二次函数背景下的面积问题.docx
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二次函数背景下的面积问题
二次函数背景下的面积问题
设计题目
二次函数背景下的面积问题
一、教学内容分析
函数是初中数学的一个重要内容，它贯穿了整个初中教学，也是实际生活中数学建模的重要工具之一。
二次函数是一次函数和反比例函数的延续和发展，是初中数学学习的重点和难点，更为高中学习一元二次不等式和圆锥曲线奠定了基础。
综观历届中考试题，二次函数都是压轴题中不可缺少的内容，不难发现命题者很巧妙地把二次函数与几何中的面积紧密联系起来，设计成中考题。
此类题涉及知识点比较多，综合性强，体现了数形结合的数学思想方法，有利于培养学生分析问题、解决问题和综合运用数学知识的能力。
因此，本节课精选了几类常见的在二次函数背景下的面积问题来探究，本节课不仅是前面复习函数面积问题的完善，同时也为接下来圆的面积问题
提供充实的知识储备，因此，本节课在初三复习中起到了承前启后的作用。
二、学情分析
本节课是初三《二次函数》专题复习的一个重要内容，学生在一次函数，反比例函数的复习中已经了解了函数背景下的面积问题，对于简单的面积问题已经掌握，但由于二次函数涉及到的知识点比较多，学生难于把各个知识点串连起来，普遍缺少逐层分析、逐层推理的能力，对于用“割补法”和“等面积法”解决其面积问题仍有困
难，甚至对此类题目有恐惧的心理。
三、教学目标
1.知识与技能：
（1）熟悉并掌握求二次函数的表达式的方法（待定系数法，顶点式法，交点式法），会根据表达式和二次函数的图像确定抛物线的顶点坐标、对称轴及最值等；
（2）会利用三角形面积公式、“等面积法”以及“割补法”求图形的面积，能根据二次函数中不同图形的特点选择恰当的方法求图形面积；
（3）能根据二次函数和一次函数的表达式，构建方程模型求函数交点，解决二次函数背景下的面积问题。
2.过程与方法：
（1）通过观察、分析、概括、总结等方法，了解二次函数面积问题的基本类型，掌握二次函数面积问题的相关计算，体会二次函数的应用价值，明白求面积问题的本质，发现其中的“套路”。
（2）经历数学活动过程，学生深切感受到数形结合、函数与方程、分类讨论等数学思想方法的具体运用。
3.情感态度价值观：
（1）由简单题入手逐渐提升，从而消除学生的畏难情绪，让学生有兴趣和信心参与数学活动；
（2）通过与他人的交流合作，分析其方法的优点及缺点，培养学生评价分析反
思的能力，并鼓励学生勇于发现问题、解决问题，大胆尝试，从中获得成功的体验，激发学生的学习热情。
四、疑难点分析
疑点：
如何利用三角形面积公式、“等面积法”以及“割补法”，解决二次函数背景下的面积问题。
难点：
如何选择恰当的方法解决二次函数的面积问题。
五、教法学法分析
教法：
讲练结合、启发式、讨论式；
学法：
观察法、自主学习法、小组合作交流法
六、教学媒体
微课、PPT课件、导学案
七、教学过程分析
本节课设计了以下几个教学环节：
（一）微课引入，温故知新
（二）分类讲解，变式提升
（三）课堂小结，总结提高
（四）分层作业，冲刺中考
教学环节
教学活动
教学策略
设计意图
（一）微课引入，温故知新
播放微课视频，让学生再次回顾二次函数的相关知识点以及一次函数、反比例函数的面积问题。
学生观看微课视频
通过微课回忆相关知识点，做到“脑中有图，心中有数”，为本节课顺利开展提供了充足的
知识储备。
（二）分类讲解
，变式提升
1.类型一：
抛物线与坐标轴交点构成的三角形面积问题
例1如图1，抛物线
𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐经过点A（-1，0），B（4，0）,交y轴于点C（0,2）；
图1
（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；
（2）求△ABC的面积。
解题分析：
这里学生只需要用交点式法求出抛物线的表达式，进而求出AB，CO，即可求出△ABC的面积。
解：
（1）设抛物线表达式为：
y=a（x+1）（x-4）
把（0，y）代入，得：
2=a×1×（-4）
a=
，则：
y=-
（x-1）（x-4）
（2）S△ABC=
=
=5
变式1：
在例1中，点D为y轴右侧抛物线
（1）让学生独立做例1，总结出类型一的题型特点和所运用的方法。
（1）二次函数类的压轴题第一问通常为求点坐标、解析式，要求学生能够熟练地掌握用待定系数法、顶点式、交点式法求函数解析式。
由简单题入手，从而消除学生的畏难情绪，让学生有兴趣和信心参与本节课的数学学习。
（二）分类讲解
，变式提升
上的一点，是否存在点D，
使得𝑆𝛥𝐴𝐵𝐶=
𝑆𝛥𝐴𝐵𝐷？
若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。
解题分析：
此题难度稍稍加大，所以让学生先独立思考。
两个三角形可看作有共同的高AB，由“等面积法”，学生可求出点D的纵坐标，代入抛物线的表达式即可求出点D的坐标。
但是因为本题涉及到分类讨论的情况，很多同学可能会漏掉其中的答案，
解：
接例1，令D（x,y）
S△ABC=
=
=5
又∵S△ABC＝
S△ABD
∴S△ABD＝
S△ABC＝
∴
∴
=3
∴y=±3
①当y=3时，-
（x-1）（x-4）=3
求得：
X1=1，X2=2
②当y=-3时，-
（x-1）（x-4）=-3
求得：
X3=5，X4=-4（舍）
∴存在。
D1（1,3）,D2（2,3）,D3（5,-3）
（2）学生先独立思考后小组讨论，学生自愿到讲台讲解，教师给予点评并在黑板板书解题过程。
（2）让学生在独立思考后，再小组讨论，一来是为了让他们发现自己的不足，二来在互相交流过程中，同龄人的思维讲解，他们会更容易接受。
学生自愿讲解，真正地体现了学生是学习的主人。
教师正确板书答题过程，为学生接下来的书写提供了榜样作用。
2.类型二：
抛物线顶点与坐标轴交点构成的三角形面积问题
（二）
分
类
讲
解
，
变
式
提
升
例2如图2，抛物线𝑦=𝑥2−2𝑥−3的顶点为A，交x轴于B,D两点，与y轴交于点C.
图2
（1）求线段BD的长；
（2）求△ABC的面积。
解题分析：
第1问相对简单，只需求出抛物线与x轴的交点即可。
在第二问中，学生可以通过“补”的方法，把△ABC补成梯形BCMN，
𝑆𝛥𝐴𝐵𝐶=𝑆梯形BCMN−𝑆𝛥𝐴𝑀𝐶−𝑆𝛥𝐴𝐵𝑁（图3）。
由于点A、B、C、D、E的坐标都知道，这种
做法计算量不大。
解：
（1）把y=0代入y=x2-2x-3
即：
x2-2x-3=0
求得：
x1=-1，x2=3
∴D（-1,0）,B（3,0）
∴BD=3-（-1）=4
（2）y=x2-2x-3=（x-1）2-4
∴顶点A坐标为：
（1，-4）
过A作X轴平行线l1，交y轴于点M，
过B作y轴平行线l2交l1于点N，（如图3）
M（0,-4），N（3,-4），C（0,-3）
∴S△ABc=S梯形CNWB-S△ACM-S△ABN
=
-
-
（1）让学生独立思考，小组之间讨论得出最佳的解题思路。
同时教师与学生共同归纳出此类面积问题的解题方法：
运用“割补法”，把难以求出面积的三角形分成比较容易求出面积的图形。
（1）第一问的成功解答增进学生解题的信心。
有些同学会用“割”的方法：
过点C作x轴的平行线（或过点A作y的平行），但这种方法需要求出直线AB（或直线BC）的表达式，计算量大很多（图4）。
教师引导学生总结此类的方法：
“割补法”。
但用“割”还是“补”,如何“割”，如何“补”，要根据题目意思，选择计算量比较少的方法，提高做题效率。
有效地突破了本节课的重难点。
（二）分类讲解
，变式提升
变式2：
在例2中，若点E是抛物线上除点A
外的一点，若𝑆𝛥𝐴𝐵𝐶=𝑆𝛥𝐸𝐵𝐶，求点E的坐标。
解题分析：
要使𝑆𝛥𝐴𝐵𝐶=𝑆𝛥𝐸𝐵𝐶，这两个三角形有公共的边BC，不妨把它看作底，这两个
三角形的底相同，面积相等，则高也相等，即点A和点E到直线BC的距离相等。
从而得出过点A作BC平行线的思路，另外一条平行线点A的不同侧（如图5）。
解：
接例2
∴B（3,0）,C（0,-3）
如图5，过A作BC的平行线交抛物线于点E，
设YAE1=x+b，把A（1，-4）代入，b=-5
∴YAE1=x-5
同理，YE2E3=X-1
由y=x-5
y=x2-2x-3
求得：
X1=1，X2=2
则：
E1（2，-3）
由y=x-1
y=x2-2x-3
求得：
X3=
+
，X4=
+
则：
E2（
+
，
+
）
E3（
+
，
+
）
（2）在这一环节中，教师要善于运用语言不断鼓励学生，适当的时候给与提示。
引导学生在小组讨论中得出解题思路。
在这里，难度的加大了，教师给与学生足够的时间来思考。
（2）该题是变式1的再变式，在这个变式中，处于第一轮复习的学生很少见到，对于他们来说具有很大的挑战性，能极大引起学生的思考。
它的设置对培养学生学会发掘题目的隐含条件起了很好的作用，对学生的思维能力提出了较高的要求。
（二）分类讲解
，变式提升
3.类型三：
抛物线与直线交点连线构成的三角形面积问题
例3（深中考）已知，如图6，直线
𝑦=−𝑥+3与𝑥轴、𝑦轴分别交于B、C，抛物线𝑦=−𝑥2+𝑏𝑥+𝑐经过点B、C，点A是抛物线与𝑥轴的另一个交点。
图6
（1）求B、C两点的坐标和抛物线的表达式；
（2）若点P在线段BC上，且
𝑆𝛥𝑃𝐴𝐶=
𝑆𝛥𝑃𝐴𝐵，求点P的坐标。
解题分析：
第
（1）问中，先求出B、C的坐标，再用待定系数法求出抛物线的表达式；而第
（2）问中，学生的难点则在于：
如何用割补法或三角形面积公式求出△PAC的面积。
解：
（1）由y=x+3，得B（3，0），C（0，3）
把B、C代入得：
y=-x2+bx+c
c=3∴b=2
-9+3b+C=0.c=3
∴y=-x2+2x+3
（2）∵y=-x2+2x+3=-（x-3）（x+1）
令y=0，-（x-3）（x+1）=0
∴X1=3，X2=-1∴A（-1，0）
∴AB=3-（-1）=4
∴S△ABC=
=
=6
∴S△PAC=
S△PAB且S△PAC+S△PAB=S△ABC
∴S△PAB=
S△PAB=
6=4.令P（x,y）
又∴S△PAB=
=4，y=2
∴P（1,2）
（1）教师鼓励学生先独立完成，然后共同交流，总结知识，提炼方法。
（1）及时检测学生对所学知识的掌握情况，加深学生对“割补法”解决面积问题的理解。
（二）分类讲解
，变式提升
变式3：
在例3中，如图7，点P在抛物线的对称轴上，连接PB，PC，若△ABC的面积为4，求P的坐标。
图7
解题分析：
在这个变式中，可以先求出抛物线的对称轴，设对称轴与直线BC的交点记为D，求得点P的坐标，表示出PD。
把
△PBC“割”成两个三角形，根据面积公式求出P的坐标（图8）。
图8
解：
接例3，
依题：
对称轴为x=1，∴D（1，2）
设P（x,y）PD=｜y-2｜
∴S△PBC=S△PDC+S△PBD=
=
=4
∴｜y-2｜=
∴y1=
y2=-
∴P1（1,
）,P2（1,
）
（2）教师巡查，及时帮助学习困难的同学解决问题或者借助小组合作交流学习的方式让已经掌握的学生帮助。
（2）通过对题目条件的分析，大部分学生能得出答题思路，但是，有部分同学可能对于如何“割”和如何“补”，以及如何表示三角形的高感到困难。
前面的题目都是知道底和高求面积，这里是知道面积求底，让学生见识了题目考查角度的多样性，从而对于此类题有了更加全面的掌握。
教学环节
教学活动
教学策略
设计意图
（三）课堂小结
，总结提高
1、本节课你学习了哪些方法求面积问题，你认为要注意什么？
2.本节课涉及到哪些数学思想方法？
3、你还有什么疑惑吗？
4、对于本节上课的小组活动和同学上去讲解题目，你觉得有什么优点和值得改进的地方？
”
鼓励学生自己说出本节课的重难点，加深对本节课内容的印象，教师引导学生回忆本节课运用到的数学思想方法。
知识点的重现，让学生对所学知识有个整体的框架，同时对解题思想方法的总结,让所学得以升华！
教师充分考虑学生的实际情况，让学生说出自身的疑惑，不仅及时地解决了学生的问题，而且教师也侧面了解本节课学生的掌握情况。
同时，也鼓励学生积极参与小组的合作交流，在与他人的讨论中，取其精华，改进自己，共同进步。
教学环节
教学活动
教学策略
设计意图
（四）分层作业
，冲刺中考
必做题：
如图9已知抛物线经过A、B、C三点，顶点为D，且与𝑥轴的另一个交点为E，
图9
（1）求该抛物线的表达式；
（2）求四边形ABDE的面积；
（3）求证：
𝛥𝐴𝑂𝐵∽𝛥𝐵𝐷𝐸。
选做题：
（中考）如图10，抛物线
𝑦=
𝑥2+𝑏𝑥+𝑐与𝑦轴交于点C（0，-4），与y轴交于点A,B，且点B的坐标为（2,0）
图10
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC交BC于点E，连接CP，求△PCE面积的最大值；
（1）（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上的一点，且△ODM为等腰三角形，求点M的坐标。
学生回去独自完成，复习本节课的内容。
作业分为必做题和选做题。
满足不同层次学生发展需要，达到分层教学，总体提高的目的。
必做题与本节课的内容是完全吻合的，通过本道题，学生可以巩固本节课的知识点，教师也可以了解本节课学生的掌握情况。
选做题属于压轴的难度，第
（2）问的面积最值问题很好体现了二次函数模型在几何中的应用价值，第（3）问需要用到本节课传授的“数形结合”和“分类讨论”思想，让学生即学即用，体会数学思想方法的好处！
八、板书设计
二次函数背景下的面积问题
类型一
类型二
类型三
1.抛物线与坐标轴交点构成的三角形面积问题
2.抛物线顶点与坐标轴交点构成的三角形面积问题
3.抛物线与直线交点连线构成的三角形面积问题
方法：
（1）三角形面积公式法；
（2）等面积法；（3）割补法
数学思想方法：
（1）数形结合；
（2）分类讨论；（3）方程思想
九、教学反思
1.本节课的最大亮点在于：
在每个例题的后面都设置了变式，变式不是新的题目，而是在原来例题的基础上，换一个角度来或者加大一点难度考查学生。
学生在做例题时，对题目有了很深的理解，因此他们在做变式时，不需要太多的时间审题，使得宝贵的课堂时间被充分地利用。
如此一来，老师便可以给学生足够的时间思考问题，进行小组讨论。
在题目的选择上，我不求多，但求精，通过例题和对应的变式了解学生对本节课知识的掌握情况。
2.微课的引入，将信息技术融入到课堂中，使得教学更加高效。
3.把二次函数有关的面积问题分成三类进行讲解，讲解到位，归纳数学思想方法，
规范学生的书写。
让学生在小组合作交流中解决问题，教师加以引导和点拨，并且让学生自愿地上讲台“说题”，把自己的想法跟同学们交流，培养学生的数学语言表达能力，增强学生学习数学的信心，真正体现了学生是学习的主人。
同时，我感到本节课的不足之处：
1、本节课探讨了二次函数背景下的面积问题，教师把问题分成三个类型，学生没有参与分类的过程，学生被动的接受，理解不够深刻。
可以在做完例题后，让学生自己来分类，这样一定会得到更加精彩的答案。
2、介绍了三种求面积的方法，但是没有介绍应如何选择恰当的方法来求面积.
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