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误差理论与数据处理知识总结

第一章绪论

1.1研究误差的意义

1.1.1研究误差的意义为：

1）正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差

2）正确处理测量和试验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据

3）正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。

1.2误差的基本概念

1.2.1误差的定义：

误差是测得值与被测量的真值之间的差。

1.2.2绝对误差：

某量值的测得值之差。

1.2.3相对误差：

绝对误差与被测量的真值之比值。

1.2.4引用误差：

以仪器仪表某一刻度点的示值误差为分子，以测量范围上限值或全量程为分母，所得比

值为引用误差。

1.2.5误差来源：

1）测量装置误差2）环境误差3）方法误差4）人员误差

1.2.6误差分类：

按照误差的特点，误差可分为系统误差、随机误差和粗大误差三类。

1.2.7系统误差：

在同一条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号保持不变，或在条件改变时，按一

定规律变化的误差为系统误差。

1.2.8随机误差：

在同一测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化的误差称

为随机误差。

1.2.9粗大误差：

超出在规定条件下预期的误差称为粗大误差。

1.3精度

1.3.1精度：

反映测量结果与真值接近程度的量，成为精度。

1.3.2精度可分为：

1）准确度：

反映测量结果中系统误差的影响程度

2）精密度：

反映测量结果中随机误差的影响程度

3）精确度：

反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度，其定量特征可用测量的不确定度来表

示。

1.4有效数字与数据运算

1.4.1有效数字：

含有误差的任何近似数，如果其绝对误差界是最末位数的半个单位，那么从这个近似数

左方起的第一个非零的数字，称为第一位有效数字。

从第一位有效数字起到最末一位数字止的所有数字，

不论是零或非零的数字，都叫有效数字。

1.4.2测量结果应保留的位数原则是：

其最末一位数字是不可靠的，而倒数第二位数字应是可靠的。

1.4.3数字舍入规则：

保留的有效数字最末一位数字应按下面的舍入规则进行凑整：

1）若舍去部分的数值，大于保留部分的末位的半个单位，则末位加一

2）若舍去部分的数值，小于保留部分的末位的半个单位，则末位不变

3）若舍去部分的数值，等于保留部分的末位的半个单位，则末位凑成偶数。

1.4.4数据运算规则：

1）在近似数加减运算时，运算数据以小数位数最少的数据位数为准

2）在近似数乘除运算、平方或开方运算时，运算数据以有效位数最少的数据位数为准

3）在对数运算、三角函数运算时，数据有效位数应查表得到。

第二章误差的基本性质与处理

2.1随机误差

2.1.1随机误差的产生原因：

1）测量装置方面的因素2）环境方面的因素3）人员方面的因素。

2.1.2随机误差一般具有以下几个特性：

对称性，单峰性，有界性，抵偿性。

2.1.3正态分布：

服从正态分布的随机误差均具有以上四个特征，由于多数随机误差都服从正态分布，因

而正态分布在误差理论中占有十分重要的地位。

2.1.4算术平均值：

在系列测量中，被测量的n个测得值的代数和除以n而得到的值称为算术平均值。

2.1.5残余误差：

一般情况下，被测量的真值为未知，可用算术平均值代替被测量的真值进行计算：

υi为li的残余误差。

2.1.6算术平均值的计算校核：

算术平均值及其残余误差的计算是否正确，可用求得的残余误差代数和来

校核。

其规则为

1）合残余误差代数和应符：

当lnx，求得的为非凑整的准确数时，为零；

ii1i1

当lnx，求得的为凑整的非准确数时，为正，其大小为求x是的余数；

ii1i1

当lnx，求得的x为凑整的非准确数时，为负，其大小为求x是的亏数。

ii1i1

2）残余误差代数和绝对值应符合：

当n为偶数时，A；

i2i1

当n为奇数时，iA。

0.5

2i1

2.1.7测量的标准差：

测量的标准偏差简称为标准差，也可称之为方均根误差。

2.1.8单次测量的标准差σ是表征同一被测量的n次测量的测得值的分散性的参数，可作为测量列中单

次测量不可靠性的评定标准。

2.1.9在等精度测量列中单次测量的标准差按下式计算：

2.1.10贝塞尔公式：

据此式可由残余误差求的单次测量的标准差的估计值。

n-1

2.1.11评定单次测量不可靠性的参数还有或然误差和平均误差。

3n-15n-1

2.1.12算术平均值的标准差x是表征同一被测量的各个独立测量列算术平均值分散性的参数，可作为算

术平均值不可靠性的评定标准。

2.1.13在n此测量的等精度测量列中，算术平均值的标准差为单次测量标准差的，当测量次数n

愈大时，测量精度越高。

2.1.14标准差的其他计算方法：

1）别捷尔斯法

1.253

-1

2）极差法nxmax-xmin

3）最大误差法

max

2.1.16极限误差：

测量的极限误差是极端误差，测量结果的误差不超过该极端误差的概率为P。

2.1.17单次测量的极限误差：

xtx。

lim

2.1.18算术平均值的极限误差：

正态分布：

limxtx；t分布：

xtax。

lim

2.1.19不等精度测量：

不同的测量条件、不同的仪器、不同的测量方法、不同的测量次数和不同的测量

者。

2.1.20权：

各测量结果的可靠程度可用一数值来表示，这个数值即为权。

2.1.21单位权化：

使权数不同的不等精度测量列转化为具有单位权的等精度测量列。

2.1.22随机误差的其他分布：

均匀分布、反正弦分布、三角形分布、x分布、t分布、F分布等。

2.2系统误差

2.2.1系统误差的产生原因：

系统误差是由固定不变的或按确定规律变化的因素所造成的。

这些因素可以

是1）测量装置方面的因素2）环境方面的因素3）测量方法的因素4）人员方面的因素。

2.2.2系统误差的特征：

在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或者在条

件改变时，误差按一定的规律变化。

2.2.3系统误差的种类：

不变的系统误差，线性变化的系统误差，周期性变化的系统误差。

2.2.4系统误差的发现：

单次测量多次测量

实验对比

法

改变产生系统误差的条件进行

不同条件的测量，用于发现不

计

算

ix2

jij

若，则两组结果之间不存

x22

变的系统误差数在系统误差

据

比

较

法

残余误差根据测量列残余误差大小和符秩将独立测得的两组数据，混合后按大小顺序重新排列，

观察法号的变化规律，直接由误差数和取测量次数较少的一组，数出它的测得值混合后的次

据或曲线图形来判断系统误差，检序，相加的秩和T。

查表判断是否存在系统误差。

用于发现有规律变化的系统误验

差法

残

余

误

差

校

马

利

科

夫

准

用于发现线性系统误差：

jk1

若

显著不为零，则有理由认为

检

验

法

nnnn2

xyxy

nnnn

xyxxyy

查表，若tta则无根据怀疑两组间由系统误差。

核则测量列存在线性系统误差

法

阿用于发现周期性系统误差：

卑-

赫

梅

ii1

若

特

准

un1

，则认为测量

则列存在周期性系统误差

不同公式

计算标准

差比较法

4）21u，若

，则怀疑测量

列存在系统误差。

2.3粗大误差

2.3.1粗大误差的产生原因：

测量人员的主观原因，客观外界条件的原因。

2.3.2判别粗大误差的准则

3σ准则（莱以特准则）如果在测量列中发现有大于3σ的残余误差测得值，则可认为它含有粗大误差。

罗曼诺夫斯基准则首先剔除一个可疑的测得值，然后按t分布检验被剔除的测量值是否含有粗大

误差。

若xxK，则剔除正确。

格罗布斯准则

当x服从正态分布时，将xi按大小顺序排列，得到g，

，若，则判别该测得值含有粗大误差。

g0n

狄克松准则

xxxx

的统计量，，

n1n

nn1

10xx11xx

xxxx

，与与各统计量的临界值比较（查

n2nn2

21xx22xx

表），若rij大于临界量，则认为xn含有粗大误差。

第三章误差的合成与分配

3.1函数误差

3.1.1函数误差概念：

间接测量的量是直接测量所得到的各个测量值的函数，而间接测量误差则是各个直

接测得值误差的函数，称为函数误差。

fff

3.1.2函数系统误差计算公式：

yxxx

xxx

12n

222

3.1.3函数随机误差计算公式：

xxx1

12n

3.1.4相关系数：

误差间的线性相关关系是指它们具有线性依赖的关系，，这种关系的强弱有相关系数ρ

来反映。

3.1.5相关系数的确定方法：

直接判断法，实验观察和简略计算法，理论计算法。

3.2随机误差的合成

3.2.1标准差的合成：

aiaa

iijiji

i11ij

qaq

3.2.2极限误差的合成：

ti2aa

ijij

ttt

i11ij

3.3系统误差的合成

3.3.1已定系统误差的合成：

iii1

3.3.2未定系统误差的合成：

1）标准差的合成：

uiuaauu

a22

iijiji

i11ij

esae

2）极限误差的合成：

tiaa

ijij

ttt

i11j

iij

3.4系统误差与随机误差的合成

3.4.1按极限误差合成：

22总ii

i1i1

3.4.2按标准差合成：

i1i1

3.5误差分配

3.5.1误差分配步骤：

1）按等作用原则分配误差即或

infx

2）按可能性调整误差

3）验算调整后的总误差

3.6微小误差的取舍准则

3.6.1对于随机误差和未定系统误差，微小误差舍去准则是被舍去的误差必须小于或等于测量结果总标准

差的1/3-1/10。

3.7最佳测量方案的确定

3.7.1选择最佳函数误差公式：

选取包含直接测量值最少的公式。

3.7.2使误差传递系数等于零或为最小：

由函数误差公式可知，若使各个测量值对函数的误差传递系数为

零或最小，则函数误差可相应减小。

第四章测量不确定度

4.1测量不确定度的基本概念

4.1.1测量不确定度定义：

测量不确定度是指测量结果变化的不肯定，是表征被测值的真值在某个量值范

围的一个估计，是测量结果含有的一个参数，用以表示被测量值的分散性。

4.1.2测量不确定度与误差的联系：

误差是不确定度的基础，只有对误差的分布规律、性质、相互联系及

对测量结果的误差传递关系等有了充分的认识和了解，才能更好的估计各不确定度分量，正确得到测量结

果的不确定度。

用不确定度代替误差表示测量结果，易于理解便于评定，具有合理性和实用性。

4.1.3测量不确定度与误差的区别：

1）从定义上，误差是测量结果与真值之差，它以真值或约定真值为中心；而测量不确定度是以被测量的

估计值为中心，因此误差是一个理想概念，难以定量；而测量不确定度是反映人们对测量认识不足的程度，

是可以定量评定的。

2）从分类上，误差按自身特征和性质分为系统误差、随机误差和粗大误差，并可采取不同的措施来减小

或消除各类误差对测量的影响。

但各类误差之间并不存在绝对的界限，故在分类判别和误差计算时不易准

确掌握；测量不确定度不按性质分类，而是按评定方法分为A类评定和B类评定，不考虑不确定度因素的

来源和性质，从而简化了分类，便于评定和计算。

4.2标准不确定度的评定

4.2.1标准不确定度：

用标准差表征的不确定度。

4.2.2A类评定：

A类评定用统计分析法评定，其标准不确定度u等同于由系列观测值获得的标准差来评

定标准差并得到标准不4.2.3B类评定：

B类评定不用统计分析法，而是基于其他方法估计概率分布或分

布假设

确定度。

。

4.2.4自由度：

将不确定度计算表达式中总和所包含的项数减去各项之间存在的约束条件数，所得差值称

为不确定度的自由度。

4.2.5自由度的确定：

A类：

根据标准差计算方法和n，查表可获得自由度。

B类：

。

4.3测量不确定度的合成

4.3.1合成标准不确定度：

当测量结果受多重因素影响形成了若干个不确定度分量时，测量结果的标准不

确定度用各标准不确定度分量合成后所得的合成标准不确定度uc表示。

ucu22uu

iijiji11ij

4.3.2展伸不确定度：

展伸不确定度由合成标准不确定度uc乘以包含因子k得到，记为U。

其中k由t分

布的临界值给出，是合成标准不确定度的自由度。

4.3.3不确定度的报告：

当测量不确定度用合成标准不确定度表示时，应给出合成标准不确定度uc及其

自由度；当测量不确定度用展伸不确定度表示时，除给出展伸不确定度U外，还应说明计算式所依据的

合成标准不确定度uc、自由度、置信概率P和包含因子k。

第五章线性参数的最小二乘法处理

5.1最小二乘法原理

5.1.1最小二乘法原理：

测量结果的最可信赖值应在残余误差平方和为最小的条件下求出。

5.1.2线性参数的误差方程式：

VLAXˆ

5.2正规方程

5.2.1最小二乘法可以将误差方程转化为有确定解的代数方程组，这些有确定解得代数方程组成为最小二

乘法估计的正规方程。

5.2.2等精度测量线性参数最小二乘法处理的正规方程：

nnn

aiaxaaxaaxal

i11i1i22i1itti1i

i1i1i1

nnn

aiaxaaxaaxal

i11i2i22i2itti2i

i1i1i1

nnn

aita1xaaxaaxal

i1iti22itittiti

i1i1i1

可表示为矩阵形式：

ATV0，则：

CATA，XˆC1ATL。

5.2.3不等精度测量线性参数最小二乘法处理的正规方程：

nnn

pia1axpaaxpaaxpal

ii11ii1i22ii1ittii1i

i1i1i1

nnn

pia2axpaaxpaaxpal

ii11ii2i22ii2ittii2i

i1i1i1

nnn

piaaxpaaxpaaxpal

iti1iiti22iitittiiti

i1i1i1

可表示为矩阵形式：

ATPV0，则：

C*ATPA，XˆC*1ATPL。

5.2.4最小二乘原理与算术平均值原理的关系：

最小二乘原理与算术平均值原理是一致的，算术平均值原

理可以看作是最小二原理的特例。

5.3精度估计

5.3.1测量数据的精度估计：

等精度测量数据的精度估计：

，不等精度测量数据的精度估计：

5.3.2最小二乘估计量的精度估计：

等精度测量：

xtdtt，不等精度测量：

xtd

5.4组合测量的最小二乘法处理

5.4.1组合测量是通过直接测量待测参数的各种组合量，然后对这些数据进行处理，从而求的待测参数的

估计量，并给出其精度估计。

第六章回归分析

6.1回归分析的基本概念

6.1.1人们通过实践，发现变量之间的关系分为两类：

函数关系和相关关系，二者并无严格的界限。

6.1.2回归分析：

回归分析就是应用数学的方法，对大量的观测数据进行处理，从而得出比较符合事物内

部规律的数学表达式。

6.1.3回归分析与最小二乘法的异同：

联系：

回归分析是基于最小二乘法原理，回归方程系数的求解与最小二乘法有一定的相似性。

区别：

最小二乘法只对经验公式待求参数的估计量的精度进行评价，不研究公式整体质量，回归分析则对

经验公式整体精度进行分析和检验。

6.2一元线性回归

6.2.1一元回归是处理两个变量之间的关系，如果两个变量之间的关系是线性的就称为一元线性回归。

6.2.2一元线性回归方程求法：

1）由已知数据画散点图

2）假设一直线方程，带入各组数据

3）用最小二乘法求解未知量

6.2.3回归方程稳定性：

，愈小，方程愈稳定。

yˆlyˆ

6.2.4回归方程的显著性检验：

SUQ

yˆty

称为回归平方和，考虑了x与y线性关系部分在总的离差平方和中所占的成分

yty

称为残余平方和，它是除了x对y线性影响只外的的一切因素对y的变差作用。

，查F分布表，判定回归是否显著。

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