中考数学专项之一次函数行程问题分类解析.docx

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中考数学专项之一次函数行程问题分类解析

2021年中考专项之一次函数行程问题

类型一：

纵轴表示离某地距离（一心引领）

一、一个源头，两明线：

同时同地

1.张琪和爸爸到曲江池遗址公园运动，两人同时从家出发，沿相同路线前行，途中爸爸有事返回，张琪继续前行5分钟后也原路返回，两人恰好同时到家张琪和爸爸在整个运动过程中离家的路点y1（米），y2（米）与运动时间x（分）之间的函数关系如图所示

（1）求爸爸返问时离家的路程y2（米）与运动时间x（分）之间的函数关系式；

（2）张琪开始返回时与爸爸相距多少米？

【答案】

（1）y2＝−100x+4500；

（2）1500米．

【解析】

【分析】

（1）设爸爸返回的解析式为y2＝kx+b，把（15，3000）（45，0）代入进一步求解即可；

（2）求出线段OB的解析式，根据题意列方程解答即可．

【详解】

（1）设爸爸返回的解析式为y2＝kx+b，

把（15，3000）（45，0）代入得：

……①，……②，

结合①②解得：

，，

∴y2＝−100x+4500，

即爸爸返问时离家的路程y2（米）与运动时间x（分）之间的函数关系式为：

y2＝−100x+4500；

（2）设线段OB表示的函数关系式为y1＝k′x，把（15，3000）代入得k′＝200，

∴线段OB表示的函数关系式为y1＝200x，

当x＝20时，y1−y2＝200x−（−100x+4500）＝300x−4500＝300×20−4500＝1500，

∴张琪开始返回时与爸爸相距1500米．

【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，熟练掌握相关方法是解题关键.

2.甲、乙两车同时从A城出发驶向B城，甲车到达B城后立即返回．如图是它们离A城的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象．

（1）AB两城之间的距离为_______km．

（2）求甲车行驶过程中y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

（3）乙用8小时到达B城，求乙车速度及他们相遇的时间．

（4）直接写出两车何时相距80km？

【答案】

（1）600；

（2）y甲=；

（3）75，7；

（4）.

【解析】

【分析】

（1）由图像得AB两城之间的距离为600km；

（2）设甲车行驶过程中y与x之间的函数解析式为y甲＝k1x+b1，分两段代入点的坐标利用待定系数法即可得出结论；

（3）根据公式“速度=路程时间”求出乙车速度，求出乙车行驶过程中y与x之间的函数解析式，与甲车第二段函数解析式联立方程组即可求出相遇时间；

（4）设两车之间的距离为W（千米），根据W＝|y甲﹣y乙|得出W关于时间x的函数关系式，令W＝80，求出x值即可．

【详解】解：

（1）600；

（2）设甲车行驶过程中y与x之间的函数解析式为y甲＝k1x+b1，

当0≤x≤6时，将点（0，0），（6，600）代入函数解析式得：

，解得，

∴y甲＝100x；

当6≤x≤14，将点（6，600），（14，0）代入函数解析式得：

，解得：

，

∴y甲＝﹣75x+1050．

综上得：

y甲=

（3）乙的速度为：

km/h；

∴乙车行驶过程中y乙与x之间的函数解析式为：

y乙＝75x（0≤x≤8）．

解方程组得：

，

∴经过7小时，两车相遇.

（4）设两车之间的距离为W（千米），则W与x之间的函数关系式为：

W＝|y甲﹣y乙|＝，

当W＝80时，则，

解得：

．

答：

当两车相距80千米时，甲车行驶的时间为或或小时．

【点睛】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求函数解析式以及解一元一次方程等知识.解题的关键是：

（1）结合图形确定两地之间距离；

（2）利用待定系数法求出函数解析式；（3）结合题意，数量关系确定相关数量；（4）考虑问题要周全，注意分类思想．本题属于中档题，难度不大，解决该类题型题目时，结合函数图象中点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．

一、一个源头，两明线：

同地不同时

3．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地如图，如图，线段OA表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数图象；折线BCD表示轿车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数图象；请根据图象解答下列问题：

（1）货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数式为　　；

（2）当轿车与货车相遇时，求此时x的值；

（3）在两车行驶过程中，当轿车与货车相距20千米时，求x的值．

解：

（1）设货车离甲地距离y（干米）与时间x（小时）之间的函数式为y＝k1x，根据题意得5k1＝300，解得k1＝60，∴y＝60x，

即货车离甲地距离y（干米）与时间x（小时）之间的函数式为y＝60x；

故答案为：

y＝60x；

（2）设CD段函数解析式为y＝kx+b（k≠0）（2.5≤x≤4.5）．

∵C（2.5，80），D（4.5，300）在其图象上，

，解得，

∴CD段函数解析式：

y＝110x﹣195（2.5≤x≤4.5）；

解方程组，解得，

∴当x＝3.9时，轿车与货车相遇；

（3）80÷60＝，即点B的坐标（，0），

∴轿车开始的速度为：

（千米/时），

当x＝2.5时，y货＝150，两车相距＝150﹣80＝70＞20，

由题意或60x﹣（110x﹣195）＝20或110x﹣195﹣60x＝20，

解得x＝3.5或4.3小时．

答：

在两车行驶过程中，当轿车与货车相距20千米时，x的值为3.5或4.3小时．

4.已知，A市到B市的路程为260千米，甲车从A市前往B市运送物资，行驶2小时在M地汽车出现故障，立即通知技术人员乘乙车从A市赶来维修（通知时间忽略不计），乙车到达M地后又经过20分钟修好甲车后以原速原路返回A市，同时甲车以原来1.5倍的速度前往B市，如图是两车距A市的路程y（千米）与甲车所用时间x（小时）之间的函数图象，下列四种说法：

①甲车提速后的速度是60千米/时；

②乙车的速度是96千米/时；

③乙车返回时y与x的函数关系式为y=-96x+384；

④甲车到达B市乙车已返回A市2小时10分钟．

其中正确的个数是（　　）

A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

4个

分析 ①由甲车行驶2小时在M地且M地距A市80千米，由此求得甲车原来的速度80÷2=40千米/小时，进一步求得甲车提速后的速度是40×1.5=60千米/时；

②由图象可知乙车从出发到返回共用4-2=2小时，

乙车的速度：

80×2÷（2-）=96千米/时

③设乙车返回时y与x的函数关系式y=kx+b，代入点C和（4，0）求得答案即可；

④求出甲车提速后到达B市所用的时间减去乙车返回A市所用的时间即可．

解答

 ①甲车提速后的速度：

80÷2×1.5=60千米/时，故①正确；

②乙车的速度：

80×2÷（2-）=96千米/时，故②正确；

③点C的横坐标为2++=，纵坐标为80，坐标为（，80）；设乙车返回时y与x的函数关系式y=kx+b，代入（，80）和（4，0）得：

解得：

k=-96b=384

，所以y与x的函数关系式y=-96x+384（≤x≤4），故③正确；

④（260-80）÷60-80÷96=（小时），即2小时10分钟，故④正确；

故选：

D．

【点睛】此题考查一次函数的实际运用，解决本题的关键是结合图象，理解题意，正确列出函数解析式解决问题．

一、一个源头，两明线：

同时不同地

5.小敏从A地出发向B地行走，同时小聪从B地出发向A地行走，如图所示，相交于点P的两条线段l1、l2分别表示小敏、小聪离B地的距离y（km）与已用时间x（h）之间的关系，则小敏、小聪行走的速度分别是（　　）

A、3km/h和4km/hB、3km/h和3km/h

C、4km/h和4km/hD、4km/h和3km/h

【答案】D．．

【解析】

【分析】：

由已知图象上点分别设出两人的速度，写出函数关系式，求出两人的速度．

解答：

解：

设小敏的速度为：

m，函数式则为，y=mx+b，

由已知小敏经过两点（1.6，4.8）和（2.8，0），

所以得：

4.8=1.6m+b，0=2.8m+b，

解得：

m=﹣4，b=﹣2.4，

由实际问题得小敏的速度为4km/h．

设小聪的速度为：

n，则函数式为，y=mx，

由已知经过点（1.6，4.8），

所以得：

4.8=1.6n，则n=3，

即小聪的速度为3km/h．

故选D．

【点睛】此题考查的知识点是一次函数的应用，关键是由已知及图象写出两人行走的函数关系式，再根据已知点求出速度．

6.小明从家骑自行车出发，沿一条直路到相距2400m的邮局办事，小明出发的同时，他的爸爸以96m/min速度从邮局同一条道路步行回家，小明在邮局停留2min后沿原路以原速返回，设他们出发后经过tmin时，小明与家之间的距离为s1m，小明爸爸与家之间的距离为s2m，图中折线OABD、线段EF分别表示s1、s2与t之间的函数关系的图象。

（1）求s2与t之间的函数关系式；

（2）小明从家出发，经过多长时间在返回途中追上爸爸？

这时他们距离家还有多远？

【答案】解：

（1）t=2400÷96=25

设s2=kt+b,将（0,2400）和（25,0）代入得：

解得：

∴s2=-96t+2400

（2）由题意得D为（22,0）

设直线BD的函数关系式为：

s=mt+n

得：

解得：

∴s=-240t+5280

由-96t+2400=-240t+5280解得：

t=20

当t=20时，s=480

答：

小明从家出发，经过20min在返回途中追上爸爸，这时他们距离家还有480m。

7.甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，甲车匀速前往B地，到达B地立即以另一速度按原路匀速返回到A地；乙车匀速前往A地，设甲、乙两车距离A地的距离为y（km）．甲车行驶的时间为x（h），y与x之间的函数图象如图所示．

（1）甲车从A地前往B地的速度为______km/h；

（2）求甲车返回时y与x之间的函数关系式；

（3）当甲、乙两车相距50km时，直接写出甲车行驶的时间．

【答案】

（1）120；

（2）（2.5≤x≤5.5）；

（3）小时，小时，小时．

【解析】

【分析】

（1）根据函数图象中的数据可以求得甲车的速度；

（2）根据函数图象中的数据可以求得甲车返回时y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）根据“路程、速度、时间”的关系列方程解答即可．

【详解】

（1）甲车的速度为：

180÷1.5=120km/h，

故答案为：

120；

（2）

设甲车返回时y与x之间的函数关系式，

把，代入，

解得

（2.5≤x≤5.5）

（3）乙甲的速度为：

（300-180）÷1.5=80（千米/时），

由

（2）得甲车返回时速度为100千米/时，

设甲、乙两车相距50km时，甲车行驶了x小时，根据题意得：

（120+80）x=300-50或（120+80）x=300+50或100（x-2.5）=250，

解得x=1.25或1.75或5．

答：

当甲、乙两车相距50km时，甲车行驶的时间为1.25小时或1.75小时或5小时．

【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是观察图象找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答．

8.甲、乙两车在连通A、B、C三地的公路上行驶，甲车从A地出发匀速向C地行驶，同时乙车从C地出发匀速向B地行驶，到达B地并在B地停留1小时后，按原路原速返回到C地．在两车行驶的过程中，甲、乙两车距B地的路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象如图所示，请结合图象回答下列问题：

（1）求甲、乙两车的速度，并在图中（______