高中数学放缩法技巧全总结.docx
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高中数学放缩法技巧全总结
2010高考数学备考之放缩技巧
证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是：
通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：
一、裂项放缩
例1.
（1）求
的值;
（2）求证:
.
解析:
（1）因为
所以
（2）因为
所以
奇巧积累:
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（11）
（12）
（13）
（14）
（15）
（15）
例2.
（1）求证:
（2）求证:
（3）求证:
（4）求证：
解析:
（1）因为
所以
（2）
（3）先运用分式放缩法证明出
再结合
进行裂项,最后就可以得到答案
（4）首先
所以容易经过裂项得到
再证
而由均值不等式知道这是显然成立的，所以
例3.求证:
解析:
一方面:
因为
所以
另一方面:
当
时,
当
时,
当
时,
所以综上有
例4.（2008年全国一卷）设函数
.数列
满足
.
.设
，整数
.证明:
.
解析:
由数学归纳法可以证明
是递增数列,故存在正整数
使
则
否则若
则由
知
因为
于是
例5.已知
求证:
.
解析:
首先可以证明:
所以要证
只要证:
故只要证
即等价于
即等价于
而正是成立的,所以原命题成立.
例6.已知
求证:
.
解析:
所以
从而
例7.已知
求证:
证明:
因为
所以
所以
二、函数放缩
例8.求证：
.
解析:
先构造函数有
从而
因为
所以
例9.求证:
（1）
解析:
构造函数
得到
再进行裂项
求和后可以得到答案
函数构造形式:
例10.求证:
解析:
提示:
函数构造形式:
当然本题的证明还可以运用积分放缩
如图,取函数
首先:
从而,
取
有,
所以有
…,
相加后可以得到:
另一方面
从而有
取
有,
所以有
所以综上有
例11.求证:
和
.
解析:
构造函数后即可证明
例12.求证:
解析:
叠加之后就可以得到答案
函数构造形式:
（加强命题）
例13.证明:
解析:
构造函数
求导,可以得到:
令
有
令
有
所以
所以
令
有,
所以
所以
例14.已知
证明
.
解析:
然后两边取自然对数,可以得到
然后运用
和裂项可以得到答案）
放缩思路：
。
于是
，
即
注：
题目所给条件
（
）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论
来放缩：
，
即
例15.（2008年市质检）已知函数
是在
上处处可导的函数,若
在
上恒成立.
（
）求证：
函数
上是增函数；
（
）当
；
（
）已知不等式
时恒成立，
求证：
解析:
（
）
所以函数
上是增函数
（
）因为
上是增函数,所以
两式相加后可以得到
（3）
……
相加后可以得到:
所以
令
有
所以
（方法二）
所以
又
所以
例16.（2008年市质检）已知函数
若
解析:
设函数
∴函数
）上单调递增，在
上单调递减.
∴
的最小值为
，即总有
而
即
令
则
三、分式放缩
姐妹不等式:
和
记忆口诀”小者小,大者大”
解释:
看b,若b小,则不等号是小于号,反之.
例19.姐妹不等式:
和
也可以表示成为
和
解析:
利用假分数的一个性质
可得
即
例20.证明:
解析:
运用两次次分式放缩:
（加1）
（加2）
相乘,可以得到:
所以有
四、分类放缩
例21.求证:
解析:
例22.（2004年全国高中数学联赛加试改编）在平面直角坐标系
中,
轴正半轴上的点列
与曲线
（
≥0）上的点列
满足
，直线
在x轴上的截距为
.点
的横坐标为
.
（1）证明
>
>4，
;
（2）证明有
，使得对
都有
<
.
解析:
（1）依题设有：
，由
得：
又直线
在
轴上的截距为
满足
显然，对于
，有
（2）证明：
设
，则
设
，则当
时，
。
所以，取
，对
都有：
故有
<
成立。
例23.（2007年市高三质检）已知函数
，若
的定义域为[－1，0]，值域也为[－1，0].若数列
满足
，记数列
的前
项和为
，问是否存在正常数A，使得对于任意正整数
都有
？
并证明你的结论。
解析:
首先求出
∵
∴
∵
…
故当
时,
因此，对任何常数A，设
是不小于A的最小正整数，
则当
时,必有
.
故不存在常数A使
对所有
的正整数恒成立.
例24.（2008年中学教学参考）设不等式组
表示的平面区域为
设
整数坐标点的个数为
.设
当
时,求证:
.
解析:
容易得到
所以,要证
只要证
因为
所以原命题得证.
五、迭代放缩
例25.已知
求证:
当
时,
解析:
通过迭代的方法得到
然后相加就可以得到结论
例26.设
求证:
对任意的正整数k,若k≥n恒有:
|Sn+k－Sn|<
解析:
又
所以
六、借助数列递推关系
例27.求证:
解析:
设
则
从而
相加后就可以得到
所以
例28.求证:
解析:
设
则
从而
相加后就可以得到
例29.若
求证:
解析:
所以就有
七、分类讨论
例30.已知数列
的前
项和
满足
证明：
对任意的整数
，有
解析:
容易得到
由于通项中含有
，很难直接放缩，考虑分项讨论：
当
且
为奇数时
（减项放缩），于是
当
且
为偶数时
当
且
为奇数时
（添项放缩）由
知
由
得证。
八、线性规划型放缩
例31.设函数
.若对一切
，
，求
的最大值。
解析:
由
知
即
由此再由
的单调性可以知道
的最小值为
，最大值为
因此对一切
，
的充要条件是，
即
，
满足约束条件
，
由线性规划得，
的最大值为5．
九、均值不等式放缩
例32.设
求证
解析:
此数列的通项为
，
，
即
注：
应注意把握放缩的“度”：
上述不等式右边放缩用的是均值不等式
，若放成
则得
，就放过“度”了！
根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里
其中，
等的各式及其变式公式均可供选用。
例33.已知函数
，若
，且
在[0，1]上的最小值为
，求证：
解析:
例34.已知
为正数，且
，试证：
对每一个
，
.
解析:
由
得
，又
，故
，而
，
令
，则
=
，因为
，倒序相加得
=
，
而
，
则
=
，所以
，即对每一个
，
.
例35.求证
解析:
不等式左
=
，
原结论成立.
例36.已知
求证:
解析:
经过倒序相乘,就可以得到
例37.已知
求证:
解析:
其中:
因为
所以
从而
所以
.
例38.若
求证:
.
解析:
因为当
时,
所以
所以
当且仅当
时取到等号.
所以
所以
所以
例39.已知
求证:
.
解析:
.
例40.已知函数f（x）=x2－（－1）k·2lnx（k∈N*）.k是奇数,n∈N*时,
求证:
[f’（x）]n－2n－1·f’（xn）≥2n（2n－2）.
解析:
由已知得
，
（1）当n=1时，左式=
右式=0.∴不等式成立.
（2）
左式=
令
由倒序相加法得：
，
所以
所以
综上，当k是奇数，
时，命题成立
例41.（2007年东北三校）已知函数
（1）求函数
的最小值，并求最小值小于0时的
取值围；
（2）令
求证：
★例42.（2008年高考试题）已知函数
.对任意正数
证明：
．
解析:
对任意给定的
由
若令
，则
①,而
②
（一）、先证
；因为
，
，
，
又由
，得
．
所以
．
（二）、再证
；由①、②式中关于
的对称性，不妨设
．则
（ⅰ）、当
，则
，所以
，因为
，
，此时
．
（ⅱ）、当
③，由①得,
，
，
因为
所以
④
同理得
⑤，于是
⑥
今证明
⑦,因为
，
只要证
，即
，也即
，据③，此为显然．
因此⑦得证．故由⑥得
．
综上所述，对任何正数
，皆有
．
例43.求证:
解析:
一方面:
（法二）
另一方面:
十、二项放缩
例44.已知
证明
解析:
，
即
例45.设
，求证：
数列
单调递增且
解析:
引入一个结论：
若
则
（证略）
整理上式得
（
）
以
代入（
）式得
即
单调递增。
以
代入（
）式得
此式对一切正整数
都成立，即对一切偶数有
，又因为数列
单调递增，所以对一切正整数
有
。
注：
上述不等式可加强为
简证如下：
利用二项展开式进行部分放缩：
只取前两项有
对通项作如下放缩：
故有
上述数列
的极限存在，为无理数
；同时是下述试题的背景：
已知
是正整数，且
（1）证明
；
（2）证明
（01年全国卷理科第20题）
简析对第
（2）问：
用
代替
得数列
是递减数列；借鉴此结论可有如下简捷证法：
数列
递减，且
故
即
。
当然，本题每小题的证明方法都有10多种,如使用上述例5所提供的假分数性质、贝努力不等式、甚至构造“分房问题”概率模型、构造函数等都可以给出非常漂亮的解决！
详见文[1]。
例46.已知a+b=1,a>0,b>0,求证：
解析:
因为a+b=1,a>0,b>0,可认为
成等差数列，设
，
从而
例47.设
，求证
.
解析:
观察
的结构，注意到
，展开得
，
即
，得证.
例48.求证:
.
解析:
参见上面的方法,希望读者自己尝试!
）
例42.（2008
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