B．

C．D．

[答案]　B

[解析]　an＝＝－，

∴S5＝1－＋－＋－＋－＋－＝1－＝.

6．数列{an}中，已知对任意n∈N*，a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，则a＋a＋a＋…＋a等于（　　）

A．（3n－1）2　B．（9n－1）

C．9n－1D．（3n－1）

[答案]　B

[解析]　∵a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，

∴a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝3n－1－1（n≥2），

两式相减得an＝3n－3n－1＝2·3n－1，

又a1＝2满足上式，

∴an＝2·3n－1.

∴a＝4·32n－2＝4·9n－1，

∴a＋a＋…＋a＝4（1＋9＋92＋…＋9n－1）

＝＝（9n－1）．

二、填空题

7．数列，，，…，，…前n项的和为________．

[答案]　4－

[解析]　设Sn＝＋＋＋…＋①

Sn＝＋＋＋…＋②

①－②得

（1－）Sn＝＋＋＋＋…＋－＝2－－.

∴Sn＝4－.

8．已知数列a1＋2，a2＋4，…，ak＋2k，…，a10＋20共有10项，其和为240，则a1＋a2＋…＋ak＋…＋a10＝________.

[答案]　130

[解析]　由题意，得a1＋a2＋…＋ak＋…＋a10＝240－（2＋4＋…＋2k＋…＋20）＝240－110＝130.

三、解答题

9．求数列1,3a,5a2,7a3，…，（2n－1）an－1的前n项和．

[解析]　当a＝1时，数列变为1,3,5,7，…，（2n－1），

则Sn＝＝n2，

当a≠1时，有

Sn＝1＋3a＋5a2＋7a3＋…＋（2n－1）an－1，①

aSn＝a＋3a2＋5a3＋7a4＋…＋（2n－1）an，②

①－②得：

Sn－aSn＝1＋2a＋2a2＋2a3＋…＋2an－1－（2n－1）an，

（1－a）Sn＝1－（2n－1）an＋2（a＋a2＋a3＋a4＋…＋an－1）

＝1－（2n－1）an＋2·

＝1－（2n－1）an＋.

又1－a≠0，

所以Sn＝＋.

10．（2014·全国大纲文，17）数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1－an＋2.

（1）设bn＝an＋1－an，证明{bn}是等差数列；

（2）求{an}的通项公式．

[解析]　

（1）证明：

由an＋2＝2an＋1－an＋2得

an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2.

即bn＋1＝bn＋2.

又b1＝a2－a1＝1.

所以{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．

（2）由

（1）得bn＝1＋2（n－1）＝2n－1，

即an＋1－an＝2n－1.

于是（ak＋1－ak）＝（2k－1），

所以an＋1－a1＝n2，即an＋1＝n2＋a1.

又a1＝1，所以{an}的通项公式为an＝n2－2n＋2.

一、选择题

1．已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝（　　）

A．　　B．

C．6D．7

[答案]　A

[解析]　∵

＝

＝

＝＝，

又∵＝＝，

∴＝＝.

∴＝.

2．数列{an}满足an＋1＋（－1）nan＝2n－1，则{an}的前60项和为（　　）

A．3690B．3660

C．1845D．1830

[答案]　D

[解析]　不妨令a1＝1，则a2＝2，a3＝a5＝a7＝…＝1，a4＝6，a6＝10，…，所以当n为奇数时，an＝1；当n为偶数时，各项构成以2为首项，4为公差的等差数列，所以前60项的和为30＋2×30＋×4＝1830.

3．数列{an}的通项公式是an＝sin（＋），设其前n项和为Sn，则S12的值为（　　）

A．0　B．

C．－D．1

[答案]　A

[解析]　a1＝sin（＋）＝1，

a2＝sin（π＋）＝－1，

a3＝sin（＋）＝－1，

a4＝sin（2π＋）＝1，

同理，a5＝1，a6＝－1，

a7＝－1，a8＝1，a9＝1，

a10＝－1，a11＝－1，a12＝1，

∴S12＝0.

4．已知等差数列{an}满足a5＋a2n－5＝2n（n≥3），则当n≥1时，2a1＋2a3＋…＋2a2n－1＝（　　）

A．　B．

C．D．

[答案]　B

[解析]　由a5＋a2n－5＝2n（n≥3），得2an＝2n，

∴an＝n.

∴2a1＋2a3＋…＋2a2n－1＝2＋23＋25＋…＋22n－1

＝＝.

二、填空题

5．设f（x）＝，利用课本中推导等差数列前n项和的方法，可求得f（－5）＋f（－4）＋…＋f（0）＋…＋f（5）＋f（6）的值为________．

[答案]　3

[解析]　f（0）＋f

（1）＝＋＝，

f（x）＋f（1－x）＝＋

＝＋＝，

∴f（－5）＋f（－4）＋…＋f（5）＋f（6）

＝

＝×12×（f（0）＋f

（1））＝3.

6．求和1＋（1＋3）＋（1＋3＋32）＋（1＋3＋32＋32）＋…＋（1＋3＋…＋3n－1）＝________.

[答案]　（3n－1）－

[解析]　a1＝1，a2＝1＋3，a3＝1＋3＋32，……

an＝1＋3＋32＋…＋3n－1＝（3n－1），

∴原式＝（31－1）＋（32－1）＋……＋（3n－1）＝[（3＋32＋…＋3n）－n]＝（3n－1）－.

三、解答题

7．（2013·浙江理，18）在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且a1,2a2＋2,5a3成等比数列．

（1）求d，an；

（2）若d<0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.

[解析]　

（1）由题意得a1·5a3＝（2a2＋2）2，a1＝10，

即d2－3d－4＝0.

故d＝1或d＝4.

所以an＝－n＋11，n∈N*或an＝4n＋6，n∈N*.

（2）设数列{an}的前n项和为Sn.因为d<0，由

（1）得d＝－1，an＝－n＋11.则

当n≤11时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝Sn＝－n2＋n.

当n≥12时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－Sn＋2S11＝n2－n＋110.

综上所述，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝

8．已知数列{an}和{bn}中，数列{an}的前n项和为Sn.若点（n，Sn）在函数y＝－x2＋4x的图象上，点（n，bn）在函数y＝2x的图象上．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）求数列{anbn}的前n项和Tn.

[解析]　

（1）由已知得Sn＝－n2＋4n，

∵当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－2n＋5，

又当n＝1时，a1＝S1＝3，符合上式．

∴an＝－2n＋5.

（2）由已知得bn＝2n，anbn＝（－2n＋5）·2n.

Tn＝3×21＋1×22＋（－1）×23＋…＋（－2n＋5）×2n，

2Tn＝3×22＋1×23＋…＋（－2n＋7）×2n＋（－2n＋5）×2n＋1.

两式相减得

Tn＝－6＋（23＋24＋…＋2n＋1）＋（－2n＋5）×2n＋1

＝＋（－2n＋5）×2n＋1－6

＝（7－2n）·2n＋1－14.