期末复习二一元二次方程春浙教版八年级数学下册课时训练.docx
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期末复习二一元二次方程春浙教版八年级数学下册课时训练
期末复习二一元二次方程
复习目标
要求
知识与方法
了解
一元二次方程的概念，一元二次方程的一般形式
一元二次方程根与系数的关系
理解
辨别一元二次方程的二次项、一次项的系数和常数项
会选合适的方法解一元二次方程
一元二次方程的根的判别式
运用
用一元二次方程解决实际问题
配方法求最值
必备知识与防范点
一、必备知识：
1．一元二次方程的一般形式：
________________________，其中a________0．
2．解一元二次方程的常见方法：
________、________、________、________等．
3．当________≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式是________________.
4．________叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式，b2-4ac＞0
________；b2-4ac________0
方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根；b2-4ac________0
方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根.
5．一元二次方程根与系数的关系：
如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，那么x1+x2=________，x1·x2=________．
6．关于x的一元二次方程（m－4）x2+x+m2－16=0有一根为0，则m＝________.
7．定义：
如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c=0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）
A．a=cB．a=b
C．b=cD．a=b=c
8．某校去年投资2万元购买实验器材，预期今明两年的投资总额为8万元，若该校这两年购买器材的投资的年平均增长率为x，则可列方程________________________.
9．某超市销售一种商品，每件商品的成本是20元．当这种商品的单价定为40元时，每天售出200件．在此基础上，假设这种商品的单价每降低2元，每天就会多售出15件．
（1）设商品的单价为x元时销售该商品的利润为4500元，可列方程________________；
（2）设商品降价2y元时销售该商品的利润为4500元，可列方程：
________________.
二、防范点：
1．一元二次方程二次项系数不为0；
2．运用韦达定理时注意Δ≥0，a≠0；
3．求二次三项式最值可运用配方法，也可用Δ.
例题精析
考点一一元二次方程的解
例1
（1）（雅安中考）已知关于x的一元二次方程x2+mx-8=0的一个实数根为2，则另一实数根及m的值分别为（）
A．4，-2B．-4，-2
C．4，2D．-4，2
（2）设a是关于x的方程：
x2-9x+1＝0的一个实数根，求a2-7a+
的值；
（3）若关于x的一元二次方程ax2+bx-1＝0（a≠0）有一根为x＝2019，则一元二次方程a（x-1）2+b（x-1）＝1必有一根为（）
A．
B．2020C．2019D．2018
反思：
能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解.遇到方程的解，一般先代入方程，再进行适当的变形.对于（3）题，要从两个方程的结构进行对比来分析.
考点二解一元二次方程
例2
（1）一元二次方程x2-2
x=-3通过配方可化为（）
A.（x-2
）2=9B.（x-
）2=9
C.（x-2
）2=0D.（x-
）2=0
（2）给出下列方程：
①x2+6x-2=0；②3x2-4=0；③2y2-3y-1=0．你认为选用哪种方法解方程较简便（填序号）？
开平方法：
________，配方法：
________，公式法：
________.
例3用适当的方法解下列方程.
（1）（2x-1）2-9=0；
（2）x2-2
x=1；
（3）x（x-6）=-2（x-6）.
反思：
解一元二次方程的方法比较多，碰到方程先要选择一种较简便的方法求解．一般情况下一次项系数为0时，可选择直接开平方法；二次项系数为1，一次项系数为偶数时，可选择配方法；能因式分解的用因式分解法，其他往往用公式法．解题过程中还要注意运用整体思想．
考点三一元二次方程的判别式
例4
（1）已知关于x的方程（m-2）x2+2mx+m+3=0有实根，则m的取值范围是（）
A．m≠2B．m≤6且m≠2
C．m＜6D．m≤6
（2）如果关于x的一元二次方程kx2-
x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是________________.
（3）如果x2-2（m+1）x+16是一个完全平方式，则m=________.
（4）求代数式2x2-3x+4的最小值.
反思：
第
（1）小题注意是方程，可允许m-2=0；第
（2）小题须满足3个条件：
k≠0，Δ＞0，2k+1≥0；第（3）小题二次三项式是完全平方式，则Δ＝0；第（4）小题可用配方法，也可用Δ法：
设2x2-3x+4＝y，移项得2x2-3x+4－y＝0，将y看做常数，方程必有实根，∴Δ＝9－8（4－y）≥0，解得y≥
，即2x2-3x+4的最小值为
.
考点四一元二次方程的应用（增长率，市场经济，几何等）
例5
（1）商场在促销活动中，将标价为200元的商品，在打a折的基础上再打a折销售，现该商品的售价为128元，则a的值是（）
A．0.64B．0.8C．8D．6.4
（2）某小区2016年底绿化面积为200平方米，计划2018年底绿化面积要达到288平方米，如果每年绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是________________．
（3）某学校八年级组织了一次乒乓球比赛，每班派一名同学代表班级进行比赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，共比赛28场，该校八年级共有________个班级．
（4）现有一块长80cm，宽60cm的矩形铜片，将它的四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形，做成一个底面积为2400cm2的无盖的长方体盒子，则x=________cm．
（5）（沈阳中考）某商场购进一批单价为20元的日用商品.如果以单价30元销售，那么半月内可销售出400件.根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，当销售单价是________元时，才能在半月内获得最大利润.
反思：
（1）此题是打折问题，需注意：
①利润的两种表示方法；②打几折，即原价的十分之几．
（2）此题是一元二次方程的应用中增长率的问题，一般公式为原来的量×（1±x）2=后来的量，其中增长用+，减少用-．
（3）此题是可以看成握手问题：
计算握手次数时，每两个人之间产生一次握手现象，故共握手次数为
x（x-1），而x个人互赠明信片时，每两个人之间有两张明信片，故明信片共有x（x-1）张．
（4）此题的关键是长方形与正方形的面积计算及推理．
（5）此题的关键是销量随售价的变化规律，并根据相等关系列出方程．
例6如图1，有一块塑料长方形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合），在AD上适当移动三角板顶点P．
（1）能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？
若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由；
（2）如图2，再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B，另一直角边PF与DC延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2cm？
若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由．
反思：
利用一元二次方程解决实际问题，往往要找到题意中的相等关系，当遇到直角三角形时常想到勾股定理，方程应用中的存在问题可用b2-4ac来解决.
考点五可化为解一元二次方程的探究
例7请阅读下列解方程x4-2x2-3=0的过程.
解：
设x2=y，则原方程可变形为y2-2y-3=0，
由（y-1）2=4，得y1=3，y2=-1.
当y=3，x2=3，∴x1=
，x2=-
，
当y=-1，x2=-1，无解.
所以，原方程的解为x1=
，x2=-
.
这种解方程的方法叫做换元法.
用上述方法解下面两个方程：
（1）x4-x2-6=0；
（2）（x2+2x）2-2（x2+2x）-3=0.
反思：
换元法可将高次方程化为一元二次方程.换元后得新方程的解时，不能半途而废，须求出原方程的解.
校内练习
1．关于x的方程（m+1）x2+2mx-3=0是一元二次方程，则m的取值范围是（）
A.任意实数B.m≠-1C.m>1D.m>0
2．把一块长与宽之比为2∶1的铁皮的四角各剪去一个边长为10cm的小正方形，折起四边，可以做成一个无盖盒子，如果这个盒子的容积为1500cm3，那么铁皮的长和宽各是多少？
若设铁皮的宽为xcm，则正确的方程是（）
A.（2x-20）（x-20）=1500
B.（2x-10）（x-20）=1500
C.10（2x-20）（x-20）=1500
D.10（x-10）（x-20）=1500
3．某G20商品专卖店每天的固定成本为400元，其销售的G20纪念徽章每个进价为3元，销售单价与日平均销售的关系如下表：
销售单价（元/个）
4
5
6
7
8
9
10
日平均销售量（个）
560
520
480
440
400
360
320
（1）设销售单价比每个进价多x元，用含x的代数式表示日销售量；
（2）若要使日均毛利润达到1840元（毛利润=总售价-总进价-固定成本），且尽可能多地提升日销售量，则销售单价应定为多少元/个？
4．某小区有一块长18米，宽8米的长方形空地，计划在其中修建两块相同的长方形花圃．为方便游人观赏，准备在花圃周边修建如图所示的“两横三纵”人行通道，其中横向人行通道的宽度是纵向人行通道宽度的一半．设纵向人行通道的宽度为x米，当x为何值时，花圃的面积之和为72平方米？
5.某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨2元，月销售量就减少20kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：
（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润；
（2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少？
参考答案
【必备知识与防范点】
1.ax2+bx+c=0≠
2.因式分解法直接开平方法配方法公式法
3.b2-4acx=
4.b2-4ac方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根=＜
5.
6.－4
7.A
8.2（1+x）+2（1+x）2=8
9.
（1）（x-20）（200+
×15）＝4500
（2）（20－2y）（200+15y）=4500
【例题精析】
例1
（1）D
（2）∵a是关于x的方程：
x2-9x+1＝0的一个实数根，∴a2-9a+1＝0，∴a2＝9a－1，a2+1＝9a，a+
=9，原式＝（9a－1）-7a+
＝2a－1＋
＝2（a+
）－1＝17.
（3）B
例2
（1）D
（2）②①③
例3
（1）x1=2，x2=-1；
（2）x1=
+2，x2=
-2；（3）x1=-2，x2=6.
例4
（1）D
（2）－
≤k＜
且k≠0
（3）3或－5（4）最小值
例5
（1）C
（2）20%（3）8（4）10（5）35
例6
（1）能；设AP＝x，据BP2+PC2=BC2有16＋x2+（10-x）2+16=100，解得：
x1=2，x2=8，∴当AP＝2cm或8cm时，三角板两直角边分别通过点B与点C.
（2）能；设AP＝x，据BP2+PE2=BE2有16＋x2+（8-x）2+16=64，解得：
x1=x2=4，∴当AP＝4cm时，CE=2cm.
例7
（1）x=±
；
（2）x1=-3，x2=1，x3=x4=-1.
【校内练习】
1—2.BC
3.
（1）由表格可知，销售单价每增加1元时，其销售量减少40件，根据题意知，其销售量为560-40（x+3-4）=（-40x+600）个；
（2）根据题意，得：
（-40x+600）x-400=1840，整理，得：
x2-15x+56=0，解得：
x1=7，x2=8，因为要尽可能多地提升日销售量，所以x=7，此时销售单价为10元/个，
答：
销售单价应定为10元/个．
4.依题意可得：
（18-3x）（8-2×
x）=72，解得：
x1=2，x2=12（不合题意，舍去）．
答：
当x为2时，花圃的面积之和为72平方米．
5.
（1）当销售单价定为每千克55元时，月销售量为：
500-（55-50）×10=450（千克），所以月销售利润为：
（55-40）×450=6750元.
（2）由于水产品不超过10000÷40=250kg，定价为x元/千克，则（x-40）[500-10（x-50）]=8000，解得：
x1=80，x2=60.当x1=80时，进货500-10（80-50）=200kg＜250kg，符合题意，当x2=60时，进货500-10（60-50）=400kg＞250kg，舍去.
答：
商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为80元/千克.
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