新教材新人教A版必修一 集合 复习 学案.docx

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新教材新人教A版必修一集合复习学案

学习目标1.构建知识网络，理解其内在联系；2。

盘点重要技能,提炼操作要点；3.体会数学思想，培养严谨灵活的思维能力．

［知识网络]

[知识梳理］

1．本章基本技能梳理

本章用到以下技能：

（1）运算技能主要表现在求并交补集，求函数表达式、定义域、值域、最值、单调性和奇偶性的证明和应用中大量的方程、不等式运算,以及式子的变形等．

（2）图形处理技能包括识图能力和作图能力．识图主要体现在给出Venn图，数轴，函数图象，要能从中读出相关信息；作图能力体现在给出集合间的关系或运算，能用Venn图或数轴表示，给出函数解析式或性质，能画出相应图象．

（3）推理技能主要体现在给出子集、并集、交集、补集、函数、定义域、值域、最值、单调性、奇偶性的定义，依据这些定义去证明或判断具体的集合和函数问题．

课本还先给出大量具体例子让同学们归纳出一般概念和结论,这叫归纳推理;还有一些类比：

如由增函数到减函数，由奇函数到偶函数,由具体函数到抽象函数等．

（4）数据处理表现在使用表格、图象、Venn图来收集整理数据，这样可以更直观，更便于发现数据的内在规律．

（5）数学交流体现在使用了大量的文字、符号、图形语言，用以刻画集合的关系运算及函数表示和性质，往往还需要在三种语言间灵活转换，有意识地培养灵活选择语言，清晰直观而又严谨地表达自己的想法，听懂别人的想法，从而进行交流与合作．

（6）运用信息技术的技能主要表现在应用网络资源拓展知识，了解数学史及发展前沿，以及应用计算机强大的计算能力描点作图探究新知等方面．

2．数学四大思想：

函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合思想，本章用到以下思想方法：

（1）函数与方程思想体现在函数解析式部分，将实际问题中的条件转化为数学模型，再通过研究函数性质解决诸如最大、最优等问题．

（2）转化与化归主要体现在集合部分符号语言、文字语言、图形语言的转化，函数中求定义域大多转化成解不等式,求值域大多可以化归为求二次函数等基本函数的值域．

（3）分类讨论主要体现在集合中对空集和区间端点的讨论，函数中主要是欲去绝对值而正负不定，含参数的函数式的各种性质的探讨．

（4）数形结合主要体现在用数轴求并交补集,借助函数图象研究函数性质．

类型一集合的综合运算

例1已知集合A＝｛x｜0≤x≤2｝,B＝{x｜a≤x≤a＋3｝．

（1）若（∁RA）∪B＝R，求a的取值范围；

（2）是否存在a使（∁RA）∪B＝R且A∩B＝∅？

解

（1）∵A＝｛x|0≤x≤2}，

∴∁RA＝{x｜x<0或x>2}．

∵（∁RA）∪B＝R.

∴∴－1≤a≤0。

（2）由

（1）知（∁RA）∪B＝R时，

－1≤a≤0，而a＋3∈[2,3],

∴A⊆B，这与A∩B＝∅矛盾．

即这样的a不存在．

反思与感悟借助数轴表达集合间的关系可以更直观,但操作时要规范，如区间端点的顺序、虚实不能标反．

跟踪训练1已知全集U＝｛x｜x≤4｝，集合A＝{x|－2＜x＜3}，集合B＝｛x｜－3＜x≤3｝，求∁UA，A∩B，∁U（A∩B），（∁UA）∩B.

解把集合U及集合A,B分别在数轴上表示出来．

如图，

∁UA＝｛x｜x≤－2或3≤x≤4},A∩B＝｛x|－2＜x＜3}，

∁U（A∩B）＝｛x｜x≤－2或3≤x≤4},

（∁UA）∩B＝{x｜－3＜x≤－2或x＝3｝．

类型二函数三要素在实际问题中的应用

例2某省两相近重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力,特修一条专用铁路，用一列火车作为交通车，已知该车每次拖挂4节车厢，一天能来回16次，如果该车每次拖挂7节车厢，则每天能来回10次．

（1）若每天来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数,求此一次函数的解析式和定义域；

（2）在

（1）的条件下,每节车厢能载乘客110人．问这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多？

并求出每天最多运营人数．

解

（1）设每天来回y次,每次拖挂x节车厢,由题意设y＝kx＋b（k≠0）,当x＝4时,y＝16，当x＝7时，y＝10,得到16＝4k＋b,10＝7k＋b，解得k＝－2,b＝24,∴y＝－2x＋24.

依题意有

解得定义域为｛x∈N|0≤x≤12｝．

（2）设每天来回y次,每次拖挂x节车厢，由题意知，每天拖挂车厢最多时，运营人数最多，设每天拖挂S节车厢，则S＝xy＝x（－2x＋24）＝－2x2＋24x＝－2（x－6）2＋72,x∈［0,12］且x∈N.所以当x＝6时，Smax＝72,此时y＝12，则每日最多运营人数为110×72＝7920（人）．

故这列火车每天来回12次,才能使运营人数最多，每天最多运营人数为7920.

反思与感悟建立函数模型如本例

（1）中的y＝－2x＋24，

（2）中S＝－2x2＋24x是借助函数研究问题的第一步，在此过程中要善于抓住等量关系，并把等量关系中涉及的量逐步用变量表示出来；在实际问题中，定义域不但受解析式的影响，还受实际含义约束，如本例中x不能为负值,不能为等．

跟踪训练2某粮店销售大米，若一次购买大米不超过50kg时，单价为m元;若一次购买大米超过50kg时，其超出部分按原价的90%计算,某人一次购买了xkg大米，其费用为y元,则y与x的函数关系式y＝________。

答案

解析当0≤x≤50时，y＝mx;当x＞50时，y＝50m＋（x－50）×90％·m＝0.9mx＋5m.

类型三函数性质的综合运用

例3函数f（x）的定义域为D＝{x｜x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f（x1·x2）＝f（x1）＋f（x2）．

（1）求f

（1）的值;

（2）判断f（x）的奇偶性并证明你的结论；

（3）如果f（4）＝1，f（x－1）〈2，且f（x）在（0，＋∞）上是增函数，求x的取值范围．

解

（1）∵对于任意x1，x2∈D，

有f（x1·x2）＝f（x1）＋f（x2），

∴令x1＝x2＝1，得f

（1）＝2f

（1），∴f

（1）＝0。

（2）f（x）为偶函数．

证明：

令x1＝x2＝－1，有f

（1）＝f（－1）＋f（－1）,

∴f（－1）＝f

（1）＝0.

令x1＝－1，x2＝x有f（－x）＝f（－1）＋f（x），

∴f（－x）＝f（x）,∴f（x）为偶函数．

（3）依题设有f（4×4）＝f（4）＋f（4）＝2，

由

（2）知，f（x）是偶函数，

∴f（x－1）<2⇔f（｜x－1|）〈f（16）．

又f（x）在（0，＋∞）上是增函数．

∴0<|x－1|〈16，解之得－15〈x<17且x≠1.

∴x的取值范围是{x|－15

反思与感悟题目给出的条件是任意x1，x2，那么我们就可以根据自己的需要对x1,x2任意赋值,但关键是你得知道自己想要什么，即清楚自己的变形方向．

跟踪训练3对于函数f（x）＝x2－2｜x|.

（1）判断其奇偶性,并指出图象的对称性；

（2）画此函数的图象，并指出单调区间和最小值．

解

（1）函数的定义域为R，关于原点对称，

f（－x）＝（－x）2－2｜－x｜＝x2－2｜x｜.

则f（－x）＝f（x），∴f（x）是偶函数．

图象关于y轴对称．

（2）f（x）＝x2－2｜x｜＝

画出图象如图所示,

根据图象知，函数f（x）的最小值是－1，无最大值．

单调增区间是［－1，0］，［1,＋∞）;单调减区间是（－∞,－1］，［0，1］．

1．已知集合M＝｛x｜－3＜x＜1}，N＝｛－3，－2,－1,0,1}，则M∩N等于（）

A．｛－2，－1,0，1}

B．{－3，－2，－1，0}

C．｛－2，－1，0}

D．{－3，－2，－1}

答案C

解析运用集合的运算求解．M∩N＝{－2，－1，0}，故选C.

2．已知集合P＝｛x|y＝｝,集合Q＝｛y|y＝｝，则P与Q的关系是（）

A．P＝QB．PQ

C．PQD．P∩Q＝∅

答案B

解析P＝{x｜y＝｝＝[－1，＋∞），Q＝｛y|y＝｝＝［0，＋∞），所以QP.

3．设函数f（x）＝则f（－4）＝________，若f（x0）＝8,则x0＝________.

答案18　－或4

解析f（－4）＝（－4）2＋2＝18,

由f（x0）＝8，得或

得x0＝－，或x0＝4。

4．已知集合A＝{x|2－a≤x≤2＋a｝，B＝{x｜x≤1,或x≥4｝．

（1）当a＝3时，求A∩B；

（2）若A∩B＝∅，求实数a的取值范围．

解

（1）当a＝3时，A＝｛x|－1≤x≤5｝，B＝｛x｜x≤1,或x≥4},

∴A∩B＝｛x|－1≤x≤1，或4≤x≤5｝．

（2）①若A＝∅，此时2－a＞2＋a，

∴a＜0，满足A∩B＝∅。

②当a≥0时，A＝{x|2－a≤x≤2＋a｝≠∅，

∵A∩B＝∅，∴∴0≤a＜1.

综上可知，实数a的取值范围是（－∞，1）．

1．集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到．解题后要进行检验,要重视符号语言与文字语言之间的相互转化．

2．在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点:

一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同．

3．定义域优先原则：

函数定义域是研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，必须在定义域上进行．

4．函数解析式的几种常用求法：

待定系数法、换元法、配凑法、消去法．

一、选择题

1。

设全集U＝R,M＝{x｜x〈－2，或x>2｝，N＝{x|1

A．｛x|－2≤x〈1｝B．｛x｜－2≤x≤2｝

C．｛x｜1〈x≤2｝D．｛x|x〈2｝

答案C

解析阴影部分所表示集合是N∩（∁UM），

又∵∁UM＝｛x|－2≤x≤2｝,

∴N∩（∁UM）＝{x|1〈x≤2｝．

2．下列函数中，既是偶函数,又在（0，＋∞）上单调递减的函数是（）

A．y＝x－2B．y＝x－1

C．y＝x2D．y＝x

答案A

3．定义在R上的偶函数f（x），对任意x1，x2∈［0，＋∞）（x1≠x2），有<0，则（）

A．f（3）〈f（－2）

（1）B．f

（1）〈f（－2）

C．f（－2）

（1）〈f（3）D．f（3）

（1）

答案A

解析由已知<0,

得f（x）在x∈［0，＋∞）上单调递减，

由偶函数性质得f（3）

（1）,故选A。

4．函数f（x）＝ax2＋2（a－1）x＋2在区间（－∞，4］上为减函数，则a的取值范围为（）

A．0＜a≤B．0≤a≤

C．0＜a＜D．a＞

答案B

解析当a≠0时，函数f（x）的对称轴为x＝－,

∵f（x）在（－∞,4]上为减函数，

∴图象开口朝上，a＞0且－≥4，得0＜a≤。

当a＝0时,f（x）＝－2x＋2,显然在（－∞，4］上为减函数．

5．给定映射f：

（x，y）→（x＋2y,2x－y），在映射f下,（3,1）的原像为（）

A．（1,3）B．（1，1）

C．（3,1）D．（，）

答案B

解析由得

6．已知函数f（x）是（－∞，0）∪（0，＋∞）上的奇函数，且当x<0时，函数的图象如图所示，则不等式xf（x）<0的解集是（）

A．（－2，－1）∪（1,2）

B．（－2，－1）∪（0，1）∪（2，＋∞）

C．（－∞，－2）∪（－1,0）∪（1,2）

D．（－∞,－2）∪（－1，0）∪（0，1）∪（2，＋∞）

答案D

7．函数y＝f（x）对于任意x，y∈R,有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）－1，当x〉0时,f（x）>1，且f（3）＝4，则（）

A．f（x）在R上是减函数，且f

（1）＝3

B．f（x）在R上是增函数，且f

（1）＝3

C．f（x）在R上是减函数，且f

（1）＝2

D．f（x）在R上是增函数，且f

（1）＝2

答案D

解析设x1

＝f[（x2－x1）