大学生数学建模竞赛常用方法的调研报告毕业论文.docx
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大学生数学建模竞赛常用方法的调研报告毕业论文
大学生数学建模竞赛常用方法的调研报告
【摘要】
全国大学生数学建模竞赛创办于1992年，每年一届，目前已成为全国高校规模最大的基础性学科竞赛，也是世界上规模最大的数学建模竞赛。
数学建模就是建立数学模型，建立数学模型的过程就是数学建模的过程。
数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。
本次调研，通过分析以往数学建模竞赛试题运用的解决方法，总结大学生参加数学建模解决实际问题时常用的方法和解答形式。
【关键词】大学生数学建模竞赛；竞赛题目；解决方法
RESEARCHREPORTONTHECOMMONMETHODSOFMATHEMATICALMODELINGCONTESTFORCOLLEGESTUDENTS
【ABSTRACT】
NationalCollegeStudents'mathematicalmodelingcontestwasfoundedin1992,andhasbecomethelargestbasicsubjectcompetitioninthenationalcollege,andisalsotheworld'slargestmathematicalmodelingcontest.
Themathematicalmodelistheestablishmentofthemathematicalmodel,theprocessofbuildingthemathematicalmodelistheprocessofmathematicalmodeling.Mathematicalmodelingisakindofthinkingmethodofmathematics,whichisapowerfulmathematicaltooltodescribeandsolvepracticalproblemsbyusingthelanguageandmethodofmathematics.
Thisinvestigation,throughtheanalysisofthepreviousmathematicalmodelingcontestquestionsusingthesolutionmethod,summarizesthestudentstoparticipateinmathematicalmodelingtosolvethepracticalproblemsofcommonmethodsandsolutions.
【Keywords】CollegeStudents'MathematicalModelingContest；Contestquestions；Solutionmethod
【引言】
1、调查目的：
通过调查大学生数学竞赛常用的解决问题的方法，汇总统计后明确大学生遇到题目时的思考方向，将建模比赛简单化。
2、选题背景：
暑期参加数学建模培训，真题训练时没有思路，不知从何下手解题，遇到了很多问题。
3、调研地的选择：
运用互联网搜索往年数学建模比赛的参赛论文，分类汇总论文中运用的方法。
4、研究优势说明：
运用互联网搜集资料较为方便；
大学生数学建模论文本身具有很大的研究价值；
常用方法汇总后，在思考问题时有更鲜明的方向；
对马上要参加的建模比赛由参考性作用。
【本论】
1、问题的提出
数学建模就是通过计算得到的结果来解释实际问题，并接受实际的检验，来建立数学模型的全过程。
当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言作表述来建立数学模型。
暑期参加数学建模培训时，进行了多次真题的训练，每次看到题目都不知如何下手，对于题目运用的数学方法也大都是一知半解。
因此，想对数学建模常用方法进行总结，以便更好的解决题目。
2、调查对象及方法
2.1调查对象（历年真题）
2.1.1DVD在线租赁问题
考虑如下的在线DVD租赁问题。
顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。
会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。
会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。
网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。
每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。
会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。
请考虑以下问题：
1）网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数。
此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。
假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？
如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？
2）表2中列出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单，如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度？
请具体列出前30位会员分别获得哪些DVD。
3）继续考虑表2，并假设表2中DVD的现有数量全部为0。
如果你是网站经营管理人员，你如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？
4）如果你是网站经营管理人员，你觉得在DVD的需求预测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究？
请明确提出你的问题，并尝试建立相应的数学模型。
2.1.2SARS病毒的传播
SARS是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。
SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。
对SARS的传播建立数学模型，具体要求如下：
（1）对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。
（2）建立模型，说明为什么优于附件1中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？
对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：
提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。
附件2提供的数据供参考。
（3）收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。
附件3提供的数据供参考。
（4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性
2.1.3饮酒驾车问题
针对因饮酒驾车而造成严重交通事故的道路交通情况，国家质量监督检验检疫局发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克／百毫升，小于80毫克／百毫升为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80毫克／百毫升为醉酒驾车。
大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，凌晨2点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车，为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？
建立饮酒后血液中酒精含量的数学模型，并讨论以下问题：
1、对大李碰到的情况做出解释；
2、在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准，在以下情况下回答：
1）酒是在很短时间内喝的；
2）酒是在较长一段时间（比如2小时）内喝的。
3、怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高。
4、根据模型论证：
如果天天喝酒，是否还能开车？
5、根据模型并结合新的国家标准写一篇短文，给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告。
2.2.1DVD在线租赁问题解决方法
建立基于概率统计及0-1线性规划的DVD在线租赁问题的数学模型。
对问题1，假设网站对1000名会员的抽样调查足以反映10万名会员的情况，运用概率统计的知识，通过表格呈现10万会员愿意观看各DVD的人数。
60%的会员每月租两次，40%的会员每月租一次，假设一个月是30天，通过分布密度函数计算会员提交订单的时间分布。
最后运用均值方法，分别求解出有10万会员时，一个月满足50%会员的要求和三个月满足95%会员的要求，网站对每种DVD至少应该准备的张数。
对问题2，通过题目得到第i个会员与第j个DVD之间只有租赁和未租赁两种关系，建立0-1规划模型。
以会员满意度指数作为目标函数
，以会员得到的第j种DVD数不得超过其总数目及每位会员得到的DVD数不得超过三张为约束条件：
，
（其中，
为第i名会员对第j种DVD的偏爱；
为第i个会员对第j种DVD时的0-1变量；
为表示第j种DVD的数目）。
运用Lingo进行求解，求出了最大满意度为22717，得出100种DVD的分配方案。
对问题3，要求DVD购买量最少，满意度最高。
针对多目标函数规划，通过表格统计，得出每个会员想看的DVD数量都在8-10之间，而每个会员每月可租两次，每次可获三张DVD，容易使95%的会员看到想看的DVD。
在确定购买方案后，运用0-1规划结合数值模拟的方法进行第一次分配。
而后把60%的会员第一次租赁归还后的DVD再次用0-1规划模型进行下一次分配。
最终通过MATLAB画出准备的DVD总数关于会员在一个月内的满意度关系的曲线，得出DVD总数在3000以下时，此曲线近似呈线性，DVD在3000以上时，再增加DVD并不能使满意度增加。
因此网站准备2300张左右的DVD最合理，此时获得0.8的满意度。
对问题四，提出制定提高碟片发放的实时性等DVD在线租赁运营的建议。
2.2.2SARS病毒传播问题解决方法
建立基于微分方程和传染病模型的SARS病毒传播模型。
对问题1，通过分析附件一提供的模型，认为该模型可以预测疫情发展的大致趋势，但也存在一定的不足，例如：
模型中的人口至少有3种：
易感者、患者、和恢复者，甚至可以加上潜伏者、隔离者、确诊病人、留院者等，要使他们的关系更加明确。
对问题2，首先将人群分为易感类（
），传染类（
）和排除类（
），通过分析三者的关系，画出SARS的传播流程图。
依据流程图的传播机制分析，得到模型
（其中
为单位时间内一个传染者与别人的接触率；
为被控制率）。
针对早期模型的不足，把SARS的传播过程划分为：
征兆期，爆发期，高峰期和衰退期四个阶段。
然后，采用数学推导的方法，确定参数
和
后，用MATLAB做出北京各时期累计全社会SARS患者数和各时期累计确诊SARS患者预测图。
得出，北京SARS疫情的预测持续时间为106天，预测SARS患者累计2514人。
最后得出建立可靠模型的困难，如缺乏详细的，反映SARS疫情的实际统计数据，以及数据基础上的模型参数的具体取值。
对问题3，首先，通过对疫情周期（
），行业交易周期（
），行业消费周期（
）分析，建立经济模型
（其中，F表示正常社会环境下某个行业一个周期的交易量；
表示存在SARS传染病时某个行业相应的一个疫情周期交易量；
表示行业的影响程度，
）。
然后，通过附件三提供的数据，预测03年9月后的旅游人数。
最后，得出拟合方程
，预测出今年9月北京接待海外旅游人数为18.6万。
对问题4，通过短文向当地报刊说明了建立传染病数学模型的重要性。
2.2.3饮酒驾车问题解决方法
建立基于微分方程及房室系统方法饮酒驾车问题的数学模型。
对问题1，依据假设建立带有吸收室的单房室系统（其中胃为吸收室，体液为中心室），得出各变量之间的关系，建立微分方程，通过求解，得到模型
（其中
：
体液中的酒精浓度；
：
酒精从胃转移到体液的转移速率系数；
：
酒精从体液转移到体外的转移速率系数）。
运用MATLAB画出人体血液中酒精浓度随时间变化的关系图。
最后得出结论：
人体内血液酒精含量不仅与喝的酒量有关，还与喝酒所用时间多少及人体中原本含有的酒精量有关。
对问题2，首先运用人体血液中酒精含量和时间的函数关系建立模型：
（其中
表示体液的容积，
表示短时间喝酒情况下进入胃中的初始酒精量）。
然后通过两个方面进行求解。
第一是驾驶员在较短时间内喝下三瓶啤酒时，必须经过11.261小时，才不会被认为是饮酒驾车；第二是驾驶员在较长时间内（至少是2小时）喝下三瓶啤酒时，必须经过13.407个小时后开车才不会被认为是饮酒驾车。
对问题3，建立了与问题2相同的模型，同样进行了两方面的求解。
第一在短时间喝酒时，得出血液中酒精浓度达到最大值所用的时间与喝酒的多少无关；第二在长时间喝酒时，血液中的酒精含量当喝酒结束的时候会到达最大值。
例如：
当喝酒时间为2个小时时，则在第二个小时酒精含量最高。
对问题4，运用与问题2相同的模型，假设天天喝酒，每次喝酒的量相同，每隔T时间喝一次酒。
当喝酒n次后，对所建模型进行n次叠加，得出
表示较长时间喝酒所用的时间或达到浓度最大值所需时间。
通过求解，得出驾驶员想天天喝酒，天天开车，每天饮酒数量不得超过1.7瓶。
对问题5，依据本文所建模型得到的结论，结合新的国家标准，通过了解酒驾危害及搜索到的具体酒驾案例，写了一篇短文，对车辆驾驶人员，提出了养成良好的生活习惯，驾车前不饮酒等忠告。
【结果及讨论】
通过以上三个题目的讨论，我们得到这几种方法：
1、建立基于概率统计及0-1线性规划的DVD在线租赁问题的数学模型。
2、建立基于微分方程和传染病模型的SARS病毒传播模型。
3、建立基于单因素方差分析及Pearson相关系数的葡萄酒评价模型。
4、建立基于微分方程及房室系统方法饮酒驾车问题的数学模型。
除了以上这些方法，数学建模竞赛还运用多种方法，如：
（1）机理分析法从基本物理定律以及系统的结构数据来推导出模型。
1.比例分析法--建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法。
2.代数方法--求解离散问题（离散的数据、符号、图形）的主要方法。
3.逻辑方法--是数学理论研究的重要方法，对社会学和经济学等领域的实际问题，在决策，对策等学科中得到广泛应用。
4.常微分方程--解决两个变量之间的变化规律，关键是建立"瞬时变化率"的表达式。
5.偏微分方程--解决因变量与两个以上自变量之间的变化规律。
（2）数据分析法从大量的观测数据利用统计方法建立数学模型。
1.回归分析法--用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）i=1,2…n，确定函数的表达式，由于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计方法。
2.时序分析法--处理的是动态的相关数据，又称为过程统计方法。
【参考文献】
1、齐欢，《数学模型方法》，华中理工大学出版社，1996
2、中国大学生数学建模竞赛，李大潜主编，高等教育出版社，1998
3、数学模型，姜启源编，高等教育出版社，2003
4、数学建模--方法与范例，寿纪麟等编，西安交通大学出版社，1993
5、数学模型，朱思铭、李尚廉编，中山大学出版社，1995
怎样写作数学建模竞赛论文
一如何建立数学模型—建立数学模型的涉骤和方法
建立数学模型没有固定的模式，通常它与实际问题的性质、建模的目的等有关。
当然，建模的过程也有共性，一般说来大致可以分以下几个步骤：
1.形成问题
要建立现实问题的数学模型，首先要对所要解决的问题有一个十分明晰的提法。
只有明确问题的背景，尽量弄清对象的特征，掌握有关的数据，确切地了解建立数学模型要达到的目的，才能形成一个比较明晰的“问题”。
2.假设和简化
根据对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的假设和简化。
现实问题通常是纷繁复杂的，我们必须紧紧抓住本质的因素（起支配作用的因素），忽略次要的因素。
此外，一般地说，一个现实问题不经过假设和简化，很难归结为数学问题。
因此，有必要对现实问题作一些简化，有时甚至是理想化
3.模型的构建
根据所作的假设，分析对象的因果关系，用适当的数学语言刻画对象的内在规律，构建现实问题中各个量之间的数学结构，得到相应的数学模型。
这里，有一个应遵循的原则：
即尽量采用简单的数学工具。
4.检验和评价
数学模型能否反映厡来的现实问题，必须经受多种途径的检验。
这里包括：
（1）.数学结构的正确性，即有没有逻辑上自相矛盾的地方；
（2）.适合求解，即是否有多解或无解的情况出现；（3）.数学方法的可行性，即迭代方法是否收敛，以及算法的复杂性等。
而更重要和最困难的问题是检验模型是否真正反映厡来的现实问题。
模型必须反映现实，但又不等同于现实；模型必须简化，但过分的简化则使模型远离现实，无法解决现实问题。
因此，检验模型的合理性和适用性，对于建模的成败是非常重要的。
评价模型的根本标准是看它能否准确地反映现实问题和解决现实问题。
此外，是否容易求解也是评价模型的一个重要标准。
5.模型的改进
模型在不断检验过程中经过不断修正，逐步趋向完善，这是建模必须遵循的重要规律。
一旦在检验中发现问题，人们必须重新审视在建模时所作的假设和简化的合理性，检查是否正确刻画对象内在的量之间的相互关系和服从的客观规律。
针对发现的问题作出相应的修正。
然后，再次重复上述检验、修改的过程，直到获得某种程度的满意模型为止。
6.模型的求解
经过检验，能比较好地反映厡来现实问题的数学模型，最后将通过求解得到数学上的结果；再通过“翻译”回到现实问题，得到相应的结论。
模型若能获得解的确切表达式固然最好，但现实中多数场合需依靠电子计算机数值求解。
电子计算机技术的飞速发展，使数学模型这一有效的工具得以发扬光大。
数学建模的过程是一种创造性思维的过程，对于实际工作者来说，除了需要具有想象力、洞察力、判断力这些属于形象思维、逻辑思维范畴的能力外，直觉和灵感往往不可忽视，这就是人们对新事物的敏锐的领悟、理解、推理和判断。
它要求人们具有丰富的知识，实惯用不同的思维方式对问题进行艰苦探索和反复思考。
这种能力的培养要依靠长期的积累。
此外，用数学模型解决现际问题，还应当注意两方面的情况。
一方面，对于不同的实际问题，通常会使用不同的数学模型。
但是，有的时候，同一数学模型，往往可以用来解释表面上看来毫不相关的实际问题。
另一方面，对于同一实际问题要求不同，则构建的数学模型可能完全不同。
二写作数学建模竞赛论文应注意的问题：
1.论文格式
论文的封面：
题目………
参赛队员：
………
指导教师：
……
单位：
………
论文的第一页是摘要，第二页开始是论文的正文，论文要有以下几方面的内容：
一.问题的提出
二.问题的分析
三.模型的假设
四.模型的建立
五.模型的求解
六.模型的检验
七.模型的修正
八.模型的评估
九.附录
以上各部分内容应该都是要具备的，但有些步骤可以合并在一起。
例如：
问题的提出与问题的分析，模型的假设与模型的建立，模型的检验与模型的修正等。
下面就每一步以及建模过程中应注意的几个问题作一简要介绍。
2.审题：
赛题一般有两道（研究生的竞赛有4道题），我们可以从中任选一道，这就面临选哪道题合适的问题。
因此，首先必需弄清题目的意义。
数学建模的题目有时很长，有时很复杂。
不易弄懂它的意义，一般要用几个钟头的时间才能弄清楚它的含义。
因此我们要求：
（1）.深刻理解题意
（2）.弄清题目的实际背景
（3）正确选择题目，根据自身的特长和优势作出决定。
要注意不要被题目的繁长的叙述哧住，碰到长的题目要有耐心，要仔细的分析题目的各部分内容、条件和要求。
3.当选定题目后，接下来就应该是对题目进进一步的分析。
下面的几项工作是必需要做的：
（1）.在弄清问题的背景下，说清事情的来龙去脉。
（2）.列出必要的数据，题目所给的数据往往是不够的，还要寻找题目以外的数据。
（3）.列出和题目相关的各种条件和变量，分清各变量之间的主从关系。
（4）.给出研究对象的关键信息内容。
4.在分析问题的基础上，提出合理的假设
模型是在假设的前提下建立起来的。
对情景的说明不可能也不必要提供问题的每一个细节。
由题目所提供的假设来建立数学模型还是不够的，还要补充一些假设。
假设是建立数学模型很关键的一步，关系到模型的成败和优劣。
所以应该仔细地分析实际问题，从大量的变量中筛选出最能表现问题本质的变量，并简化它们的关系。
这部分内容就应该在论文的问题的假设部分中体现。
由于假设不是实际问题直接提供的，它因人而异，所以，在撰写这部分内容时要注意以下几个方面：
（1）论文中的假设要以严格、确切的数学语言来表达，使读者不致产生任何曲解。
（2）所提出的假设确实是建立数学模型所必需的，与建立数学模型无关的假设只会扰乱读者的思考
（3）假设应该是合理的；怎样的假设才是合理的呢？
a.假设应合乎生活常识。
b.假设不能与已知的科学定律相悖。
c.假设必需是对建模有用的。
d.尽量使用数学的语言。
e.假设不要超出题目要求的范围。
假设这一步是数学建模的一个难点，它关系到建模的成败和优劣，数学建模的假设就是要发挥每个人的想象力和创造力，提出适当的、合理的、有创新的见解。
如果这一步成功了，那么你的整个建模过程也就成功了一半。
5在假设的基础上下一步当然就是模型的建立。
在建立模型之前要引进变量及其记号。
每个字母所表达的确切含义。
经过抽象，确切表达各变量之间的关系，用一定的数学方法，建立起方程式或归纳为其它形式的数学关系式，如图形、表格等。
在建模过程中要注意以下几个问题：
（1）要用分析和论证的方法，让读者清楚地了解得到建模的过程。
（2）上下文之间切忌逻辑推理过程中跃度过大，影响论文的说服力。
（3）需要推理和论证的地方，应该有推导过程且应该力求严谨。
引用现成定理时，要先验证满足定理的条件。
论文中用到的各种数学符号，必须在第一次出现时加以说明。
6.模型的求解
把实际问题归结为一定的数学问题后，就要求解或进行分析，数学模型的求解多数是数值求解。
在求解时应对计算方法有所说明。
使用何种数学软件，给出计算程序（通常以附录形式给出）。
有时还用图形或表格形式表出计算结果。
有些模型还要作稳定性或灵敏度分折。
7.模型的检验
数学模型未必都是正确的，这就需要检验，如何检验
（1）检验是否符合生活常识；
（2）用己给的数据检验；
（3）用分析推理检验。
8.模型的评估
（1）模型的优缺点对自已建立的模型要有正确的评价，既要实事求是，不要过分谦虚，也不要过分誇张。
（2）模型的推广,模型的适用范围。
对所作的模型，可以作多方面的讨论，例如可以就不同的情景，探索模型将如何变化；也可以根据实际情况，改变文章中的某些假设，指出由此引起数学模型的变化。
还可以用不同的数值方法进行计算，并比较所得结果。
甚至可以拓广思路，考虑由于建模方法的不同选择而引起的变化。
9.论文写作中语言表述应注意的问题。
语言是构成论文的基本元素，数学模型论文的语言与其他科学论文的语言一样，要求达意、精炼，不要把一个句子写得太长，使人不甚辛读。
语言中应多用客观陈述句，切忌使用你、我、他等代名词和带主观意向的语句。
要特别注意以下几点：
（1）语言要简炼清晰，不要用含糊不清、莫临两可的语言。
（2）不要随意造句。
（3）不要用倒装句
（4）要通俗易懂
10.如何写论文摘要
竞赛论文要求写论文摘要，摘要放在论文写完最后写。
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