数值分析高斯实验报告.docx
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数值分析高斯实验报告
数值分析实验报告
作业内容：
高斯列主消元法解方程组
学院名称：
计算机工程学院
专业：
计算机应用（师范）
学期：
12-13-1学分：
2.0
班级：
10计2Z学号：
10141228
姓名：
张燕教师姓名：
古春生
成绩：
高斯列主消元法解线性方程组
一、实验目的及要求
1．掌握求解线性方程组的高斯消元法---列选主元在计算机上的算法实现。
2．程序具有一定的通用性，程序运行时先输入一个数n表示方程含有的未知数个数，然后输入每个线性方程的系数和常数，求出线性方程组的解。
二、实验设备和实验环境
安装有C或C++的计算机。
三、算法描述
1．高斯消元法基本思路
如果一个线性方程组的系数矩阵是上三角矩阵时，这种方程组我们称之为上三角方程组，它是很容易求解的。
只要把方程组的最下面的一个方程求解出来，在把求得的解带入倒数第二个方程，求出第二个解，依次往上回代求解。
高斯消元法的目的就是把一般线性方程组简化成上三角方程组。
于是高斯消元法的基本思想是：
通过逐次消元将所给的线性方程组化为上三角形方程组，继而通过回代过程求解线性方程组。
2．高斯列主消元法计算步骤
将方程组用增广矩阵
表示。
步骤1：
消元过程，对
。
选主元，找
使得
，如果
，则矩阵
奇异，程序结束。
如果
，则交换第
行与第
行对应元素位置，
，
。
消元，对
，计算
对
，计算
步骤2：
回代过程：
若
则矩阵奇异，程序结束；
对
，计算
四、分析
1时间复杂度
时间频度一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。
但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。
并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。
一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。
记为T（n）。
常数阶O
（1）,对数阶O（log2n）,线性阶O（n）,线性对数阶O（nlog2n）,平方阶O（n2），立方阶O（n3）,...，k次方阶O（nk）,指数阶O（2n）。
随着问题规模n的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低。
就本程序而言，因为出现了三个for循环的嵌套所以时间复杂度为O（n^3）
2空间复杂度
空间复杂度与时间复杂度类似，空间复杂度是指算法在计算机内执行时所需存储空间的度量。
记作:
S（n）=O（f（n））我们一般所讨论的是除正常占用内存开销外的辅助存储单元规模。
空间复杂度为O
（1）。
五、程序流程图
六、程序描述
程序要用到的函数
（1、）matrix_getElement（array,n,m）;此函数的作用是获得用户输入的线性方程组的系数矩阵。
（2、）matrix_outputElement（array,n,m）;此函数的作用是显示用户输入的矩阵。
（3、）selectMaxElement（array,n,m,row）;此函数的作用是选择主元素，并把此时对角线上的那列元素与主元素行交换。
（4、）GAUSSProcess（array,n,m,row）;此函数的作用是用主元素列进行高斯消元，把此行以后所有的行的，此列的元素变为0。
（5、）GAUSSProcess_result（array,n,m）；此函数的作用是显示经过高斯消元后的矩阵，此时的系数矩阵为一个上下三角矩阵。
（6、）GAUSSCalculate_result（array,n,m）;此函数的作用是对已经消元好的矩阵，进行回代求解。
并将结果输出。
七、程序代码
#include
#include
#include
#include
constintN=60;//最大
constintM=61;//60列，再加上等号右边的一列值
//输入要计算方程组的矩阵
voidmatrix_getElement（doubleARRAY[N][M],intn,intm）{
for（inti=0;icout<<"请您输入第"<<"\t"<<（i+1）<<"\t"<<"行:
"<for（intj=0;jcin>>ARRAY[i][j];
}
}
return;
}
//输出用户刚才用户输入的矩阵，以便用户检测是否输入正确
voidmatrix_outputElement（doubleARRAY[N][M],intn,intm）{
cout<<"yourhaveinputthematrixasfllows:
\n";
for（inti=0;ifor（intj=0;jcout<}
cout<}
}
//选择主元素，并把主元行与对角线上的那一行交换
voidselectMaxElement（doubleARRAY[N][M],intn,intm,intline）{
doublemax=0;
doublet=0;
intj=0;
inti=line;
max=ARRAY[line][line];
for（i=line+1;iif（fabs（ARRAY[i][line]）>fabs（max））{
max=ARRAY[i][line];
j=i;
}
}
if（j>line）{
for（i=0;it=ARRAY[j][i];
ARRAY[j][i]=ARRAY[line][i];
ARRAY[line][i]=t;
}
}
}
//用对角线上的元素消元后续行中此列的元素
voidGAUSSProcess（doubleARRAY[N][M],intn,intm,introw）
{
doubleROW1[M];
for（intt=0;t<（m-row）;t++）{
ROW1[t]=ARRAY[row][row+t];
}
for（intj=（row+1）;jdoubleROW_CHANGE[M];
for（intr=0;r<（m-row）;r++）{
doublemainElement=ROW1[0];
if（fabs（mainElement）<1e-7）{
cout<<"Single!
pressanykeyreturn...\n";
getchar（）;
return;
}
ROW_CHANGE[r]=ROW1[r]*ARRAY[j][row]/ROW1[0];
}
for（inth=0;h<（m-row）;h++）{
ARRAY[j][h+row]=ARRAY[j][h+row]-ROW_CHANGE[h];
}
}
}
//用回代的方法求出线性方程组的解
voidGAUSSCalculate_result（doubleARRAY[N][M],intn,intm）{
doublea[N];
a[n-1]=ARRAY[n-1][m-1]/ARRAY[n-1][n-1];
for（intp=n-2;p>=0;p--）{
for（intq=n-1;q>p;q--）{
ARRAY[p][m-1]=ARRAY[p][m-1]-ARRAY[p][q]*a[q];
}
a[p]=ARRAY[q][m-1]/ARRAY[p][p];
}
cout<<"-------thefinalresultasfollows-----------:
\n";
for（inte=0;ecout<<"x"<}
}
//输出经过高斯消元法处理后得到的矩阵
voidGAUSSProcess_result（doubleARRAY[N][M],intn,intm）{
cout<<"您输入的矩阵经过高斯消元法处理后得到如下形式:
\n";
for（inti=0;ifor（intj=0;jcout<}
cout<}
}
//main函数
voidmain（）
{
doublearray[N][M];
cout<<"请输入您要运算的矩阵的大小！
\n";
intn=0,m=0;
cout<<"请输入您要运算的矩阵的行数：
";
cin>>n;
cout<<"请输入您要运算的矩阵的列数：
";
cin>>m;
cout<<"您所输入的行为：
"<"<matrix_getElement（array,n,m）;//获得矩阵的元素
matrix_outputElement（array,n,m）;//显示输入的矩阵
for（introw=0;row{
selectMaxElement（array,n,m,row）;
GAUSSProcess（array,n,m,row）;
}
GAUSSProcess_result（array,n,m）;//显示消元后的矩阵
GAUSSCalculate_result（array,n,m）;//回代求解并显示解结果
cout<<"Thisistheend!
";
}
八、运行程序
本程序可以自己选择线性方程组的行数和列数。
例子如下：
2x1＋x2－5x3＋x4＝8；
x1－3x2－6x4＝9；
2x2－x3＋2x4＝－5；
x1＋4x2－7x3＋6x4＝0；
输入您要运算的矩阵的大小!
请输入您要运算的矩阵的行数：
4
请输入您要运算的矩阵的列数：
5
您所输入的行为：
4您所输入的列为：
5
请您输入第1行:
21-518
请您输入第2行:
1-30-69
请您输入第3行:
02-12-5
请您输入第4行:
14-760
完成以上的数据输入后，出现结果如下图所示：
此图片为用户运行程序后所看到的结果，即：
x1=3
x2=－4
x3=－1
x4=1
九、感想
该程序完成不是一帆风顺的，在编写过程中遇到了许多的疑难问题有幸得到了同学与老师的帮助，同时自己也翻阅了相关书籍，努力编好与完善。
刚开始对自己解线性方程组的课题无从下手，对用“高斯列主消元法”更是莫名其妙。
这次的程序基本上是参考的别人的，不过通过我的不懈努力，也算是对高斯列主消元法有了基本的了解和认识。
这次课设在一定程度上给自己打下了基础，希望以后能有更多的机会参加课程设计。
十、参考文献
【1】谭浩强《C程序设计教程》北京清华大学出版社
【2】刘成等《C语言程序设计实验指导与习题集》北京中国铁道出版社
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