人教版九年级数学上册同步练习2414圆周角.docx

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人教版九年级数学上册同步练习2414圆周角

24．1　圆的有关性质

24.1.4　圆周角

1．如图24－1－47，A，B，C是⊙O上的三点，∠B＝75°，则∠AOC的度数是（　　）

A．150°B．140°C．130°D．120°

图24－1－47图24－1－48

2．如图24－1－48，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝59°，则∠C等于（　　）

A．29°B．31°C．59°D．62°

3．如图24－1－49，四边形ABCD是⊙O的内接四边形．若∠A＝70°，则∠C的度数是（　　）

图24－1－49

A．100°B．110°C．120°D．130°

4．2017·泰安如图24－1－50，△ABC内接于⊙O，若∠A＝α，则∠OBC等于（　　）

A．180°－2αB．2αC．90°＋αD．90°－α

　　图24－1－51

5．2017·云南如图24－1－51，B，C是⊙A上的两点，AB的垂直平分线与⊙A交于E，F两点，与线段AC交于点D.若∠BFC＝20°，则∠DBC等于（　　）

A．30°B．29°C．28°D．20°

6．2017·贵港如图24－1－52，A，B，C，D是⊙O上的四个点，B是

的中点，M是半径OD上任意一点．若∠BDC＝40°，则∠AMB的度数不可能是（　　）

图24－1－52

A．45°B．60°C．75°D．85°

7.将量角器按图24－1－53所示的方式放置在三角形纸片上，使顶点C在半圆上，点A，B的读数分别为100°，150°，则∠ACB的大小为________°.

图24－1－53

8．如图24－1－54，已知AB是⊙O的直径，C是圆周上的动点，P是优弧ABC的中点．

（1）如图①，求证：

OP∥BC；

（2）如图②，PC交AB于点D，当△ODC是等腰三角形时，求∠PAO的度数．

图24－1－54

9．2017·毕节如图24－1－55，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD＝30°，则∠BAD等于（　　）

图24－1－55

A．30°B．50°C．60°D．70°

10.如图24－1－56，AB为⊙O的直径，已知∠DCB＝20°，则∠DBA的度数为（　　）

图24－1－56

A．20°B．50°C．60°D．70°

11.如图24－1－57，量角器的零刻度线与三角尺ABC的斜边AB重合，其中量角器的零刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发按顺时针方向以每秒2度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第24秒时，点E在量角器上对应的读数是（　　）

图24－1－57

A．48°B．64°C．96°D．132°

12．如图24－1－58，在⊙O中，BD为⊙O的直径，弦AD的长为3，AB的长为4，AC平分∠DAB，则弦CD的长为________．

图24－1－58

13．2017·潍坊如图24－1－59，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC＝50°，则∠DBC的度数为（　　）

A．50°B．60°C．80°D．90°

　　　图24－1－59图24－1－60

14．如图24－1－60，已知等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°且AC＝BC＝4，在平面内任作∠APB＝60°，则BP的最大值为________．

15．如图24－1－61，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，F.

（1）若∠E＝∠F，求证：

∠ABC＝∠ADC；

（2）若∠E＝∠F＝42°，求∠A的度数；

（3）若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β，请你用含有α，β的代数式表示∠A的大小．

图24－1－61

16．⑪如图24－1－62，四边形OBCD中的三个顶点在⊙O上，A是优弧BAD上的一个动点（不与点B，D重合）．

（1）当圆心O在∠BAD的内部时，若∠BOD＝120°，则∠OBA＋∠ODA＝________°.

（2）若四边形OBCD为平行四边形．

①当圆心O在∠BAD的内部时，求∠OBA＋∠ODA的度数；

②当圆心O在∠BAD的外部时，请画出图形并直接写出∠OBA与∠ODA的数量关系．

图24－1－62

1．A　2.B　3.B

4．D　连接OC.∵△ABC内接于⊙O，∠A＝α，∴∠BOC＝2∠A＝2α.

∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝

＝90°－α.

5．A　∵∠BFC＝20°，

∴∠A＝2∠BFC＝40°.

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB＝

＝70°.

又∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD，

∴∠ABD＝∠A＝40°，

∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝70°－40°＝30°.

6．D　连接AD，OA，OB.∵B是

的中点，∴∠ADB＝∠BDC＝40°，∴∠AOB＝2∠ADB＝80°.又∵M是OD上一点，∴∠ADB≤∠AMB≤∠AOB，即40°≤∠AMB≤80°，则不符合条件的只有85°.

7．25

设量角器的中心为O，由题意可得∠AOB＝150°－100°＝50°，所以∠ACB＝

∠AOB＝25°.

8．解：

（1）证明：

如图①，连接PC.

∵

＝

，∴∠AOP＝∠COP.

在△AOP和△COP中，

∴△AOP≌△COP，∴∠APO＝∠CPO.

∵OA＝OP，∴∠APO＝∠OAP.

∵∠PCB＝∠OAP，

∴∠CPO＝∠PCB，∴OP∥BC.

（2）如图②，连接OP，AC.

∵

＝

，∴PA＝PC，∴∠PAC＝∠PCA.

∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，

∴∠PAO＝∠PCO.

当DO＝DC时，设∠DCO＝x，

则∠DOC＝x，∠PAO＝x，

∴∠OPC＝∠OCP＝x，∠PDO＝2x.

∵∠PAO＝x，∴∠POD＝2∠PAO＝2x.

在△POD中，x＋2x＋2x＝180°，解得x＝36°，

即∠PAO＝36°.

当CO＝CD时，设∠DCO＝x，

则∠OPC＝x，∠PAO＝x，∴∠POD＝2x，

∴∠ODC＝∠POD＋∠OPC＝2x＋x＝3x.

∵CD＝CO，∴∠DOC＝∠ODC＝3x.

在△POC中，x＋x＋5x＝180°，

解得x＝（

）°，即∠PAO＝（

）°．

当OC＝OD时，B，D重合，不符合题意，舍去．

综上所述，∠PAO的度数为36°或（

）°．

9．C　如图，连接BD.∵∠ACD＝30°，

∴∠ABD＝30°.

∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，

∴∠BAD＝90°－∠ABD＝60°.

10．D　连接AC.∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°.

∵∠DCB＝20°，∴∠ACD＝70°，

∴∠DBA＝∠ACD＝70°.

11．C

∵∠ACB＝90°，∴点C在以O为圆心，OA长为半径的圆上．第24秒时，∠ACE＝48°，∴∠EOA＝2∠ACE＝96°.

12．

∵BD为⊙O的直径，

∴∠DAB＝∠DCB＝90°.

∵AD＝3，AB＝4，∴BD＝5.

又∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC＝45°，

∴∠DBC＝∠DAC＝45°，∠CDB＝∠BAC＝45°，

从而CD＝CB，∴CD＝

.

13．C　如图，∵A，B，D，C四点共圆，

∴∠ADC＋∠ABC＝180°.

又∵∠ABC＋∠GBC＝180°，

∴∠ADC＝∠GBC＝50°.

∵AE⊥CD，∴∠AED＝90°，

∴∠EAD＝90°－50°＝40°.

延长AE交⊙O于点M.

∵AO⊥CD，∴

＝

，

∴∠DBC＝2∠EAD＝2×40°＝80°.

14．8　由题意可得A，P，B，C在同一个圆上，所以当BP为圆的直径时，BP最大，此时∠PAB＝90°.过点C作CD⊥AB于点D，可求得AB＝4

，进而可求得BP的最大值为8.

15．解：

（1）证明：

∵∠DCE＝∠BCF，∠E＝∠F，

∴∠CDE＝∠CBF.

又∵∠CDE＋∠ADC＝180°，∠CBF＋∠ABC＝180°，

∴∠ABC＝∠ADC.

（2）由

（1）知，当∠E＝∠F时，有∠ABC＝∠ADC.

又∵四边形ABCD是圆内接四边形，

∴∠ABC＋∠ADC＝180°，

∴∠ABC＝∠ADC＝90°.

∵∠A＋∠BCD＝180°，∠DCE＋∠BCD＝180°，

∴∠A＝∠DCE.

又∵∠E＝∠F＝42°，

∴∠A＝∠DCE＝90°－∠E＝90°－42°＝48°.

（3）∵四边形ABCD是圆内接四边形，

∴∠A＋∠BCD＝180°，∴∠BCD＝180°－∠A.

∵∠BCD＝α＋∠CDE，∠BCD＝β＋∠CBF，

∴180°－∠A＝α＋∠CDE，①

180°－∠A＝β＋∠CBF.②

易证∠CDE＝∠ABC，∠CBF＝∠ADC.

又∵∠ABC＋∠ADC＝180°，

∴∠CDE＋∠CBF＝180°.

把①②左右相加，得

2（180°－∠A）＝α＋β＋∠CDE＋∠CBF，

即2（180°－∠A）＝α＋β＋180°，

∴∠A＝

.

16．解：

（1）60

（2）①如图（a）．

∵四边形OBCD为平行四边形，

∴∠BOD＝∠BCD，∠OBC＝∠ODC.

又∵∠BAD＋∠BCD＝180°，∠BAD＝

∠BOD，

∴

∠BOD＋∠BOD＝180°，解得∠BOD＝120°.

∴∠BAD＝

∠BOD＝

×120°＝60°，

∠OBC＝∠ODC＝180°－∠BOD＝180°－120°＝60°.

又∵∠ABC＋∠ADC＝180°，

∴∠OBA＋∠ODA＝∠ABC＋∠ADC－（∠OBC＋∠ODC）＝180°－（60°＋60°）＝60°.

②如图（b）所示，连接AO.

∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB.

∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.

∵∠OAB＝∠OAD＋∠BAD，

∴∠OBA＝∠ODA＋∠BAD＝∠ODA＋60°.

如图（c），同理可得∠ODA＝∠OBA＋60°.