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《极限与导数》教学体会
吕智慧
通过三年来对北师大版高中数学实验教材的教学实践，深深感到实验教材无论是从内容、结构，还是数学思想方法，与原教材相比都有着明显的变革和创新。
下面我仅就《极限与连续》和《导数》两章，从以下几个方面来谈谈我的教学体会。
一、解读新教材
（一）实验教材在知识体系上比较创新
首先，极限的定义是从实数的定义开始引入的，很是新颖。
在了解了逼近思想之后，用“--N”语言准确的阐述了数列极限的定义、函数极限的定义及连续等概念。
一环扣一环，由已知到未知，由浅入深，让学生接受较自然，符合学生的认知习惯，也为学生了解和将来对高等数学的学习奠定了理论和兴趣基础。
另外，对这一部分练习题内容的编排与原教材相比有很大的不同，比如用“--N”语言证明数列极限等类题，它有助于使学生养成缜密的思维习惯和严谨的学习习惯，对他们以后的学习非常有利。
其次，在《导数》一章，突出的特点是引入了数学史上著名的三大定理（费马定理、罗尔定理和拉格朗日定理），而后揭示了导数的应用，这本教材是以例题形式给出几种初等函数的求导方法，以及可导连续中的一些结论、术语，这些都与原教材有区别、很是新颖，有些理解起来确实很难，但它更加注重知识的产生、发展过程的完整性、理性，更加注重与高等数学的接轨、渗透，提高学生的能力。
（二）实验教材对数学概念的描述更加科学、规范、准确
数学中的概念是一切定理、推论的理论依据，实验教材更加注重了这一点。
例如：
数列极限的定义就十分精确，它是由实数定义引入了逼近法，进而用“--N”语言精确的定义的，将两个无限定量的描述出来，但在原教材中只是观察数列图象的变化趋势给出的描述性定义。
（三）实验教材的难度加大了，对能力的要求提高了
实验教材在原有教材的基础上加大了难度，用“--N”语言定义数列极限，并且要求用此定义证明数列的极限；在导数中引入三个难懂的定理，以及导数在物理学中的应用。
这些对绝大多数学生来说是很难理解和掌握的，不过它拓展了部分学生的视野，在师生共同探讨的过程中提高了学生的能力，激发了学生学习的兴趣，缩小了高中教材与高等教材之间的差距。
二、感受新教材
（一）知识结构呈螺旋式上升，注意知识产生、发生的过程
对“--N”语言理解非常困难，但由实数定义引进了逼近法，再结合数轴就使大部分学生都能理解。
在讲解极限思想时，可通过曲线的切线问题、瞬时速度问题，使学生真实的体会到高中切线的定义不再是初中圆的切线定义的延伸，而是割线的极限，瞬时速度就是平均速度的极限。
新的课改理念更加注重潜移默化的素质教育，而这些内容对学生辨证唯物主义世界观的形成具有非常重要的作用，同时也使学生认识到对于“无常”数学的处理，极限思想、导数法的确是灵丹妙药。
在《导数》的教学中，通过对三大定理的了解，通过对函数性质的再研究，再次提升对函数概念及其本质的认识。
通过对比解题，使学生感到导数法的优越性。
实验教材尤其注重学生能“数学地”提出问题，做出“数学地”思考与判断，培养学生的理性精神。
（二）模仿性、重复性练习减少，跳跃性、灵活性练习增多
实验教材在练习与章节复习题中加入了许多新题型，还有一些相当于高考难度的问题，这使它的练习题增加了不少灵活性，一些开放性的习题，又可开拓学生视野，提高学生能力。
例如：
函数极限运算习题4.确定满足下列等式的a与b：
原教材只能在练习册中出现类似的习题，还有复习题中的15、16题等。
这与原教材相比有很大不同，原教材在极限与导数的讲解中例题与练习题都非常浅显、易懂，与高考难度有差距，使得教师在教学过程中添加了许多贴近高考的、有趣的练习题，与之相比实验教材带来了很大方便，并且要求课堂教学中要做适当的引申、拓展，创造性的使用教材。
三、使用新教材
实验教材具有很强的可读性，不惜花费一些版面引出概念，使人感到自然，易于理解，利于学
生自学。
但在这两章多处引入高等数学知识，习题面广，难度也提高，所以这本教材适合中等及中等以上水平学生使用，注意因材施教，重视学生个性发展，为此，我实施分层次教学。
（一）知识内容按了解、理解、掌握分层次
在讲解极限的定义时，对学习较困难的学生尽量通过图象变化趋势直观理解定义及习题，对理
解能力强的学生在此基础上尽量了解夹逼思想，“数学地”理解极限。
这个定义将两个“无限”即“无限趋近”和“n无限增大”用“--N”语言定量的描述出来，学生对其中的字母、N比较陌生，因此教学中我把他们的意义及其相互间的关系交代清楚。
即是一个任意给定的正数，是用来衡量an与A的接近程度，可以任意小，但一经给定后，它就是一个固定的常数。
而N是随着而变的自然数，标明n必须增大到的限度，给定在先，找N的任务在后，不同的有不同的N。
越小要求an与A越接近，相应的界限N就越大。
对一个确定的，数N并不唯一，太小不行，大些无妨，N等于多少关系不大，重要的是它的存在性。
对导数的应用分层次，导数在多项式中的应用、在解析几何中的应用要求大家都掌握，在物理学中的应用要求部分学生了解即可。
（二）课堂提问分层次
课堂提问是一门学问，恰当的提问可以使学生注意力集中，思维活跃，激发学生学习的兴趣，
但没有精心设计的提问只会让学生觉得乏味、疲惫，浪费时间。
在这里，我采用分层次提问方式。
对学困生尽量让他们回答基本的、直观的问题，对成绩好的学生让他们回答难度较大的、应用型的问题，尽可能使每一位学生获得成功的愉悦。
（三）随堂练习分层次
习题分A、B、C层次设计，A层次问题是一些基本的、与原教材相近的题目，全体学生都能通过；B层次问题，是一些比教学内容稍有发展的题目，成绩好的学生“跳一跳”能处理，从而解决优等生“吃不饱”现象；C层次问题，是一些开放性问题或与其他学科、高等数学联系紧密的问题，满足对数学学科极有兴趣的同学的需要，培养尖子生。
实验教材是一本好教科书，但有很多的问题在教学中值得商榷和探讨。
对《数列》的理解与认识
梁玉俊
《实验教材》在我校试验已有两年了，通过两年的试教，对这套教材有了深刻的体验和认识，尤其是在新课程理念下，《实验教材》作为一种主导信息源在转变教师的教学方式和学生的学习方式方面起到了非常重要的作用，它为促进教师专业化发展提供了广阔的空间。
下面结合《数列》这一章的最后一节“求数列的通项公式”的教学实践，从三部分即“数列这一章的教学体验”、“案例研究”、“教学反思”来谈谈我对这套教材的理解和认识。
一、数列这一章的教学体验
（一）本章的知识结构与学生的认知结构得到了较好的统一
本章的知识结构是：
数列的基本概念——特殊数列——数列的应用。
首先在理解了数列的基本概念后，进一步认识两个特殊数列：
等差、等比数列，通过对两个特殊数列的研究使学生对数列的认识得到深化，进而解决一些实际应用问题。
同时，教材注重了通过实例分析引入新知识，这符合从感性认识到理性认识的认知规律，因此说，教材的这种设计符合学生的认知结构。
（二）教材设计突出了数学思想方法，符合这套教材的特色
这一章在内容设计上突出了化归与转化思想、数学建模思想等，例如：
一些实际应用问题（分期付款问题）需要建立数列模型，转化为等差、等比数列求和问题。
教材在编写上注意了数学方法的层层递进，例如：
在数列的概念这一节涉及到了观察法，归纳法；在求等差、等比数列通项公式时用到了“作差求和”“作商求积”的方法。
这些方法在后面的知识学习中都有所体现。
（三）整章内容的设计精简实用，顺理成章
本章例、习题的配置数量多，但没有重复性例题，习题知识点覆盖全，尤其是设置了十个研究性问题，穿插在整章内容中，而且没有给出解答，提高了学生兴趣，这一点于其它章不同，前面几章中有些研究性问题，在提出问题的同时，也给出了解答，这就失去了它的设计意义，
本章第2节设置了“数列求和”，目的是让学生理解求和概念及求和符号，提前安排这一节，分散了难点，使得后面学习等差、等比数列前n项和及特殊数列求和线的难度适中，教学时感到很自然。
在习题中实际应用问题不是很多，最后一节“数列应用举例”主要是研究数列求和及求通项公式，应增加几个实际应用问题，让学生对数列知识加以深化。
（四）这一章为教师的“教”与学生的“学”提供了广阔的天地
本章的例、习题及十个研究性问题为教师的教学提供了很多素材，同时为培养学生的探究意识和探究能力提供了广阔的思维空间。
这些研究性问题的设计体现了新大纲的要求：
注重培养学生数学的提出问题、分析问题、解决问题的能力，发展学生的创新意识和应用意识，提高学生数学探究能力、数学建模能力和数学交流能力。
另外，在教学实践中，这些研究性问题的设计可以激发学生的学习兴趣和求知欲，为培养学生的思维能力搭建了一个平台，给学生充分展现自我的机会，促进了学生学习方式的转变，同时，对教师的教学方式提出了挑战，如果教师还沿用传统的教学方式，就会造成资源浪费，这套教材就失去了它的价值，就会使教师陷入讲教材的困难境地。
二、实例研究
案例：
求数列的通项公式
背景：
这是“数列应用”这一节中的最后一节课，在前面几节课里研究了利用观察法、待定系数法，作差求和，作商求积，数列前n项和等方法求通项公式，在此基础上着重研究形如an+1=pan+q，an+2=pan+1+qan（p+q=1）的通项公式问题，教材上是以两道例题的形式出现的。
教学模式：
合作探究式
教学目的：
通过例题研究，培养学生创新意识和探究能力，数学交流能力
教学设计：
以小组合作的形式进行研究
教学片段：
师；上节课我们解决了一些基本的求通项公式的问题，本节课我们着重研究解决满足an+1=pan+q这种递推关系的数列的通项公式问题，请同学们阅读教材，在阅读过程中有什么问题，可以以小组为单位进行讨论，希望同学们能提出不同于教材的意见。
（学生开始阅读，教师巡视指导，一段时间后）
师：
请同学们发表一下小组研究的意见。
生1：
我们小组将教材的解法归纳如下：
换元—代入—变形—待定系数—构造等比数列，但其解法我们无法想到，为什么要换元呢？
换元一定要换成这种形式吗？
生2：
我们小组解决了这个问题，在例4前面有一段话，在an+1=anq中，尝试令an=bn+c，就得到了题干所给形式的递推关系，所以就尝试令an=bn–c，目的是构造等比数列。
生3：
我们小组的意见是：
教材的解法思路很好，只是令人难以想到，因此，我们小组将其重新理顺了一下，将an+1=pan+q变形为an+1–c=p（an–c），利用待定系数法求c，从而构造出了等比数列{bn}，这样思路就自然了。
生4：
我们小组的意见是：
教材的解法主体思想是构造等比数列，基于这个想法，我们研究出了一个新的方案：
在an+1=pan+q的两端同除以pn+1得
，令
，则bn+1-bn=
利用作差求和法可求bn，从而求出an。
生5：
前面几组同学提出的方案都非常好，我们小组的方案与他们有所不同，我们由an+1=pan+q得an+2=pan+1+q，作差得an+2–an+1=p（an+1–an），令bn=an+1–an，则bn+1=pbn，这样就构造出了等比数列{bn}，可利用作差求和法求an。
生6：
教材上最后一个例题将所给等式变形为an+1–an=α（an–an-1），这种变形可以理解，因为教材上已经体现他的探索过程，但是不是所有的形如an+2=pan+1+qan的通项公式问题，都可变形为an+2–an+1=α（an+1–an）呢？
对p、q有何要求？
……
这一节课学生通过小组合作，对教材提出了质疑，这种敢于挑战书本、挑战权威的现象是十分可喜的，那么，是谁给了学生这种勇气呢？
应该说是在小组合作中，通过相互间思维的碰撞产生的。
由此可见，小组合作是课堂教学中一种十分有效的途径和方式，它可以将教材作为一种主导信息源加以整合，而《实验教材》搭建了改变学生学习方式的平台，在内容的编写，研究性问题的设计等方面都在促进学生转变学习方式。
三、教学反思
（一）《实验教材》向教师的观念提出了挑战
“学生是教学中的主体，教师则起主导作用”，这是教学界已形成的共识。
然而，现状似乎与这一指导思想的要求相距甚远，课堂教学中，教师演大戏，唱主角，学生只唱配角，甚至只敲边鼓的现象大量存在，这些教师未必就不感觉到累，他们担心，如果让学生来唱主角，就容易出乱子，教学进度完不成，事实上，《实验教材》在内容的编写上与旧教材不同，例题量增大，而且还增加了许多研究性问题，可读性非常强，如果教师在课堂上还唱主角，去讲教材，那么，更会影响进度，更不利于学生能力的培养。
怎么办？
我们教师必须转变自己的观念，课堂教学中，唱主角的只能是学生自己，因为课堂教学的根本目的，不仅是让学生得到知识，更重要的是让学生学会如何学习知识，让学生得到发展。
《实验教材》提供了一个很好的信息源，它促使教师必须转变自己的观念，只有这样才能充分利用好教材，同时达到培养学生能力的目的。
（二）《实验教材》的试教促使教师改变传统的教学方式，促进了教师的专业化发展
在新课程理念下，《实验教材》给教师提出了一个新的课题，教师能否打破传统教学模式成了一道难题，反思一下上面的案例，如果采取合作探究的方式进行教学，通过师生互动，达到教学相长，这对教师自身素质的提高有很重要的帮助，而《实验教材》的内容编排和问题设计为教师的教学提供了自由的发挥空间，为学生的合作讨论、交流、探究创造了机会。
在倡导培养学生创新意识和实践能力的今天，作为教师，特别要注意给学生留出探索、研究的机会，让他们拥有充分的自由思考的空间和时间，学生自己可以做的事就应该放手让他们去试一试，这对于他们自身能力的培养，科学研究意识的形成，都是十分必要的，这就要求我们以培养学生探究、创新能力的角度充分研究教材，不放过任何一个有益于学生探究的机会，把教学过程设计成让学生再创造和再发现的过程。
如果没有一本有特色的教材，所有这些做起来是相当困难的，《实验教材》具有这一功能，只要我们充分利用好，我们的教学目标就一定能实现，通过教材的研究，教学设计，促进教师专业化发展。
（三）《实验教材》的试题促进了学生学习方式的转变
刚上高一的学生绝大多数在初中已养成了被动式学习方式，当他们第一次接触《实验教材》的时候，他们觉得耳目一新，刚开始还在沿用初中的学习方法，等着老师讲教材，经过一段时间的引导，他们现在已经改变了旧的学习方式，因为《实验教材》可读性非常强，而且涉及了很多有趣的研究性问题，他们可以在课前主动学习，独立完成课后练习，这样在课堂上就有很多时间去研究解决一些新问题，经过将近两年的学习，他们已经能够对教材上的问题提出自己的看法，这样才出现了前面案例中的现象，可以说是《实验教材》给了他们改变学习方式的机会，解决了课改带来的课时少、内容多的矛盾，达到了课改的真正目的。
（四）《实验教材》编写建议
从前面的案例中可看出，学生对教材给出的解法有不明之处，这说明教材在编排上忽略了学生的思维层次，有些例题的解题过程没有体现思维过程，只解决了“怎样解题”忽略了“为什么这样解”，研究性问题的设计要注重启发性，不要将解法直接告诉学生，这样会使学生失去探究的兴趣。
（五）教学时要走出片面追求“严谨”、“系统”，忽视循环深化的误区
受传统观念的影响，课程和教学中一度曾过分强调知识的严谨和系统性，强调学习的一步到位，例如上面的案例中提到的两个例题，实际上是个难点，可能有的教师觉得不够系统，会增加一些利用递推关系，求通项公式的习题，甚至会将竞赛的一些内容加进来才觉得够难度，如果这样随意求“深”求“透”，不能理解教材和大纲的用意，势必会加重学生的学习负担，就可能产生消极影响，所以要真正发挥例题的功能，达到培养学生探究能力的目的。
《高中数学实验教材》教学体会
梁玉俊
《实验教材》在我校高一年级试教已接近一年，现在学生学习《实验教材》的同时，参阅人教版的《试验教材》，随着教学的进行，对这两套教材有了一定的认识，下面谈一些来自教学实践中的几点体会。
一、两套教材相比实验教材教学内容的编排顺序比较合理
例如，在逻辑初步这一节有这样两点：
一是在逻辑联结词之前安排了量词，使得否定命题的教学更加轻松，使一些难以把握的问题变得清晰，比如命题“所有三角形都是直角三角形”的否定命题，在学了量词之后学生很容易写出它的否定命题，二是在命题的四种形式之后，增添了一节集合与逻辑用语，不仅将集合问题从逻辑角度进行了深入认识，更重要的是它从理论上揭示了集合与充要条件的关系，而我们常用集合包含关系来判断充要条件，但无论是旧教材还是人教版教材都没有对这一问题进行明确揭示，实验教材这样安排更利于学生深刻理解充要条件的概念，而教学实践也证明了这一点。
另外，在函数一章之前安排了不等式一章，这一点学生在学完函数之后反馈较好，认为不等式有关知识系统化之后，对学习函数的有关知识，比如求定义域、值域、单调区间等均可进行综合，尤其是函数单调性证明，由于不等式的几种证明方法学生已全面了解，那么会自然想到运用比较法，逻辑推理论证能力得到了提高。
并且将函数的概念及基本性质安排在上学期学，指数函数、对数函数、三角函数安排在下学期学，分散了教学难点，学生有一段缓冲时间，学起来比较轻松。
二、两套教材相比实验教材教学内容编写详尽，条理清晰，宜于学生自学
例如集合这部分内容，实验教材编写的比较详尽且让人感到不啰嗦。
学生阅读起来轻松自如，而人教版教材这部分内容编写简单，对初次接触高中数学的同学来说增加了阅读理解的难度。
逻辑初步这部分内容人教版教材只介绍了“且、或、非”三个联结词，而内容简单，解释不到位，而实验教材不仅介绍了“且、或、非”，还介绍了“蕴涵、等价”两个联结词，解释详尽，条理清晰，学生对此不再感到似是而非，模模糊糊。
同时拓宽了学生的视野，学生阅读起来较容易。
又如不等式这一章，先介绍不等式性质，证明了几个重要不等式，介绍了不等式解法，不等式证明，增添了不等式的应用题，学生感觉层次清晰，结构分明，学起来比较轻松。
在反函数这一节里增添了逆映射的概念，对学生深刻理解反函数概念起了很大作用，降低了反函数概念的理解难度；再如任意角三角函数这一节，学生阅读人教版教材觉得有点杂乱无章，毫无头绪，而在阅读了实验教材之后，认为内容安排的条理清晰，有层次感；反三角的知识人教版教材只是在已知三角函数值求角一节里点到，学生感到难于理解，而实验教材将反三角知识单独列为一节内容，条理清晰，学生接受也容易。
三、两套教材的例题安排和习题配备上有很大差别
《实验教材》安排的例题很精，有层次性，有深度，解答详尽，充分照顾到了不同层次的学生，对分层次教学有很大帮助，学生阅读两套教材之后反映，人教版教材例题很容易看懂，但看完之后仍不会解题，而看完实验教材上的例题之后，可以掌握很多方法，不仅可以加深对各知识点的理解，也给学生很多思维锻炼的机会，尤其是实验教材更注重数学思想方法的运用，比如维恩图在理解概念，解题中的作用，通过维恩图把抽象问题直观化，使学生更容易理解；在不等式、函数这两章，数学思想体现更加明显，能使学生真正意识到数学思想在解题中的作用，可更好地培养学生运用数学思想解决问题的能力。
实验教材的习题配备，题量足，梯度明显，可照顾到不同层次的学生，在选题上也很精，注意到了各种方法的提炼，可更好地训练学生的思维能力。
四、两套教材相比，《实验教材》更注重培养学生的数学应用意识
实验教材的应用题比例增大了，例如集合部分P44、4题，列不等式解应用题；函数这一章应用题比例更大，三角函数部分也有一定量的应用题，这反映实验教材非常重视数学知识的实际应用。
而这方面能力恰恰是学生所欠缺的。
教材这样在每一章节中都编排一定量的应用题，可以使教师不失时机的引导学生去分析和处理实际问题，将它抽象、转化为纯数学问题加以解决，培养学生学数学，用数学的意识。
五、两套教材相比，《实验教材》为学生提供了更多的思维训练的机会
在实验教材中增编了一定量的思考题，通过这些问题的处理，既能解决学生学习过程中的一些疑难，更能较好的培养和训练其思维能力，研究性课题已纳入实验教材，因此教师宜对学生进行研究性学习指导，在研究性学习过程中注重培养和发展学生的创造性思维。
六、实验教材教学实践中值得商榷的几个问题
（一）一些理论知识和证明过程冗长，不够精炼，例如|x|>a，|x|a的解法；一元二次不等式的解题过程等。
（二）思考题有的设计太浅显，达不到培养学生思维能力和创造性的目的，例如，上册P11思考题：
由A
B且B
A，得出A=B对吗？
书中已给出解答，此思考题显得毫无价值。
（三）例题的解题过程太详尽，这虽然给学生阅读理解带来极大方便，但久之会使学生产生思维惰性，解题也会处于模仿状态，不利于解题能力的提高和思维能力的培养，有的例题难度太大，例如下册P94例7，化简问题。
（四）上册几个重要不等式一节，如果将定理4：
和定理3：
顺序调换一下，效果是否更好；定理5绝对值不等式
，书上的证明学生感到突然，接受困难，能否放到分析法证明不等式后面讲。
（五）两次省统考的导向给实验教材教学带来困惑，平时教学难度把握到什么程度，是否要求高一学生达到高三的要求？
总之，近一年的教学实践，觉得实验教材更适合重点高中学生学习，它对培养学生的学习习惯，提高学生的能力，促进教师的教法改进都有很大帮助。
实验教材教学体会
————三角函数
朱天玲
执教北师大版数学实验教材将近三年，对北师大版数学实验教材有一些粗浅的看法：
北师大版数学教材最大的特点是数学问题的提出都是用实际问题提出的，这充分强调了数学来源于实际又应用于实际的数学思想与理念；而且它着重开发学生思维，我认为对于重视素质教学的今天这个主导方向非常好。
以下是我在“三角函数”这一章教学中的几点体会：
三角函数是中学数学的重要内容之一，它的基础主要是几何中的相似形和圆，研究方法主要是代数变形和图像分析，因此三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来了。
本章的知识，既是解决生产实际问题的工具，又是中学后继内容和高等数学的基础。
一、本章的特点
（一）遵循“基本的，有用的”原则, 对传统的三角内容作了大幅度的精简
被明确删去的内容有：
正切、余切的诱导公式；化asinx+bcosx为一个角的一个三角函数的形式；余切函数的图像和性质；反三角函数和简单三角方程。
被明确简化的内容（要求随之降低）有：
对余切、正割、余割只要求了解其定义，不作其他延伸；只引出半角、积化和差、和差化积公式，但不要求记忆；余弦函数的图像不用余弦线画，而利用正弦曲线和诱导公式来画。
经过这样的精简，原教材安排的76课时减为新大纲规定的36课时。
（二）突出了数学思想和数学方法
1、本章教材突出的基本数学思想有：
（1）集合思想，例如引入象限角的集合，用集合表示符合某条件的角以及三角函数的定义域和值域等；
（2）对应思想，例如一个角的度数与弧度数一一对应，角与某一种三角函数的值的对应等；
（3）数形结合思想，例如用坐标来定义三角函数，用与单位圆有关的有向线段表示三角函数
线，用单位圆引出正弦、余弦的诱导公式，利用图像来研究三角函数的性质、通过将正弦曲线上各点的坐标进行平行移动、伸长或缩短来画出函数的简图等；
（4）化归思想，例如研究一个角的正弦、正切值同时为负数的充要条件，将求任意角的三角函数值逐步转化为求锐角三角函数值（这是将未知问题转化为已知问题），将画正弦曲线逐步转化为画函数的简图（这是将已知问题转化为未知问题），将由已知三角函数值求角的问题转化为先求出符合某条件的锐角（辅助角）等。
2、突出的基本数学方法（通法）有：
（1）坐标法，例如在平面直角坐标系内定义三角函数，研究它们的图像和性质，建立适当的坐标系推出正弦、余弦的诱导公式以及余弦的和角公式等，这一方法的普遍使用，也为后面学习向量与解析几何进一步打好了基础（前面学习函数时已渗透）；
（2）换元法（设中间变量，包括设参数），例如，由正弦曲线的形状和位置关系推测函
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