中考数学专题突破导学练同步第14讲二次函数的应用.docx

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中考数学专题突破导学练同步第14讲二次函数的应用

第14讲二次函数的应用

【知识梳理】

（一）基本知识点

1.实际问题中二次函数关系式的确定

列二次函数解析式解决实际问题与列整式方程的思路和方法类似，不同之处是，表示量与量的关系的式子是含有两个变量的等式，而求出二次函数的最大值和最小值是解决实际问题的关键。

运用二次函数解决实际问题的一般步骤：

（1）审清题意，找出其中的等量关系；

（2）设出适当的未知数，分清自变量和函数；

（3）列出二次函数解析式；

（4）结合已知条件或点的坐标，求出解析式；

（5）根据题意求解，检验所求得的解是否符号实际，即是否为所提问题的答案；

（6）写出答案。

注意：

（1）实际问题情境下二次函数中自变量的取值范围不一定是全体实数，所对应的图象也可能是抛物线的一部分；

（2）实际问题情境下的二次函数的最值不一定是整个抛物线的顶点的纵坐标。

2.二次函数与最大利润问题

这类问题反映的是销售额与单价、销售量及利润与每件利润、销售量间的关系，为解决这类实际问题，我们需要掌握几个反映其关系的公式：

（1）销售额=销售单价×销售量；

（2）利润=销量额-总成本=每件利润×销售量

（3）每件利润=销售单价-成本单价。

3.二次函数与最大（小）面积

（1）规则图形面积由面积公式直接计算（如：

圆、三角形、矩形、梯形）。

（2）不规则图形的面积多采用分割法求得，即把图形分割成几个规则图形，分别求得面积再把它们加起来，然后联系二次函数的顶点坐标公式求解。

注意：

表示图形面积的各量之间的关联变化及其取值的实际意义。

4.二次函数与抛物线形建筑问题

抛物线在实际生活中有着广泛的应用，如拱形桥洞的修建、涵洞和隧道的修建、公园里喷泉水柱运行的轨迹、投出的铅球和篮球的运动轨迹、两端固定自然下垂的绳子等。

解决此类问题的关键是根据已知条件选择合适的位置建立直角坐标系，结合问题中的数据求出函数解析式，再利用二次函数的性质解决问题。

【考点解析】

考点一：

求利润最大问题

【例1】九年级（3）班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天（1≤x≤90，且x为整数）的售价与销售量的相关信息如下．已知商品的进价为30元/件，设该商品的售价为y（单位：

元/件），每天的销售量为p（单位：

件），每天的销售利润为w（单位：

元）．

时间x（天）

1

30

60

90

每天销售量p（件）

198

140

80

20

（1）求出w与x的函数关系式；

（2）问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？

并求出最大利润；

（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于5600元？

请直接写出结果．

【考点】二次函数的应用；一元一次不等式的应用．

【分析】

（1）当0≤x≤50时，设商品的售价y与时间x的函数关系式为y=kx+b，由点的坐标利用待定系数法即可求出此时y关于x的函数关系式，根据图形可得出当50＜x≤90时，y=90．再结合给定表格，设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p=mx+n，套入数据利用待定系数法即可求出p关于x的函数关系式，根据销售利润=单件利润×销售数量即可得出w关于x的函数关系式；

（2）根据w关于x的函数关系式，分段考虑其最值问题．当0≤x≤50时，结合二次函数的性质即可求出在此范围内w的最大值；当50＜x≤90时，根据一次函数的性质即可求出在此范围内w的最大值，两个最大值作比较即可得出结论；

（3）令w≥5600，可得出关于x的一元二次不等式和一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范围，由此即可得出结论．

【解答】解：

（1）当0≤x≤50时，设商品的售价y与时间x的函数关系式为y=kx+b（k、b为常数且k≠0），

∵y=kx+b经过点（0，40）、（50，90），

∴，解得：

，

∴售价y与时间x的函数关系式为y=x+40；

当50＜x≤90时，y=90．

∴售价y与时间x的函数关系式为y=．

由书记可知每天的销售量p与时间x成一次函数关系，

设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p=mx+n（m、n为常数，且m≠0），

∵p=mx+n过点（60，80）、（30，140），

∴，解得：

，

∴p=﹣2x+200（0≤x≤90，且x为整数），

当0≤x≤50时，w=（y﹣30）•p=（x+40﹣30）（﹣2x+200）=﹣2x2+180x+2000；

当50＜x≤90时，w=（90﹣30）（﹣2x+200）=﹣120x+12000．

综上所示，每天的销售利润w与时间x的函数关系式是w=．

（2）当0≤x≤50时，w=﹣2x2+180x+2000=﹣2（x﹣45）2+6050，

∵a=﹣2＜0且0≤x≤50，

∴当x=45时，w取最大值，最大值为6050元．

当50＜x≤90时，w=﹣120x+12000，

∵k=﹣120＜0，w随x增大而减小，

∴当x=50时，w取最大值，最大值为6000元．

∵6050＞6000，

∴当x=45时，w最大，最大值为6050元．

即销售第45天时，当天获得的销售利润最大，最大利润是6050元．

（3）当0≤x≤50时，令w=﹣2x2+180x+2000≥5600，即﹣2x2+180x﹣3600≥0，

解得：

30≤x≤50，

50﹣30+1=21（天）；

当50＜x≤90时，令w=﹣120x+12000≥5600，即﹣120x+6400≥0，

解得：

50＜x≤53，

∵x为整数，

∴50＜x≤53，

53﹣50=3（天）．

综上可知：

21+3=24（天），

故该商品在销售过程中，共有24天每天的销售利润不低于5600元．

考点二：

利用二次函数解决抛物线形建筑问题

【例2】（2015•辽宁省朝阳,第15题3分）一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h（m）与足球被踢出后经过的时间t（s）之间具有函数关系h=at2+19.6t，已知足球被踢出后经过4s落地，则足球距地面的最大高度是　19.6　m．

考点：

二次函数的应用．

分析：

首先由题意得：

t=4时，h=0，然后再代入函数关系h=at2+19.6t可得a的值，然后再利用函数解析式计算出h的最大值即可．

解答：

解：

由题意得：

t=4时，h=0，

因此0=16a+19.6×4，

解得：

a=﹣4.9，

∴函数关系为h=﹣4.9t2+19.6t，

足球距地面的最大高度是：

=19.6（m），

故答案为：

19.6．

点评：

此题主要考查了二次函数的应用，关键是正确确定函数解析式，掌握函数函数图象经过的点必能满足解析式．

考点三：

利用二次函数求跳水、投篮等实际问题

【例3】（2017•温州）小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A，出水口B和落水点C恰好在同一直线上，点A至出水管BD的距离为12cm，洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示，现用高10.2cm的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点D和杯子上底面中心E，则点E到洗手盆内侧的距离EH为　24﹣8　cm．

【考点】HE：

二次函数的应用．

【专题】153：

代数几何综合题．

【分析】先建立直角坐标系，过A作AG⊥OC于G，交BD于Q，过M作MP⊥AG于P，根据△ABQ∽△ACG，求得C（20，0），再根据水流所在抛物线经过点D（0，24）和B（12，24），可设抛物线为y=ax2+bx+24，把C（20，0），B（12，24）代入抛物线，可得抛物线为y=﹣x2+x+24，最后根据点E的纵坐标为10.2，得出点E的横坐标为6+8，据此可得点E到洗手盆内侧的距离．

【解答】解：

如图所示，建立直角坐标系，过A作AG⊥OC于G，交BD于Q，过M作MP⊥AG于P，

由题可得，AQ=12，PQ=MD=6，故AP=6，AG=36，

∴Rt△APM中，MP=8，故DQ=8=OG，

∴BQ=12﹣8=4，

由BQ∥CG可得，△ABQ∽△ACG，

∴=，即=，

∴CG=12，OC=12+8=20，

∴C（20，0），

又∵水流所在抛物线经过点D（0，24）和B（12，24），

∴可设抛物线为y=ax2+bx+24，

把C（20，0），B（12，24）代入抛物线，可得

，解得，

∴抛物线为y=﹣x2+x+24，

又∵点E的纵坐标为10.2，

∴令y=10.2，则10.2=﹣x2+x+24，

解得x1=6+8，x2=6﹣8（舍去），

∴点E的横坐标为6+8，

又∵ON=30，

∴EH=30﹣（6+8）=24﹣8．

故答案为：

24﹣8．

【点评】本题以水龙头接水为载体，考查了二次函数的应用以及相似三角形的应用，在运用数学知识解决问题过程中，关注核心内容，经历测量、运算、建模等数学实践活动为主线的问题探究过程，突出考查数学的应用意识和解决问题的能力，蕴含数学建模，引导学生关注生活，利用数学方法解决实际问题．

考点四：

利用二次函数求最大面积

【例4】

【中考热点】

（2017•温州）如图，过抛物线y=x2﹣2x上一点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，交y轴于点C，已知点A的横坐标为﹣2．

（1）求抛物线的对称轴和点B的坐标；

（2）在AB上任取一点P，连结OP，作点C关于直线OP的对称点D；

①连结BD，求BD的最小值；

②当点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方时，求直线PD的函数表达式．

【考点】HA：

抛物线与x轴的交点；H8：

待定系数法求二次函数解析式．

【分析】

（1）思想确定点A的坐标，利用对称轴公式求出对称轴，再根据对称性可得点B坐标；

（2）①由题意点D在以O为圆心OC为半径的圆上，推出当O、D、B共线时，BD的最小值=OB﹣OD；

②当点D在对称轴上时，在Rt△OD=OC=5，OE=4，可得DE===3，求出P、D的坐标即可解决问题；

【解答】解：

（1）由题意A（﹣2，5），对称轴x=﹣=4，

∵A、B关于对称轴对称，

∴B（10，5）．

（2）①如图1中，

由题意点D在以O为圆心OC为半径的圆上，

∴当O、D、B共线时，BD的最小值=OB﹣OD=﹣5=5﹣5．

②如图2中，

图2

当点D在对称轴上时，在Rt△ODE中，OD=OC=5，OE=4，

∴DE===3，

∴点D的坐标为（4，3）．

设PC=PD=x，在Rt△PDK中，x2=（4﹣x）2+22，

∴x=，

∴P（，5），

∴直线PD的解析式为y=﹣x+．

【点评】本题考查抛物线与X轴的交点、待定系数法、最短问题、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，学会利用辅助圆解决最短问题，属于中考常考题型．

【达标检测】

1.某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件．已知产销两种产品的有关信息如下表：

产品

每件售价（万元）

每件成本（万元）

每年其他费用（万元）

每年最大产销量（件）

甲

6

a

20

200

乙

20

10

40＋0.05x2

80

其中a为常数，且3≤a≤5．

（1）若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1、y2与x的函数关系式；

（2）分别求出产销两种产品的最大年利润；

（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？

请说明理由．

【考点】二次函数的应用，一次函数的应用

【答案】

（1）y1=（6-a）x-20（0＜x≤200），y2=-0.05x²+10x-40（0＜x≤80）；

（2）产销甲种产品的最大年利润为（1180-200a）万元，产销乙种产品的最大年利润为440万元；（3）当3≤a＜3.7时，选择甲产品；当a=3.7时，选择甲乙产品；当3.7＜a≤5时，选择乙产品

【解析】解：

（1）y1=（6-