届江苏省南通市高三第二次调研测试 数学试题及答.docx
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届江苏省南通市高三第二次调研测试数学试题及答
南通市2018届高三第二次调研测试
数学学科参考答案及评分建议
一、填空题：
本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
1．命题“
，
”的否定是“▲”．
【答案】
，
2．设
（
为虚数单位，
，
），则
的值为▲．
【答案】0
3．设集合
，
，则
▲．
【答案】
4．执行如图所示的伪代码，则输出的结果为▲．
【答案】11
5．一种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量（单位：
t/hm2）
如下：
9.8，9.9，10.1，10，10.2，则该组数据的方差为▲．
【答案】0.02
6．若函数
的图象与
轴相邻两个交点间的距离为2，则实数
的值
为▲．
【答案】
7．在平面直角坐标系
中，若曲线
在
（
为自然对数的底数）处的切线与直线
垂直，则实数
的值为▲．
【答案】
8．如图，在长方体
中，
3cm，
2cm，
1cm，则三棱锥
的体积为▲cm3．
【答案】1
9．已知等差数列
的首项为4，公差为2，前
项和为
．
若
（
），则
的值为▲．
【答案】7
10．设
（
）是
上的单调增函数，则
的值为▲．
【答案】6
11．在平行四边形
中，
，则线段
的长为▲．
【答案】
12．如图，在△ABC中，
，
，
，点
在边
上，
45°，则
的值为▲．
【答案】
13．设
，
，
均为大于1的实数，且
为
和
的等比中项，则
的最小值为▲．
【答案】
14．在平面直角坐标系
中，圆
：
，圆
：
．
若圆
上存在一点
，使得过点
可作一条射线与圆
依次交于点
，
，满足
，
则半径r的取值范围是▲．
【答案】
二、解答题：
本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证
明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
如图，在四面体
中，平面
平面
，
90°．
，
，
分别为棱
，
，
的中点．
（1）求证：
平面
；
（2）求证：
平面
平面
．
证明：
（1）因为
，
分别为棱
，
的中点，
所以
，……2分
又
平面
，
平面
，
故
平面
．……6分
（2）因为
，
分别为棱
，
的中点，所以
，
又
°，故
．……8分
因为平面
平面
，平面
平面
，且
平面
，
所以
平面
．……11分
又
平面
，
平面
平面
．……14分
（注：
若使用真命题“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面”证明“
平面
”，扣1分．）
16．（本小题满分14分）
体育测试成绩分为四个等级：
优、良、中、不及格．某班50名学生参加测试的结果如下：
等级
优
良
中
不及格
人数
5
19
23
3
（1）从该班任意抽取1名学生，求这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率；
（2）测试成绩为“优”的3名男生记为
，
，
，2名女生记为
，
．现从这5人中
任选2人参加学校的某项体育比赛．
①写出所有等可能的基本事件；
②求参赛学生中恰有1名女生的概率．
解：
（1）记“测试成绩为良或中”为事件
，“测试成绩为良”为事件
，“测试成绩为中”
为事件
，事件
，
是互斥的. ……2分
由已知，有
． ……4分
因为当事件
，
之一发生时，事件
发生，
所以由互斥事件的概率公式，得
． ……6分
（2）①有10个基本事件：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．……9分
②记“参赛学生中恰好有1名女生”为事件
．在上述等可能的10个基本事件中，
事件
包含了
，
，
，
，
，
．
故所求的概率为
．
答：
（1）这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率为
；
（2）参赛学生中恰有1名女生的概率为
． ……14分
（注：
不指明互斥事件扣1分；不记事件扣1分，不重复扣分；不答扣1分．事件
包含的6种基本事件不枚举、运算结果未化简本次阅卷不扣分．）
17．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系
中，已知向量
（1，0），
（0，2）.设向量
（
）
，
，其中
.
（1）若
，
，求x
y的值；
（2）若x
y，求实数
的最大值，并求取最大值时
的值.
解：
（1）（方法1）当
，
时，
，
（
），……2分
则
．……6分
（方法2）依题意，
，……2分
则
．……6分
（2）依题意，
，
，
因为x
y，
所以
，
整理得，
，……9分
令
，
则
.……11分
令
，得
或
，
又
，故
.
0
↘
极小值
↗
列表：
故当
时，
，此时实数
取最大值
.……14分
（注：
第
（2）小问中，得到
，
，及
与
的等式，各1分．）
18．（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系
中，椭圆
的左顶点为
，右焦点为
.
为椭圆上一点，且
.
（1）若
，
，求
的值；
（2）若
，求椭圆的离心率；
（3）求证：
以
为圆心，
为半径的圆与椭圆的
右准线
相切.
解：
（1）因为
，
，所以
，即
，
由
得，
，即
……3分
又
，
所以
，解得
或
（舍去）．……5分
（2）当
时,
，
由
得，
，即
，故
，……8分
所以
，解得
（负值已舍）．……10分
（3）依题意，椭圆右焦点到直线
的距离为
，且
，①
由
得，
即
②
由①②得，
，
解得
或
（舍去）.……13分
所以
，
所以以
为圆心，
为半径的圆与右准线
相切.……16分
（注：
第
（2）小问中，得到椭圆右焦点到直线
的距离为
，得1分；直接使用焦半
径公式扣1分．）
19．（本小题满分16分）
设
，函数
．
（1）若
为奇函数，求
的值；
（2）若对任意的
，
恒成立，求
的取值范围；
（3）当
时，求函数
零点的个数．
解：
（1）若
为奇函数，则
，
令
得，
，即
，
所以
，此时
为奇函数．……4分
（2）因为对任意的
，
恒成立，所以
．
当
时，对任意的
，
恒成立，所以
；……6分
当
时，易得
在
上是单调增函数，在
上
是单调减函数，在
上是单调增函数，
当
时，
，解得
，所以
；
当
时，
，解得
，所以a不存在；
当
时，
，解得
，
所以
；
综上得，
或
．……10分
（3）设
，
令
则
，
，
第一步，令
，
所以，当
时，
，判别式
，
解得
，
；
当
时，由
得，即
，
解得
；
第二步，易得
，且
，
1若
，其中
，
当
时，
，记
，因为对称轴
，
，且
，所以方程
有2个不同的实根；
当
时，
，记
，因为对称轴
，
，且
，所以方程
有1个实根，
从而方程
有3个不同的实根；
②若
，其中
，
由①知，方程
有3个不同的实根；
③若
，
当
时，
，记
，因为对称轴
，
，且
，所以方程
有1个实根；
当
时，
，记
，因为对称轴
，
，且
，
，……14分
记
，则
，
故
为
上增函数，且
，
，
所以
有唯一解，不妨记为
，且
，
若
，即
，方程
有0个实根；
若
，即
，方程
有1个实根；
若
，即
，方程
有2个实根，
所以，当
时，方程
有1个实根；
当
时，方程
有2个实根；
当
时，方程
有3个实根．
综上，当
时，函数
的零点个数为7；
当
时，函数
的零点个数为8；
当
时，函数
的零点个数为9．……16分
（注：
第
（1）小问中，求得
后不验证
为奇函数，不扣分；第
（2）小问中利用分离参数法参照参考答案给分；第（3）小问中使用数形结合，但缺少代数过程的只给结果分．）
20．（本小题满分16分）
设
是公差为
的等差数列，
是公比为
（
）的等比数列．记
．
（1）求证：
数列
为等比数列；
（2）已知数列
的前4项分别为4，10，19，34．
①求数列
和
的通项公式；
②是否存在元素均为正整数的集合
，
，…，
（
，
），使得数列
，
，…，
为等差数列？
证明你的结论．
解：
（1）证明：
依题意，
，……3分
从而
，又
，
所以
是首项为
，公比为
的等比数列．……5分
（2）①法1：
由
（1）得，等比数列
的前3项为
，
，
，
则
，
解得
，从而
，……7分
且
解得
，
，
所以
，
．……10分
法2：
依题意，得
……7分
消去
，得
消去
，得
消去
，得
，
从而可解得，
，
，
，
所以
，
．……10分
②假设存在满足题意的集合
，不妨设
，
，
，
，且
，
，
，
成等差数列，
则
，
因为
，所以
，①
若
，则
，
结合①得，
，
化简得，
，②
因为
，
，不难知
，这与②矛盾，
所以只能
，
同理，
，
所以
，
，
为数列
的连续三项，从而
，
即
，
故
，只能
，这与
矛盾，
所以假设不成立，从而不存在满足题意的集合
．……16分
（注：
第
（2）小问②中，在正确解答①的基础上，写出结论“不存在”，就给1分．）
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数学Ⅱ（附加题）
A．[选修4-1：
几何证明选讲]（本小题满分10分）
如图，从圆
外一点
引圆的切线
及割线
，
为切点．
求证：
．
证明：
因为PC为圆
的切线，
所以
，……3分
又
，
故△
∽△
，……7分
所以
，
即
．……10分
B．[选修4-2：
矩阵与变换]（本小题满分10分）
设
是矩阵
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